專題函數(shù)及其表示

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)專題函數(shù)及其基本性質(zhì)1.知識積累知識點一、函數(shù)的概念 1.函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就稱 f:A-B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x) , x £ A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù) 值的集合f(x)|x 6 A叫做函數(shù)的值域.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義

2、域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3.區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.區(qū)間表示：山5的二。向，x|a-=a, b;(山仃陽+同；(工”工的水機知識點二、函數(shù)的表示法 1.函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2.分段函

3、數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來， 并分別注明各部分的自變量的取值情況.知識點三、映射與函數(shù) 1.映射定義：設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素，在集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f: A-B.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)：設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，若 f: A-

4、B是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).注意：(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值域=象集合.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.函數(shù)定義域的求法(1)當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次哥的底數(shù)不為零以及我們在后面學(xué)習(xí)時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義(

5、3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結(jié)果必須 用集合或區(qū)間來表示.2 .如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題， 只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中， 即可求出象.對于給出象，要求原象的問題， 可先假設(shè)原象，再代入對應(yīng)關(guān)系中得已知的象，從而求出原象；也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，由象逆推出原象.3 .函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后，值域就完全 確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的"最高點”和"

6、最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次 函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些"分式"函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函 數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域 .求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等 總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.文檔來自于網(wǎng)

7、絡(luò)搜索二2.重點點撥類型一、函數(shù)概念1 .下列各組函數(shù)是否表示同一個函數(shù)？J-二；一廣ix-l（x>l）1-式兀<1/（4） / =2K與典）=/一 2r 解:：7 / 10川)與綱 對應(yīng)關(guān)系不同，因此是不同的函數(shù);(2).一二一：一 二 J 二 5二,二的定義域不同，因此是不同的函數(shù);X - l(x > 1)fM ="，/與幽<)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，因此是相同的函數(shù);(4) 私)與式D 定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，自變量用不同字面表示，仍為同一函數(shù)總結(jié)升華：函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應(yīng)法則了 ,其中核心是對應(yīng)法則 了 ,它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)

8、特征.只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應(yīng)法則不同，兩個函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1 與 X +1 是同一函數(shù)；(2)y = "Xf(X)= 4y二(瓶)與y='反產(chǎn)是同一函數(shù)；(4)索"2.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).1 - x(x > 0)區(qū)+式笈< 0)與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).文檔

9、來自于網(wǎng)絡(luò)搜x-3/-2；/二，2-9x-3解：X - 2的定義域為x2-2w0,x二定義域為:(,-物U (-屈物U (也則； aa了二石耳，由2.9之畸，在千定義域為予領(lǐng)(2)乙2“X)= H+T 二，一1 - x之0 ,日 fx<l由 八得/+ 4 >0 |_x> 4：.定義域為(T總結(jié)升華：使解析式有意義的常見形式有分式分母不為零；偶次根式中，被開方數(shù)非負.當(dāng)函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：【變式1】求下列函數(shù)的定義域：(nf(x)=n4;(2,'

10、;()(f2.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索總結(jié)升華：小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：R;(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集 (2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合;(即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.3.已知函數(shù) f(x)=3x 2+5x-2 ,求 f(3) , /(一行),f(a), f(a+1).解：f(3)=3 X 32+5 X 3-2=27+15-2=40 ；/(通=

11、3 X (-而+5 X (赤-2=4-5點.遍) = 35+5* /S+l) = 3x(o+iy+5("l)33/+llH6舉一反三：【變式1】已知函數(shù)X + 2 .求函數(shù)的定義域；(2)求f(-3),的值;(3)當(dāng) a>0 時,求 f(a)xf(a-l)的值.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索【變式 2】已知 f(x)=2x 2-3x-25 , g(x)=2x-5,求：(1)f(2) , g(2);(2)f(g(2) , g(f(2) ; (3)f(g(x) , g(f(x)文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索總結(jié)升華：求函數(shù)值時，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)

12、之分，如f(g(x),里層函數(shù)就是g(x),外層函數(shù)就是f(x),其對應(yīng)關(guān)系可以理解為工一一u/(g)，類似的g(f(x)為-,類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果 4.求值域(用區(qū)間表示):c 了 -12 1一 一3一 -(1)y=x -2x+4 ; 工+ 3r+3 .22y = = - 0 ：.值域為血0)U(0, +oa)解：(1)y=x2-2x+4=(x-1) 2+33, .值域為3,+8)；(2)工+ 3X+3y = -3x + 4 =2g = ".二值域為 -,-rto/，睢» Jr *(4) m + 3x + 31+31

13、+3，函數(shù)的值域為(-°°, 1)u(1, +8).類型二、映射與函數(shù) 5.下列對應(yīng)關(guān)系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是 我口果不是映射，如何修改可以使其成為映射 ？(1)A=R , B=R,對應(yīng)法則f:取倒數(shù)；(2)A=平面內(nèi)的三角形, B=平面內(nèi)的圓,對應(yīng)法則f:作三角形的外接圓；(3)A=平面內(nèi)的圓, B=平面內(nèi)的三角形,對應(yīng)法則f:作圓的內(nèi)接三角形.解：(1)不是映射，集合 A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不滿足“ A中任意”；若把A改為 A=x|x W0或者把對應(yīng)法則改為“加 1”等就可成為映射；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中

14、都有唯一的元素(該三角形白外接圓)與之對應(yīng)， 這是因為不共線的三點可以確定一個圓；文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索不是映射，集合A中的任意一個元素(圓)，在集合B中有無窮多個元素(該圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個)與 之對應(yīng)，不滿足“ B中唯一”的限制；若將對應(yīng)法則改為：以該圓上某定點為頂點作正三角形便可成為映 射.舉一反三：【變式1】判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？人二。,2, 3, 4 , B=3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9,對應(yīng)法則 / ：3 2工+1,A=N *, B=0 , 1,對應(yīng)法 則f:x-x除以2得的余數(shù)；A=N , B=0, 1, 2, f: x-x被3除所得的余數(shù)；y 二

15、取倒數(shù)設(shè) X=0 , 1 , 2, 3, 4 ,2 3 4【變式2】已知映射f: A f B,在f的作用下，判斷下列說法是否正確？(1)任取xCA,都有唯一的 yCB與x對應(yīng)；(2)A中的某個元素在 B中可以沒有象；(3)A中的某個元素在B中可以有兩個以上的象；(4)A中的不同的元素在 B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有兩個或兩個以上的原象.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索【變式3】下列對應(yīng)哪些是從 A到B的映射？是從 A到B的映射嗎？是從 A到B的函數(shù)嗎?x(1)A=N , B=1 , -1 , f: x-y=(-1)；(2)A=N , B=N+, f： x-y=

16、|x-3|;(3)A=R , B=R ,(4)A=Z , B=N , A=N , B=Z , (6)A=N , B=N ,f:f:f:x-y二|x|；x-y二|x|；x 一 y二|x|.文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索Q2 +6.已知 A=R , B=(x , y)|x, yR, f: A-B 是從集合 A 到集合 B 的映射，f: x-(x+1 , x +1),求(洽A中的元素也的象，B中元素2 4的原象.解：的映射關(guān)系為tt(x+1/+1).a中元素出的象為QE+lQ/+D=(也+13)N粉出設(shè)2靛)x+l=-2x2 +1 =4_ 1、福萍利.舉一反三：【變式1】設(shè)f: A-B是集合A到集合B的映射，其

17、中(1)A=x|x >0,B=R, f : xx2-2x-1 ,則 A 中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么?別為什么？文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索類型三、函數(shù)的表示方法解：(1)f(2x-1)=x 2, .,.令 t=2x-1 ,則 (2)f(x+1)=2x 2+1,由對應(yīng)法則特征可得:£+1 八 / +兀-、,7+1/W = (Au乙f(x)=2(x-1) 2+1 即：f(x)=2x 2-4x+3.(2)A=B=(x , y)|xCR, yCR, f： (x, y)一(x-y, x+y),則 A 中元素(1, 3)的象及 B 中元素(1 , 3)的原象分 7.求函數(shù)的解析式 若

18、f(2x-1)=x 2,求 f(x) ; (2)若 f(x+1)=2x 2+1 ,求 f(x).2 + 6 (x <0)十口八 1、*'，求 ff(-1).fW = <舉一反三:【變式1】(1)已知f(x+1)=x 2+4x+2 ,求f(x); (2)已知:總結(jié)升華：求函數(shù)解析式常用方法：（1）換元法；（2）配湊法；（3）定義法；（4）待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對應(yīng)法則問題時，要關(guān)注新變元 的范圍. 8.作出下列函數(shù)的圖象.了二 1-巾£-2.（2）7二卜-2| ；（4）： J -一一一二解：（i） 圖象為一條直線上5個孤立的點;y =| x _ 21=4(

19、2).2（工之2）x(x > 0)中<。)為分段函數(shù)，圖象是去掉端點的兩條射線;2- Mx < 2）為分段函數(shù)，圖象是兩條射線;（4）圖象是拋物線.所作函數(shù)圖象分別如圖所示:解：f(0)=2 X 02+1=1 ； ff(-1)=f2 X(-1)+3=f(1)=2 X 12+1=3.ptU<o) (幻=1汗。=0)舉一反三：【變式1】已知 x + l（xo）,作出f（x）的圖象，求f（1）, f（-1）, f（0）, fff（-1）+1的值. 文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索10.某市郊空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：（1）乘坐汽車5公里以內(nèi)，票價 2元；（2）5公里以上，每增加5公

20、里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算），已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設(shè)20個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式， 并畫出函數(shù)的圖象.解：設(shè)票價為y元，里程為x公里，由空調(diào)汽車票價制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)2<55DM1010<x <15(x c Nt)5150X19根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如下圖所示:5 43+21 .口,一廣'i。'-'1519 ”舉一反三：【變式1】移動公司開展了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”，月租50元，每通話1

21、分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話 1分鐘，付費0.6元， 若一個月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為yi, y2（元），I .寫出yi, y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式？n . 一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？ m .若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式？ 文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索3.當(dāng)堂檢測一、選擇題1 .判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（）_ （一+3）（1 - 5） _必一-,為二工-5；為二罰，百，必=/二X, g=T?；/二”二?，二部二i ；的)=(而-5? /a(x) = 2x-5A.、 B.、 C.D.、2,函數(shù)y= Jl - x&#

22、39;一6一1的定義域是()A. -1<x< 1B. xW-1 或 x>1C, 0<x< 1D. -1 , 12工y 二3.函數(shù) 31一4的值域是()44a.(-巴3)u( 3 , +oo)B. (-8,223)u( 3 , +8)24C. RD, (-8, 3)u ( 3 , +oo)4 ,下列從集合 A 到集合 B 的對應(yīng)中：A=R , B=(0 , + 8), f：x 一 y=x2 ；A-B = (-oo,0)u Q+oo)f: x ->y = ； A = fOJ ,B =L+do)y；一 父X A=-2 , 1, B=2 ,5, f:x - y=x2

23、+1;人=因，3, B=1 , 3, f:x - y=|x|其中，不是從集合A到集合B的映射的個數(shù)是（）6 / 10個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)11 / 10A. 5.A. C. 6.B. 2C. 3D. 4已知映射f:A-B,在f的作用下，下列說法中不正確的是A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象A中的任何元素有且只能有唯一的象點（x, y）在映射f下的象是（2x-y , 2x+y）,求點（4,5（）B. B中元素可以有兩個原象D. A與B必須是非空的數(shù)集6）在f下的原象（）(2,1)B. (1, 3)C. (2, 6)7.已知集合P=x|0 w xw 4,Q=y|0 <y<2,

24、下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是（）2C. y= _ xD.8.B. y= 3y= 一9.函數(shù)=/。）的圖象與直線不二1的公共點數(shù)目是A. 1B. 010.已知集合上空詞比 W+%，且a *K*"，蚱B，使3中元素?'=欠+1和R中的元素I對應(yīng)，則配上的值分別為（）a. 2,3b. 3,4c,不d. 2,511.已知/w=<x + 2(xl)2x(x > 2)3B. 1或 2,若國=3則工的值是（）3c, 1, 3或士也12.為了得到函數(shù)y=/（-2x）的圖象，可以把函數(shù)的圖象適當(dāng)平移，這個平移是（）A.沿軸向右平移1個單位B.沿X軸向右平移2個單位C.沿X軸向左平移1個單位D.沿X軸向左平移2個單位、填空題 茍,一 (x < 0)./士*田 口i.設(shè)函數(shù).工則實數(shù)a的取值范圍是”2y =2 .函數(shù) 工？ 一4的定義域3.函數(shù)f(x)=3x-5在區(qū)間上的值域是4 .若二次函數(shù)y 四+3、+的圖象與x軸交于 4-2,0)/(4。),且函數(shù)的最大值為9,則這個二 次函數(shù)的表達式是.5 .函數(shù)4卜卜丁的定義域是 .6 .函數(shù)/二% +彳- 1的最小值是.三、解答題文檔來自于網(wǎng)絡(luò)搜索地 /w=77i| 1 .求函數(shù)A !i的定義域.2 .求函數(shù)二Ji'+1+1