橢球面上的基本計(jì)算

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 橢球面上的基本計(jì)算1 地球橢球的基本知識(shí)離心力 地心引力 重力G一、地球形狀的概念地球的自然表面不規(guī)則；不能在上面進(jìn)行計(jì)算；大地水準(zhǔn)面平均海水面延伸得到的封閉曲面，最接近大地自然表面；大地水準(zhǔn)面具有性質(zhì)：大地水準(zhǔn)面上任一點(diǎn)處的垂線（重力方向）與該點(diǎn)處切面正交；又：重力是離心力與地心引力的合力（離心力與地心引力之比約1：300），而大地水準(zhǔn)面上各點(diǎn)處引力不等，造成各點(diǎn)處垂線方向各異。各點(diǎn)處切面組成的曲面大地水準(zhǔn)面亦不規(guī)則，有微小起伏，是一個(gè)具有物理性質(zhì)的曲面。實(shí)踐和理論均可證明：1）在各水準(zhǔn)面（與大地水準(zhǔn)面的不平行性不很明顯）上測(cè)得的水平角，因歸化到大地水準(zhǔn)面上

2、改正極微小，完全可以看成大地水準(zhǔn)面上的角值；2）各高程面上測(cè)得之邊長(zhǎng)也可化算到大地水準(zhǔn)面上；3）地面點(diǎn)的高程亦從大地水準(zhǔn)面起算。結(jié)論：大地水準(zhǔn)面是測(cè)量外業(yè)的基準(zhǔn)面；但它是物理曲面而非數(shù)學(xué)曲面，所以不能作為測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。大地體大地水準(zhǔn)面包圍的形體；地球橢球代表地球形體的旋轉(zhuǎn)橢球體；橢球面上處處法線與該點(diǎn)的切面正交，是一個(gè)具有數(shù)學(xué)性質(zhì)的曲面；總地球橢球與大地體最接近的地球橢球。應(yīng)滿足：其中心應(yīng)與地球質(zhì)心重合；旋轉(zhuǎn)軸應(yīng)與地軸重合，赤道應(yīng)與地球赤道重合；體積應(yīng)與大地體體積相等；總橢球面與大地水準(zhǔn)面之間的高差平方和最小。參考橢球與某一局部大地水準(zhǔn)面密切配合的橢球。二、橢球的幾何元素與參數(shù)1.橢球的元

3、素長(zhǎng)半徑：a短半徑：b2.橢球的參數(shù) 扁率： a(ab)/a 第一偏心率： 第二偏心率： 式中：橢圓的焦距，即橢圓的焦點(diǎn)到橢圓中心的距離3.關(guān)系式 (1 e2) (1e2)1 e22a a 2 2 a (a 1/300)我國(guó)解放前使用海福特橢球等。解放后，我國(guó)的“1954年北京坐標(biāo)系”采用克拉索夫斯基橢球，“1980國(guó)家大地坐標(biāo)系”采用“IAG75”橢球，而全球定位系統(tǒng)（GPS）采用的是WGS-84橢球參數(shù)。這三個(gè)橢球的元素和參數(shù)參見(jiàn)P2表7-1。練習(xí)及作業(yè)：1.閱讀控制測(cè)量學(xué)上冊(cè)，1.2 1.2.1、1.2.2控制測(cè)量學(xué)下冊(cè)，7.12.思考如何理解大地水準(zhǔn)面是測(cè)量外業(yè)的基準(zhǔn)面？為什么不能作為

4、測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面？如何旋轉(zhuǎn)橢圓得到參考橢球？2 橢球上點(diǎn)的位置的確定一、橢球上點(diǎn)的高程位置的確定大地高H大地面點(diǎn)沿法線方向到參考橢球面的距離。 B H正 H常 似大地水準(zhǔn)面 大地水準(zhǔn)面 N 橢球面大地高可以由以下兩種方法求得：H大H正N式中：H正B點(diǎn)的正高高程 N大地水準(zhǔn)面差距（見(jiàn)大地重力學(xué)中斯托克司公式）H大H常式中：H常B點(diǎn)的正常高高程 高程差異或高程異常（見(jiàn)重力測(cè)量學(xué)）因正常高能精確求得，亦能嚴(yán)密解算，故，此方法是嚴(yán)密的。（注：大地水準(zhǔn)面與似大地水準(zhǔn)面很接近，在高山區(qū)最大差異不超過(guò)4m，在平均海水面上兩面重合，即H0正H0常；B點(diǎn)法線與重力線非常接近，其差異對(duì)高程的影響很小，討論高程時(shí)可

5、不予考慮）二、橢球面上點(diǎn)的平面位置的確定1.橢球面上的線和圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的截線；亦稱經(jīng)圈，經(jīng)線，子午線。 N T 平行圈 法 法 線 截 線 赤道 子 午 線 S平行圈垂直于短軸的平面與橢球面的交線；亦稱緯圈、緯線。最大的平行圈，即過(guò)橢球中心垂直于短軸的平面與橢球面的交線，稱為赤道。法截面、法截線包含某點(diǎn)法線的平面稱為法截面，法截面與橢球面的交線稱為法截線。卯酉圈與某點(diǎn)子午面正交的法截面在橢球上的截線。2.橢球上的坐標(biāo)系統(tǒng)和空間直角坐標(biāo)系統(tǒng) N L P G 起 W 始 o E 子 B 午 赤道平面 線 S 大地坐標(biāo)系統(tǒng)（B、L）大地經(jīng)度L過(guò)P點(diǎn)的子午面與起始子午面構(gòu)成的兩面角；

6、由起始子午面起算，逆轉(zhuǎn)向東為正（東經(jīng)0180），順轉(zhuǎn)向西為負(fù)（西經(jīng)0180）；大地緯度B過(guò)P點(diǎn)的法線與赤道平面的夾角；由赤道平面起算，向北為正（北緯090），向南為負(fù)（南緯090）。子午面直角坐標(biāo)系統(tǒng)（L，x，y） y L x P G y o xL大地經(jīng)度；x，y子午面內(nèi)的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；子午面與赤道平面的交線為x軸，橢球短軸為y軸?？臻g直角坐標(biāo)系統(tǒng)（X，Y，Z）o參考橢球的中心X起始子午面與赤道面的交線Y在赤道面內(nèi)，垂直X（右手系）Z與橢球短半徑重合3.坐標(biāo)系統(tǒng)間的關(guān)系 Z M H大 G P Zm o Y Xm Ym x X大地坐標(biāo)系與子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系點(diǎn)在兩坐標(biāo)中大地經(jīng)度L相同，推導(dǎo)

7、大地緯度B與直角坐標(biāo)x，y的關(guān)系如下：因曲線在P點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)就是P點(diǎn)處曲線切線的斜率，即： y P x y B+90 B B o x又，對(duì)子午橢圓方程式微分，有： 即： 因，故： 即： 也即： yxtanB(1e2) (1)將（1）式代入橢圓方程，得： (2)由（1），（2）兩式可得： 大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)系空間M點(diǎn)的大地坐標(biāo)為L(zhǎng)，B，H；其空間直角坐標(biāo)為X，Y，Z。 Z (y) M G P o Y L X x首先推導(dǎo)空間直角坐標(biāo)系與子午面直角坐標(biāo)系關(guān)系如下：XmxmcosLYmxmsinL （1）Zmym又，從右圖可知：o Y xm L M x XxmxpHcosB(a/W)co

8、sBHcosB （2）ymypHsinB(a/W)(1e2)sinBHsinB將（2）代入（1）得：XmxmcosL(NH)cosBcosL YmxmsinL(NH)cosBsinL (3)Zmym(NNe2H)sinBZ(y) M H P xp Zmym yp B x 式中：Na/W Ne2ae2/W練習(xí)及作業(yè)：1.閱讀7.2 瀏覽已知空間直角坐標(biāo)計(jì)算大地坐標(biāo)的（7-31）、（7-32.）、（7-34）式2.作圖并復(fù)習(xí)定義大地坐標(biāo)系子午面直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系3.思考大地坐標(biāo)系與子午面直角坐標(biāo)系如何建立關(guān)系？大地坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系如何建立關(guān)系？3 幾種主要的曲率半徑一、子午曲率半徑M已

9、知，平面曲率半徑公式因： （參見(jiàn)上節(jié)式）代入平面曲率半徑公式，得子午曲率半徑公式由上式知：MB0aae2（赤道處子午曲率半徑小于a） （兩極處子午曲率半徑大于a） 二、卯酉曲率半徑N1.麥尼爾第二定律（參見(jiàn)微分幾何北京測(cè)繪學(xué)院） y r P 子 平行圈B 卯 午 酉 線 N 線 B 通過(guò)P點(diǎn)引兩個(gè)截?。悍ń鼗∨c斜截弧。法截弧的曲率半徑為N，斜截弧的曲率半徑為r，若法截弧與斜截弧在P點(diǎn)有公共切線，則rNcosB（B為兩曲率半徑的夾角）。2.卯酉曲率半徑取法截弧為卯酉圈，斜截弧為平行圈，根據(jù)麥尼爾第二定律，有： 式中 xP點(diǎn)在子午面直角坐標(biāo)系統(tǒng)中的x坐標(biāo) BP點(diǎn)的大地緯度將關(guān)系式代入上式得由上式知

10、：NB0a （赤道處卯酉曲率半徑等于a） （兩極處卯酉曲率半徑大于a） 3.子午、卯酉兩曲率半徑的關(guān)系 A Q P當(dāng)B90時(shí)，即極點(diǎn)處。稱為極半徑。三、任意方向（大地方位角A）法截弧的曲率半徑RA1.大地方位角定義PQ方向的大地方位角APQ為：過(guò)P點(diǎn)法線和Q點(diǎn)的平面，與P點(diǎn)子午面之間的夾角（由正北順時(shí)針計(jì)）。2.大地方位角為A的法截弧曲率半徑歐拉公式： 故： 由上式知： RA0M； RA90N A 2A 3A 0 2-A AAA A PA：090180時(shí)，RA：MNM曲率半徑具有對(duì)稱性，即對(duì)稱位置的法截弧在P點(diǎn)有相同的曲率半徑。四、平均曲率半徑R1.平均曲率半徑定義設(shè)過(guò)P點(diǎn)可以做2/A個(gè)法截線

11、，各法截線的大地方位角為：0，A，2A，2A；過(guò)P點(diǎn)的各法截線曲率半徑平均值為：則平均曲率半徑 2.平均曲率半徑計(jì)算公式 （顧及曲率半徑的對(duì)稱性）將上式改化成的形式，分子、分母除以，有：分母提取公因式 設(shè)，積分上下限也變，則所以，平均曲率半徑 練習(xí)及作業(yè)：1.閱讀7.3 瀏覽7.3.3主曲率半徑的計(jì)算；7.3.6及表7-4、7-52.思考子午曲率半徑和卯酉曲率半徑，當(dāng)B由090時(shí)的變化；子午曲率半徑和卯酉曲率半徑的大小關(guān)系；什么是大地方位角？4 弧長(zhǎng)的計(jì)算 子午線 P2 dS B2 dB P1 B1一、子午線長(zhǎng)度由圖知： dSMdB即： dSa(1e2)(1e2sin2B)-3/2dB故： 求

12、積分過(guò)程：1）將積分項(xiàng)用二項(xiàng)式定理（形如下式）展開(kāi)： (1x)n1nx(1/2!)n(n1)x2(1/3!)n(n1)(n2)x32）應(yīng)用三角函數(shù)積分遞推公式逐項(xiàng)積分（先將正弦指數(shù)函數(shù)化為余弦的倍角函數(shù)，形如下式）：sin2B1/2(cos2B)/23）整理合并同類項(xiàng)，得子午線上弧長(zhǎng)P16，7-97式。該式B10（即從赤道起算的子午弧長(zhǎng)公式）。（注：當(dāng)弧長(zhǎng)S40km，可把子午圈視為圓弧，圓的半徑為其中緯度Bm(B1B2)/2處的子午曲率半徑Mm，則子午弧長(zhǎng)公式為：SMm(B2B1) /。該式精度當(dāng)S40km時(shí)，可達(dá)1mm。） r S l B二、平行圈長(zhǎng)度由圖知： Slr rNcosB （麥尼爾

13、第二定律） 式中：N卯酉曲率半徑 B平行圈所處的大地緯度 l弧長(zhǎng)S所對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差由上式知，相同經(jīng)差l的平行圈長(zhǎng)度S，因所處緯度B不同而不同。練習(xí)及作業(yè)：閱讀 瀏覽7.4.4 觀察表7-6數(shù)值5 相對(duì)法截弧與大地線一、相對(duì)法截弧圖中：N1，N2A，B點(diǎn)的曲面法線 b B a A N1 A1 B1 B2 N2 o Ka KbKa，KbA，B點(diǎn)曲面法線與旋轉(zhuǎn)軸交點(diǎn)OKaA1KaA1O A1KayA N1sinB1a(1e2)sinB1(1e2sin2B1)-1/2 ae2sinB1(1e2sin2B1)-1/2OKbae2sinB2(1e2sin2B2)-1/2由上可知，橢球面上點(diǎn)的法線與旋轉(zhuǎn)軸的交

14、點(diǎn)：1）交點(diǎn)位置僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)；2）若兩點(diǎn)B2B1，則有OKbOKa；3）B相等（平行圈上）的所有點(diǎn)，其法線交短軸于一點(diǎn)；4）L相同，B不等的所有點(diǎn)的法線，與旋轉(zhuǎn)軸相交不在一點(diǎn)，但在一個(gè)平面內(nèi)；5）B0（赤道上）所有點(diǎn)的法線交于橢球O點(diǎn)；6）L不同，B不同的兩點(diǎn)，其法線將在空間交錯(cuò)，而互不相交。設(shè)在橢球上（忽略垂線偏差的影響）A點(diǎn)和B點(diǎn)分別安置經(jīng)緯儀，儀器縱軸分別與Aka，BKb重合，則：由A照準(zhǔn)BAaBKa法截面AaB截線；由B照準(zhǔn)ABbAKb法截面BbA截線。由上述6）可知，兩法截線N1，N2空間交錯(cuò)，故兩法截面AaBKa與BbAKb不重合。所以，兩法截線AaB與BbA不重合，稱： C

15、A BAaB與BbA為A、B兩點(diǎn)間的相對(duì)法截弧。AaB為A的正法截弧，B的反法截??；BbA為B的正法截弧，A的反法截弧； CA B相對(duì)法截弧通常不重合，造成在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)測(cè)得的角度（各點(diǎn)的正法截弧之夾角），不能構(gòu)成閉合三角形。故，有必要在兩點(diǎn)間選一條單一的方向線大地線，得出由大地線組成的單一閉合三角形。二、大地線定義及其性質(zhì)1.幾個(gè)概念（微分幾何概念）1）密切平面：“包含曲線上一點(diǎn)處的切線和曲線上無(wú)限趨近該點(diǎn)的另一點(diǎn)”的平面；2）法線：曲線上“正交于切線的一切直線”；3）主法線：曲線上“位于密切平面內(nèi)的法線”；4）曲面法線：曲面上“與一點(diǎn)處切平面正交的線段”。 AD AD D D

16、2.大地線定義及其性質(zhì)1）定義微分幾何定義：大地線上每點(diǎn)的密切平面包含該點(diǎn)的曲面法線；或：大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合；或：曲面上兩點(diǎn)間的最短線叫大地線。2）性質(zhì)橢球面上的大地線是一條空間雙曲率曲線（子午圈和赤道是特例）；大地線是兩點(diǎn)間距離最短的曲線。3）旋轉(zhuǎn)曲面上大地線的克萊勞定理 rsinAC式中：r大地線上某點(diǎn)所在的平行圈半徑 A大地線在該點(diǎn)的大地方位角 C常數(shù)定理的幾何意義：就旋轉(zhuǎn)橢球面而言，大地線上各點(diǎn)的平行圈半徑r與大地方位角的正弦的乘積為一常數(shù)。由克萊勞方程可知橢球面上大地線所經(jīng)歷的路線。圖中為大地線從赤道上D點(diǎn)處，以方位角AD出發(fā)所經(jīng)歷的路線，一般不再返回到D，而是

17、到達(dá)D點(diǎn)（大地線沿子午圈：A0、赤道：A90才能返回原點(diǎn)）。練習(xí)及作業(yè)：1.閱讀7.5 7.5.1；7.5.22.思考作圖并理解相對(duì)法截弧不重合；從幾何意義上理解大地線；理解大地線在測(cè)量計(jì)算上的意義。6 地面觀測(cè)值歸算到參考橢球面上一、建立大地坐標(biāo)系1.基本原理建立大地坐標(biāo)系，就是確定代表地球形體的橢球的形狀與大?。E球參數(shù)）、中心的位置（定位）以及橢球旋轉(zhuǎn)軸的方向（定向）。橢球參數(shù)的確定橢球參數(shù)是通過(guò)弧度測(cè)量求得的。在前空間大地測(cè)量時(shí)代，（近代）弧度測(cè)量利用天文、大地、重力測(cè)量資料，求得適合于局部范圍的橢球幾何參數(shù)。進(jìn)入空間大地測(cè)量時(shí)代以來(lái)，測(cè)量精度不斷提高，在全球尺度上已達(dá)到幾個(gè)厘米的量級(jí)

18、。在這種精度的基礎(chǔ)上，以前無(wú)需考慮的地球動(dòng)力學(xué)因素現(xiàn)在必須加以考慮。同時(shí)，空間大地測(cè)量極大發(fā)展，促進(jìn)現(xiàn)代弧度測(cè)量整體利用地面、空間的幾何、物理大地測(cè)量數(shù)據(jù)，求得適合全球范圍的幾何和物理兩個(gè)方面的橢球參數(shù)。橢球定位局部定位：在一定范圍內(nèi)橢球面與大地水準(zhǔn)面有最佳符合，橢球中心與地球質(zhì)心不必重合。地心定位：在全球范圍內(nèi)橢球面與大地水準(zhǔn)面有最佳符合，橢球中心與地球質(zhì)心重合。橢球定向規(guī)定應(yīng)滿足雙平行條件橢球短軸平行地球自轉(zhuǎn)軸大地起始子午面平行于天文起始子午面綜上：滿足雙平行條件，經(jīng)局部定位的橢球，叫參考橢球。參考橢球上的坐標(biāo)系叫參心坐標(biāo)系。滿足雙平行條件，經(jīng)地心定位的橢球，叫總地球橢球。橢球上的坐標(biāo)系叫

19、地心坐標(biāo)系。2.參考橢球定位與定向天文坐標(biāo)系天文坐標(biāo)系的概念參考面重力等位面（大地水準(zhǔn)面）；P點(diǎn)的天文子午面過(guò)P點(diǎn)的鉛垂線，且平行地球旋轉(zhuǎn)軸的平面；本初子午面1884年：格林威治天文臺(tái)艾里中星儀所在的子午面；1968年：平均天文臺(tái)子午面；P點(diǎn)的天文經(jīng)度P點(diǎn)的天文子午面與本初子午面之間的兩面角（）P點(diǎn)的天文緯度P點(diǎn)的鉛垂線與地球赤道的夾角（j）天文方位角aPQ過(guò)P點(diǎn)垂線和Q點(diǎn)的平面，與P點(diǎn)的天文子午面之間的夾角。天文、大地坐標(biāo)的比較天 文 坐 標(biāo)大 地 坐 標(biāo)參考面大地水準(zhǔn)面橢球面投影依據(jù)重力線的切線方向（鉛垂方向）法線方向確定點(diǎn)位及方向，j，H常，a PQ（實(shí)測(cè)得到）L，B，H大，APQ（計(jì)算

20、需要）測(cè)量中作用外業(yè)測(cè)量的基準(zhǔn)內(nèi)業(yè)計(jì)算的基準(zhǔn)參考橢球定位與定向一點(diǎn)定位選一個(gè)定位標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)P，用天文的方法，精確測(cè)定該點(diǎn)的天文坐標(biāo)0，j 0，該點(diǎn)至另一點(diǎn)Q的天文方位角a 0PQ，以及該點(diǎn)至大地水準(zhǔn)面的高程H正。人為地假定參考橢球面上點(diǎn)P0的大地坐標(biāo)、方位角、高程為：L00；B0j 0；A0a 0；H大H正 從而通過(guò)P點(diǎn)，使選定的參考橢球體與大地體的相互位置關(guān)系確定下來(lái)，P0點(diǎn)處大地水準(zhǔn)面與參考橢球面重合。P0點(diǎn)稱為大地基準(zhǔn)點(diǎn)，其定位數(shù)據(jù)稱為大地基準(zhǔn)數(shù)據(jù)。除P0點(diǎn)外的其它點(diǎn)：1）有垂線偏差（地面點(diǎn)對(duì)大地水準(zhǔn)面的垂線，與對(duì)參考橢球面的法線不重合，二者夾角u為垂線偏差）2）有大地水準(zhǔn)面差距N。（注：垂

21、線偏差的大小、方向，與參考橢球的大小、形狀、定位有關(guān)，故也稱為相對(duì)垂線偏差）多點(diǎn)定位多點(diǎn)定位是以多個(gè)點(diǎn)（如我國(guó)1980國(guó)家大地坐標(biāo)系橢球定位，是在全國(guó)均勻地選了922個(gè)點(diǎn)），按2min（高程異常）解算。這樣，使局部（如我國(guó)境內(nèi)）橢球面與大地水準(zhǔn)面達(dá)到最佳密合，但對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)，大地水準(zhǔn)面不再與橢球面相切，鉛垂線與法線不重合而存在垂線偏差u。大地原點(diǎn)和大地起算數(shù)據(jù)依據(jù)大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)值，通過(guò)橢球定位計(jì)算出大地原點(diǎn)在大地坐標(biāo)系中的數(shù)據(jù)LK，BK，HK及至某一相鄰點(diǎn)的大地方位角AK。這些數(shù)據(jù)用來(lái)推算控制網(wǎng)中其它點(diǎn)的坐標(biāo)。LK，BK，AK叫做大地測(cè)量基準(zhǔn)，也叫做大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)，大地原點(diǎn)叫做大地基準(zhǔn)點(diǎn)

22、，也叫做大地起算點(diǎn)。二、地面觀測(cè)值化算到橢球面上化算內(nèi)容：地 面 觀 測(cè) 值橢 球 面 元 素天文經(jīng)緯度，j大地經(jīng)緯度L、B（天文測(cè)量學(xué)）天文方位角a大地方位角A通過(guò)標(biāo)石中心的方向值大地線方向平均高程面上的長(zhǎng)度S0橢球面上大地線長(zhǎng)度S1.天文方位角a歸算為大地方位角A在地面上進(jìn)行天文觀測(cè)時(shí)，經(jīng)緯儀的縱軸與垂線重合，因垂線與法線之間存在垂線偏差，故地面上測(cè)定的天文方位角a與大地方位角A不同。（不加推導(dǎo)），給出天文方位角歸算為大地方位角的公式如下：Aa(L)sin j或： Aatan j式中：a點(diǎn)到另一點(diǎn)的天文方位角（天文觀測(cè)得到） ，j點(diǎn)的天文經(jīng)緯度（天文觀測(cè)得到） L點(diǎn)的大地經(jīng)度（推算得到）

23、垂線偏差的卯酉分量（查垂線偏差圖或物理大地測(cè)量得到） Z u Z1 N M a1 P u R1 R2上式稱拉普拉斯方程式，由它算得的方位角稱拉普拉斯方位角。國(guó)家一二等大地網(wǎng)中，規(guī)定每隔一定間隔測(cè)定天文經(jīng)緯度和天文方位角（控制測(cè)量學(xué)上冊(cè)P15、P16）。其目的：1）利用天文方位角和天文經(jīng)緯度計(jì)算拉普拉斯方位角，控制整個(gè)大地網(wǎng)的定向；2）根據(jù)天文經(jīng)緯度和大地經(jīng)緯度，計(jì)算這些點(diǎn)的垂線偏差（垂線偏差的子午分量jB；卯酉分量(L)cos j），其余點(diǎn)的垂線偏差由物理大地測(cè)量得到。2.方向值歸算到橢球面上（三差改正）垂線偏差改正數(shù)u圖為以測(cè)站P為中心的單位圓。圖中：P測(cè)站 M照準(zhǔn)點(diǎn) PZ法線方向 PZ1垂

24、線方向 u垂線偏差 、垂線偏差的子午分量和卯酉分量 a 1觀測(cè)方向的垂直角 N北方向由于u存在，觀測(cè)方向M時(shí)，引起方向值的改正數(shù)為uu(sinAcosA)tan a 1式中：、可從垂線偏差圖內(nèi)插得到 APM邊的大地方位角R2R1u式中 R2以法線為準(zhǔn)的方向值 R1以垂線為準(zhǔn)的方向值通常，因、很小，a0，故u很小，只有在一二等網(wǎng)才規(guī)定計(jì)算此項(xiàng)。但在山區(qū)或垂線偏差變化較大地區(qū)，三四等網(wǎng)亦應(yīng)計(jì)算此項(xiàng)。下面給出u的數(shù)值概念： 、 /APM /a PM /u /500 300.051000 300.1010315（sinA，cosA反號(hào)）3 000.74 N B P2 hA P2 P1 ka kb 照準(zhǔn)

25、點(diǎn)高程引起的改正標(biāo)高差改正h如圖：A已做過(guò)垂線偏差改正，即A點(diǎn)處經(jīng)緯儀縱軸與橢球面法線一致；A、B兩點(diǎn)沿各自的法線在橢球面上的投影為P1、P2。按歸算要求，地面點(diǎn)應(yīng)沿各自的法線投影到橢球面上，所以AB在橢球面上的方向應(yīng)是P1P2的方向。實(shí)測(cè)由A照準(zhǔn)B點(diǎn)時(shí)，法截面ABKa在橢球面上得到的法截弧是P1P2，P1P2與P1P2的夾角h是由B點(diǎn)的高程引起，故應(yīng)進(jìn)行改正數(shù)h的計(jì)算，并將實(shí)測(cè)的P1P2方向歸算到P1P2方向。h2/mh/2000.0210000.0840000.32式中：M2照準(zhǔn)點(diǎn)的子午曲率半徑 H2照準(zhǔn)點(diǎn)的大地高，H2= H常v A1測(cè)站點(diǎn)至照準(zhǔn)點(diǎn)的大地方位角 B2照準(zhǔn)點(diǎn)的大地緯度表中給

26、出h的數(shù)值概念。若：B230；A1245正法截弧方向歸算到大地線方向的改正數(shù)截面差改正g經(jīng)過(guò)u，h改正后，已經(jīng)將地面觀測(cè)之水平方向值，化算為橢球面上的相應(yīng)法截線方向。因相對(duì)法截線一般不重合，所以應(yīng)將橢球面上法截線方向加截面差改正g，化為大地線方向。 2 g1式中：N11點(diǎn)處的卯酉曲率半徑，以公里為單位 S1、2點(diǎn)間的距離，以公里為單位 B11點(diǎn)的緯度 A11至2點(diǎn)的大地方位角（注：相對(duì)法截弧之間的角差 ）g是一項(xiàng)很微小的改正，僅在國(guó)家一等網(wǎng)方向計(jì)算時(shí)顧及。 基線平均水準(zhǔn)面 S 2 1 S0 平行橢球面的高程面 Su u1 u2 法 垂 法 垂線 線 線 線至此，歸算到參考橢球面上的方向值：Ll

27、cruhg式中：l測(cè)站平差值 c、r歸心改正數(shù) u、h、g三差改正3.將地面測(cè)量的長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上基線尺量距的歸算1）垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準(zhǔn)面不平行于橢球面；基線尺測(cè)得的長(zhǎng)度值經(jīng)傾斜改正后，可認(rèn)為是基線平均水準(zhǔn)面上的長(zhǎng)度值S，首先應(yīng)將其改成平行于橢球面的該高程面的長(zhǎng)度S0。假設(shè)垂線偏差沿基線是線性變化的，則垂線偏差u對(duì)長(zhǎng)度歸算影響為：式中：u1，u21，2點(diǎn)處，垂線偏差在基線方向上的分量 H1，H21、2點(diǎn)的大地高 S01 2 Hm S R R 此項(xiàng)改正較小，且與垂線偏差分量u1，u2及兩端點(diǎn)大地高差H2H1有關(guān)，是否需要改正，需結(jié)合測(cè)區(qū)情況及精度要求具體分析。2）高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響經(jīng)過(guò)垂線偏差改正后，得到平行于橢球面的基線高程面上的基線長(zhǎng)度S0，其在橢球面上的