2015考研數(shù)學(xué)三真題及解析

1、2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（三）試題解析一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)是數(shù)列,下列命題中不正確的是 ( )(A) 若,則 (B) 若, 則 (C) 若,則 (D) 若,則 【答案】(D)【解析】答案為D, 本題考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系.數(shù)列對任意的子列均有,所以A、B、C正確； D錯(D選項(xiàng)缺少的斂散性),故選D(2) 設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù)的圖形如右圖所示,則曲線的拐點(diǎn)個數(shù)為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】根據(jù)拐點(diǎn)的必要條件

2、，拐點(diǎn)可能是不存在的點(diǎn)或的點(diǎn)處產(chǎn)生.所以有三個點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，即凹凸性改變的點(diǎn)；二階導(dǎo)函數(shù)符號發(fā)生改變的點(diǎn)即為拐點(diǎn).所以從圖可知，拐點(diǎn)個數(shù)為2，故選C.(3) 設(shè) ,函數(shù)在上連續(xù),則 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(B)【解析】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重積分要分成兩個積分區(qū)域所以，故選B.(4) 下列級數(shù)中發(fā)散的是( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】A為正項(xiàng)級數(shù)，因?yàn)?，所以根?jù)正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法收斂；B為正項(xiàng)級數(shù)，因?yàn)?，根?jù)級數(shù)收斂準(zhǔn)則，知收斂；C，根據(jù)萊布尼茨判別法知收斂， 發(fā)散，所以根據(jù)級數(shù)收斂定義知，發(fā)散；D為正項(xiàng)級數(shù)，因?yàn)椋?/p>

3、以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法收斂，所以選C.(5)設(shè)矩陣,.若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，由，故或，同時或.故選（D）(6) 設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.又因?yàn)楣视兴?選（A）(7) 若為任意兩個隨機(jī)事件,則: ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .(8) 設(shè)總體為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本, 為樣本均值,則 ( )(A) (B) (C

4、) (D)【答案】(B)【解析】根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，而，從而，選(B) .二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 【答案】【解析】原極限(10)設(shè)函數(shù)連續(xù)，若則【答案】【解析】因?yàn)檫B續(xù)，所以可導(dǎo)，所以；因?yàn)?，所以又因?yàn)椋怨?11)若函數(shù)由方程確定，則【答案】【解析】當(dāng)，時帶入，得.對求微分，得把，代入上式，得所以(12)設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且在處取得極值3，則【答案】【解析】的特征方程為，特征根為，所以該齊次微分方程的通解為，因?yàn)榭蓪?dǎo)，所以為駐點(diǎn)，即，所以，故(13)設(shè)3階矩陣的特征值為，其中E為3階單位矩陣，則行列式【答案】 【解析】的所有特

5、征值為的所有特征值為所以.(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則【答案】 【解析】由題設(shè)知，而且相互獨(dú)立，從而 .三、解答題：1523小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10 分)設(shè)函數(shù).若與在時是等價無窮小，求的值.【答案】 【解析】法一：因?yàn)椋瑒t有，可得：，所以，法二：由已知可得得由分母，得分子，求得c；于是 由分母，得分子，求得；進(jìn)一步，b值代入原式，求得 (16)(本題滿分10 分)計(jì)算二重積分，其中【答案】 【解析】(17)(本題滿分10分)為了實(shí)現(xiàn)利潤的最大化，廠商需要對某商品確定其定價模型，設(shè)為該商品的需求量，為

6、價格，MC為邊際成本，為需求彈性.(I) 證明定價模型為；(II) 若該商品的成本函數(shù)為，需求函數(shù)為，試由（I）中的定價模型確定此商品的價格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利潤函數(shù),兩邊對求導(dǎo)，得.當(dāng)且僅當(dāng)時，利潤最大，又由于,所以,故當(dāng)時，利潤最大.(II)由于,則代入(I)中的定價模型，得,從而解得.(18)(本題滿分10 分)設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求表達(dá)式.【答案】【解析】曲線的切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)為故面積為：.故滿足的方程為,此為可分離變量的微分方程,解得，又由于，帶入可得，從而(19)(本

7、題滿分 10分)（I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明（II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，寫出的求導(dǎo)公式.【答案】 【解析】（I） （II）由題意得 (20) (本題滿分 11分) 設(shè)矩陣，且.(I) 求的值；(II)若矩陣滿足，其中為3階單位矩陣，求.【答案】【解析】(I)(II)由題意知，(21) (本題滿分11 分)設(shè)矩陣相似于矩陣.(I) 求的值；（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣.【答案】【解析】(1) 的特征值時的基礎(chǔ)解系為時的基礎(chǔ)解系為A的特征值令，(22) (本題滿分11 分)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,對進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測,直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記為觀測次數(shù)(I)求的概率分布；(II)求. 【答案】(I)， ；(II).【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則，從而， 為的概率分布；(II) 法一:分解法:將隨機(jī)變量分解成兩個過程,其中表示從到次試驗(yàn)觀測值大于首次發(fā)生，表示從次到第試驗(yàn)觀測值大于首次發(fā)生.則，(注：Ge表示幾何分布)所以.法二:直接計(jì)算記，則，所以，從而. (23) (本題滿分11 分)設(shè)總體的概率密度為其