三重積分及柱坐標(biāo)計算法與球坐標(biāo)計算法

1、§13-5 三重積分的柱坐標(biāo)計算法與球坐標(biāo)計算法1.柱坐標(biāo)計算法 當(dāng)積分區(qū)域在直角坐標(biāo)系中向某個坐標(biāo)平面的垂直投影是圓或圓的一部分時，時常采用柱坐標(biāo)計算三重積分。讀者從圖13-26中看出，點(diǎn)的柱坐標(biāo)實(shí)際上是它到坐標(biāo)平面上垂足的平面極坐標(biāo)與點(diǎn)的豎坐標(biāo)的組合。圖13-26圖13-27根據(jù)定理13-5和二重積分的極坐標(biāo)計算法，可得下面關(guān)于三重積分的柱坐標(biāo)計算法。定理13-6 在定理13-5的假設(shè)條件下，則有(13-28)其中是在坐標(biāo)平面上的垂直投影（圖13-27）。例17 求三重積分，其中是由球面的上半球面與拋物面圍成的區(qū)域（圖13-28）。解 題中球面與拋物面的柱坐標(biāo)方程依次為與。它們圍

2、成的區(qū)域在坐標(biāo)平面上的垂直投影為圓。根據(jù)式（13-28），2.球坐標(biāo)計算法 當(dāng)積分區(qū)域是球體或球體的一部分時，時常采用球坐標(biāo)計算三重積分。如圖13-29，點(diǎn)的球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為圖13-29其中，。對于以原點(diǎn)為球心且以為半徑的球面上的簡單封閉曲線，自原點(diǎn)發(fā)出且與相交的射線環(huán)繞一周所構(gòu)成的空間區(qū)域（圖13-30），稱為由封閉曲線張成的頂點(diǎn)在原點(diǎn)的立體角。若用表示所包圍的那部分球面面積，則這個立體角的大小規(guī)定為特別，單位球面上封閉曲線張成的立體角的大小為（即圍成的球面面積）。對于空間中的有界閉區(qū)域，首先用下面的三族曲面將劃分成許多小區(qū)域：通過軸作一族半平面；以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且以軸為中心軸作一族圓錐

3、面；以原點(diǎn)為球心作一族同心球面。圖13-31中表示出這些小區(qū)域中的一個。它在單位球面上的中心投影的面積為（中心投影邊界曲線張成的立體角的大小）因此，那個小區(qū)域的底面的面積為。當(dāng)?shù)闹睆胶苄r，把它看成長方體（合理假設(shè)），則它的體積為?，F(xiàn)在，設(shè)有函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上的三重積分為把上面最后的三重積分化為累次積分（三次積分），假定自原點(diǎn)發(fā)出且通過區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)的每一條射線與區(qū)域的邊界曲面的交點(diǎn)不多于兩個。如圖13-32，自原點(diǎn)發(fā)出的射線與區(qū)域相交時，穿入點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為，而穿出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離記為；這樣的射線同時也穿過區(qū)域在單位球面上的中心投影。于是有（13-29）例18 用球坐標(biāo)計算法，重新

4、計算例17中的三重積分。解 見圖13-33，當(dāng)時，；當(dāng)時，。根據(jù)式（13-29），有3.選讀 三重積分的柱坐標(biāo)計算法與球坐標(biāo)計算法，實(shí)際上是下面這種變量替換的一般方法的特殊情形。下面的變量替換方法是二重積分的變量替換方法（定理13-3）在三重積分中的類比。設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)。若有一對一的正則變換將有界閉區(qū)域變換成，則（13-30）其中雅可比行列式為正時取“”，為負(fù)時取“”。例19 計算三重積分其中為橢球體：。解 作廣義球坐標(biāo)變換，則它的雅可比行列式為根據(jù)式（13-30），則有習(xí)題與閱讀1利用適當(dāng)?shù)姆椒?，計算下面的三重積分：，為拋物面和平面圍成的閉區(qū)域；，為半球面和拋物面圍成的閉區(qū)域；，為

5、圓錐面和平面圍成的閉區(qū)域；，；，為兩球體和的公共部分；，；，；，。答案：；。2根據(jù)的體積，求由曲面圍成的立體的體積。分析與解答：不妨認(rèn)為，則圖形含在第一、三、六、八掛限，根據(jù)圖形對稱性，所求體積為【為含在第一掛限的部分】用球坐標(biāo)變換，則曲面方程變?yōu)橐虼耍?設(shè)為連續(xù)函數(shù)。求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。答案：。4求三重積分(其中為非負(fù)整數(shù))。答案：當(dāng)中至少有一個為奇數(shù)時，；當(dāng)都為偶數(shù)時，。5求由曲面包圍的立體的體積。分析與解答 由曲面方程看出，曲面包圍的立體處在坐標(biāo)平面的正側(cè)一方，并且分別關(guān)于坐標(biāo)平面與對稱。因此，它的體積是它含在第一卦限部分的體積的4倍，即。令（廣義球坐標(biāo)變換）則6.閱讀【矩與質(zhì)心（重心）】 對

6、于空間中的n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組（它們的質(zhì)量依次記為），若它們到某平面或某直線或某點(diǎn)的距離依次為，則稱為該質(zhì)點(diǎn)組對那個平面或那條直線或那個點(diǎn)的級矩。零級矩就是質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量而對平面的級矩又稱為靜矩；級矩又稱為慣性矩或轉(zhuǎn)動慣量。上述質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心（或重心）的坐標(biāo)為這里用到的是質(zhì)點(diǎn)組對坐標(biāo)平面的靜矩（1級矩），不過其中質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不是它到相應(yīng)坐標(biāo)平面的距離，但它們的絕對值是它到相應(yīng)坐標(biāo)平面的距離。上述質(zhì)點(diǎn)組對坐標(biāo)平面的慣性矩（即轉(zhuǎn)動慣量）依次為而對坐標(biāo)軸的慣性矩（即轉(zhuǎn)動慣量）依次為還有對原點(diǎn)的慣性矩為以上關(guān)于質(zhì)點(diǎn)組的矩概念用不到積分（因?yàn)樗鼈兊姆植际诫x散的），而要研究質(zhì)量連續(xù)分布的“矩概念”時，就要用積分替代上面的各個和數(shù)。譬如，設(shè)有某種物質(zhì)連續(xù)地分布在空間某有界閉區(qū)域上，其分布密度為，則它的質(zhì)心（重心）坐標(biāo)為其中（總質(zhì)量）。而它對坐標(biāo)平面的慣性矩依次為以及它對坐標(biāo)軸的慣性矩依次為最后，還有它對原點(diǎn)的慣性矩為讀者在做有關(guān)的習(xí)題時，只要套用有關(guān)的公式就可以了。例 設(shè)有某種物質(zhì)均勻地分布在由球面與圓錐面