三擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算

1、3.6.7、擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算根據(jù)終值定理及式(3-81)、式(3-82)，式(3-84)、式(3-86), 擾動穩(wěn)態(tài)誤差的終值可由下式計算： (3-105)比較式(3-105)及(3-87)可見，的分母多項式與一樣，但的分子多項式中只有項，不象的分子多項式中有項。它說明只是控制環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)中串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目對系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差有決定性影響。一 階躍擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在單位階躍擾動作用下 這時擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值為 (3-106)二 斜坡擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在單位斜坡擾動作用下 這時擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值為 (3-107)三 加速度擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在單位加速度擾動作用下 這時擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值為

2、 (3-108) 按式(3-105)、(3-106)、(3-107)及(3-108)計算求得的各型系統(tǒng)在不同擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差終值匯總列于表3-2中。 表3-2 不同系統(tǒng)中擾動穩(wěn)態(tài)誤差的終值 擾 動 穩(wěn) 態(tài) 誤 差 的 終 值 擾 動 輸 入 n=0 系 統(tǒng) n=1系 統(tǒng) n=2系 統(tǒng) 0 0 0 由表3-2可見，系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值有可能為零、常數(shù)及無窮大三種情況。當(dāng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差終值為常數(shù)時，其值與控制環(huán)節(jié)及反饋環(huán)節(jié)的增益乘積成反比。3.6.8、擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的計算參考式可寫出系統(tǒng)擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)的表達(dá)式： (3-109)式中: ¾ 擾動誤差系數(shù)，i=1、2、3、參考式(3-9

3、1)可知，擾動誤差系數(shù)為 (3-110)例3-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)中控制器和被控對象的傳遞函數(shù)分別為1當(dāng)擾動單位階躍函數(shù)時，試求系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。 2當(dāng)擾動單位斜坡函數(shù)時，試求系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。 解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 于是 1 當(dāng)擾動為單位階躍函數(shù)時，擾動穩(wěn)態(tài)誤差的終值為 根據(jù)式(3-110)可以計算擾動誤差系數(shù) 如果擾動為單位階躍函數(shù)，即有 于是擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)是 2 當(dāng)擾動為單位斜坡函數(shù)時，擾動穩(wěn)態(tài)誤差的終值為 根據(jù)式(3-110)可以計算擾動誤差系數(shù) 如果擾動為單位斜坡函數(shù)，即有 于是擾動穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)是 亦即擾動穩(wěn)態(tài)誤差隨時間線性增長，所以當(dāng)時，穩(wěn)態(tài)誤差的終值為無窮大。3.6.9、

4、給定輸入、擾動共同作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的終值在實際控制系統(tǒng)中，給定輸入和擾動往往是同時存在的。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可分別求出系統(tǒng)在的給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值，然后把二者相加，即得到系統(tǒng)在給定輸入、擾動共同作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的終值3.6.10、減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法一 提高系統(tǒng)的開環(huán)增益;二 增加開環(huán)系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù);但是這兩種方法在其他條件不變時，一般會使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，因此要在系統(tǒng)穩(wěn)定范圍內(nèi)使用。三 采用復(fù)合控制當(dāng)要求控制系統(tǒng)既要有高的穩(wěn)態(tài)精度，又要有良好的動態(tài)性能時，如果單靠增加系統(tǒng)的開環(huán)增益或在前向通路中串入積分環(huán)節(jié)，往往不能同時滿足上述要求，這時可采

5、用復(fù)合控制的方法。復(fù)合控制結(jié)構(gòu)通常有兩種:1對擾動進(jìn)行補償?shù)膹?fù)合控制圖3-29為對擾動進(jìn)行補償?shù)南到y(tǒng)方框圖。為了補償擾動對系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，引入了擾動的補償信號，補償裝置為，圖3-29 按擾動補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)令，可以求出在擾動作用下系統(tǒng)的輸出為 (3-111)由上式可見，引入補償裝置后，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式?jīng)]有發(fā)生任何變化，即不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了補償擾動對系統(tǒng)輸出的影響，令式(3-111)等號右邊的分子為零，則有 (3-112)在式(3-112)條件下，無論在什么擾動作用下，擾動穩(wěn)態(tài)誤差均為零。2按給定輸入補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)圖3-30為對輸入進(jìn)行補償?shù)南到y(tǒng)方框圖，給定輸入信號通過補償裝置

6、，產(chǎn)生一補償信號參與控制。圖3-30 按輸入補償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)由圖3-30可知，系統(tǒng)的輸出為 (3-113)根據(jù)式(3-73), 系統(tǒng)的誤差為 (3-114) 將式(3-113)代入式(3-114)有 (3-115)令式(3-115)等于零，則有 (3-116)所以有 (3-117)式(3-117)表明，當(dāng)輸入補償裝置的傳遞函數(shù)為被控對象的傳遞函數(shù)的倒數(shù)時，系統(tǒng)的輸出量都能無誤差地復(fù)現(xiàn)輸入信號的變化規(guī)律。以上兩種補償方法是理想情況下的補償，在實際應(yīng)用時，還需考慮到系統(tǒng)模型和參數(shù)的誤差、周圍環(huán)境和使用條件的變化，無法保證穩(wěn)態(tài)誤差為零，因此，在具體實施時，如果補償后的誤差能夠控制在允許誤差范圍之內(nèi)

7、，就是很滿意的了。小 結(jié) 1 時域分析法是通過直接求解系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能。系統(tǒng)的時間響應(yīng)由暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成。 2 單位階躍函數(shù)是一種重要的函數(shù)，控制系統(tǒng)常采用單位階躍函數(shù)作為輸入信號，因為這種典型信號比較容易產(chǎn)生，且對系統(tǒng)的考察是嚴(yán)格的。單位脈沖函數(shù)是一種理想的試驗信號。 3二階系統(tǒng)，特別是二階欠阻尼系統(tǒng)，在時域分析法中占有重要地位，具有典型性。二階欠阻尼系統(tǒng)的時間響應(yīng)雖有振蕩，但只要阻尼比左右)取值適當(dāng)，則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性，又有過渡過程的平穩(wěn)性，因而在控制工程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計為欠阻尼系統(tǒng)。4 如果高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，則該系統(tǒng)的暫態(tài)

8、響應(yīng)就可以近似地用這對主導(dǎo)極點所描述的二階系統(tǒng)來表征。 5 對系統(tǒng)首要要求的性能是穩(wěn)定性。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是否收斂到零，而這一點取決于系統(tǒng)特征方程式的根。如果系統(tǒng)特征方程式的全部根都具有負(fù)實部，系統(tǒng)就穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有特性，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。對線性定常系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸入信號的形式和大小無關(guān)，和初始狀態(tài)無關(guān)。6 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性有多種方法。本章介紹了一種代數(shù)判據(jù)，即勞斯判據(jù)。勞斯判據(jù)根據(jù)代數(shù)方程式的根和系數(shù)的關(guān)系來判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否。7 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的度量，也是系統(tǒng)的一個重要的性能指標(biāo)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差既和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

9、和參數(shù)有關(guān)，也和輸入信號的形式、大小和作用點有關(guān)。思考題3-1 在時域分析法中，分析系統(tǒng)的性能時，經(jīng)常使用哪些典型的實驗輸入信號？3-2 為了考察系統(tǒng)的動態(tài)性能，都定義了哪些性能指標(biāo)？3-3一階系統(tǒng)的特征參數(shù)是什么？有什么物理意義？3-4什么條件下一階系統(tǒng)可以分別近似為比例環(huán)節(jié)或積分環(huán)節(jié)？3-5為什么比例負(fù)反饋可以改變一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的快慢？3-6二階系統(tǒng)的特征參數(shù)是什么？有什么物理意義？3-7二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)有哪些？分別寫出它們的計算公式。3-8二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)都有哪些類型？是由什么來決定的？3-9高階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是由哪些基本分量構(gòu)成的？3-10什么是系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點？3-11線性系

10、統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？3-12如果系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的各項系數(shù)全部大于零，那么對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了什么樣的信息？3-13如何應(yīng)用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性？3-14什么叫穩(wěn)態(tài)誤差？3-15系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)有哪些？如何使用靜態(tài)誤差系數(shù)來描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差？3-16系統(tǒng)的動態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)之間有什么關(guān)系？3-17系統(tǒng)的開環(huán)增益對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差有何影響？3-18 擾動信號對于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響是什么？習(xí) 題3-1 若二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 (1) 試求其閉環(huán)傳遞函數(shù)；(2) 確定其阻尼比和無阻尼自然頻率 。3-2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為(1)當(dāng)開環(huán)增益時，試求

11、在單位階躍輸入作用時，系統(tǒng)的最大超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間;(2) 若要使系統(tǒng)的阻尼比，試確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。3-3 控制系統(tǒng)的方框圖如圖3-31所示。 圖 3-31題3-3圖要想使系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量等于25%, 峰值時間為，試確定和的數(shù)值。3-4 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求在下列條件下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 (1) (2) (3) 3-5 已知系統(tǒng)的特征方程如下，試用勞斯判據(jù)檢驗其穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，請確定系統(tǒng)在右半平面的特征根數(shù)。 (2) (3) 3-6 根據(jù)下列單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值的范圍。(1) (2) (3) (4) 3-7已知單位

12、反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定能使系統(tǒng)穩(wěn)定的待定參數(shù)和的數(shù)值，并以和為坐標(biāo)軸畫出穩(wěn)定區(qū)域圖。3-8 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求：(1) 位置誤差系數(shù)、速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)。 (2) 當(dāng)參考輸入為時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3-9 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求：(1) 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位速度響應(yīng)； (2) 確定位置速度系數(shù)，速度誤差系數(shù)和當(dāng)輸入r(t)=2t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3-10 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若輸入信號為如下，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差級數(shù)(1) (2) (3)3-11 已知系統(tǒng)方框圖如圖3-32所示，其中參考輸入為定值，(1) 當(dāng)時，求擾動輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)定輸出和穩(wěn)態(tài)誤差;(2) 當(dāng)時，其結(jié)果如何？試比較說明之。(3) 如果在擾動作用點之前的通道中引入積分環(huán)節(jié)，其結(jié)果又如何？如果在擾動作用點之后引入積分環(huán)