七大積分總結

1、七大積分總結一 定積分1. 定積分的定義：設函數f(x)在a,b上有界，在區(qū)間a,b中任意插入n1個分點：a=x0<x1<x2<<xi-1<xi<xi+1<<xn-1<xn=b,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間：x0,x1xi-1,xixn-1,xn，記xi=xixi-1(i=1,2,3,n)為第i個小區(qū)間的長度，在每個小區(qū)間上xi-1,xi上任取一點i(xi-1ii)，作乘積:f(i)xi(i=1,2,3,n),并作合式： 記=maxx1, x2, x3, xn,若不論對a,b怎樣分法，也不論在小區(qū)間xi-1,xi上點i怎樣取法，只要當0時，S

2、的極限I總存在，這時我們稱I為函數f(x)在區(qū)間a,b上定積分（簡稱積分），記做： 其中f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，a,b稱為積分區(qū)間，稱為積分和。如果f(x)在a,b上的定積分存在，則稱f(x)在a,b上可積。關于定積分的定義，作以下幾點說明：（1） 積分值僅與被積函數及積分區(qū)間有關，而與積分變量的字母記法無關，即。（2） 定義中區(qū)間的分法與i的取法是任意的。（3） 定義中涉及的極限過程中要求0，表示對區(qū)間a,b無限細分的過程，隨0必有n，反之n并不能保證0，定積分的實質是求某種特殊合式的極限：例： （此特殊合式在計算中可

3、以作為公式使用）2. 定積分的存在定理定理一 若函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積。定理二 若函數f(x)在區(qū)間a,b上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間上可積。3. 定積分的幾何意義對于定義在區(qū)間a,b上連續(xù)函數f(x)，當f(x)0時，定積分在幾何上表示由曲線y=f(x),x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積；當f(x)小于0時，圍成的曲邊梯形位于x軸下方，定積分在幾何意義上表示曲邊梯形面積的負值。若f(x)在區(qū)間上既取得正值又取得負值時，定積分的幾何意義是：它是介于x軸，曲線y=f(x),x=a,x=b之間的各部分曲邊梯形的代數和。4定積分的性質線性性

4、質（性質一、性質二）性質一 和差的積分等于積分的和差；性質二 （k是常數）性質三 對區(qū)間的可加性 不管a,b,c相對位置如何，總有等式 性質四 如果在區(qū)間a,b上，f(x)1，則性質五（保號性） 如果在區(qū)間a,b上，f(x)0，則推論一 設f(x)g(x),xa,b，則推論二 (a<b)性質六（估值定理） 設M和m分別是函數f(x)在區(qū)間a,b上最大值和最小值，則 性質七（定積分中值定理） 設函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少有一點使得下式成立： （本性質可由性質六和介值定理一塊證得）5積分上限函數及其導數設函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若x為區(qū)間a,b上任意一點

5、，則f(x)在區(qū)間a,x上定積分為，此時x既表示積分變量又表示積分的上限，但兩者的含義不同，因為定積分與積分變量的激發(fā)無關，故可改用其他符號，可用t表示積分變量，則上面的積分可寫成，該積分會隨著X的取定而唯一確定，隨X的變化而變化。所以積分是定義在區(qū)間a,b上關于x的一個函數，記做(x): (x)= (axb)并稱該函數為積分上限函數或積分變上限函數，它具有下面定理所指出的重要性質：定理一 如果函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則積分上限函數(x)在區(qū)間a,b上可導，且導數為(x)= （axb）定理二（原函數存在定理） 如果函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(x)就是f(x)在區(qū)間a,b上的

6、一個原函數。定理二肯定了連續(xù)函數的原函數是存在的，揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系。定理三 如果函數f(t)在區(qū)間I1上連續(xù)，a(x),b(x)在區(qū)間I2上都可導，并且fa(x),fb(x)構成I2上的復合函數，則F(x)=在I2上可導，且F(x)=fb(x)·b(x)-fa(x)·a(x)6.牛頓-萊布尼茨公式設函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，函數F(x)是f(x)的一個原函數，則有=F(b)-F(a),這個公式稱為牛頓-萊布尼茨公式。次公式揭示了定積分與原函數之間的關系，它表明：一個連續(xù)函數在區(qū)間a,b上的定積分等于它的任意一個原函數在區(qū)間a,b上的增量，而原函

7、數的全體就是不定積分，故該公式將求定積分與不定積分聯系起來了，又叫做微積分基本公式，在計算中常用到。7.定積分的常見積分方法換元法如果函數f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且函數x=(t)滿足下列條件：（1）()=a,()=b;(2)在區(qū)間,上(t)具有連續(xù)導數且其值域Ra,b，則有 ，此公式稱為定積分的換元公式。注意：換元必換限，即用x=(t)把積分變量x換成t時，積分限一定要換成相應于新積分變量t的積分限；另外此公司反過來也可以用：，其中定積分中的對稱奇偶性：若f(x)在區(qū)間-a,a上連續(xù)，則：（1） 當f(x)為奇函數時，=0（2） 當f(x)為偶函數時，三角函數的定積分公式：設f(x)在0,1

8、上連續(xù)，則：（1）;(2)周期函數的定積分公式：如果T是連續(xù)函數f(x)的周期，則（a為常數）分部積分法若函數u=u(x)，v=v(x)在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)導數，則有 重要結論：設In=，則（1） 當n為正偶數時，In=（2） 當n為大于1的正奇數時，In=常用到的不定積分的積分公式：三角函數的有理式積分：一些初等函數： 兩個重要極限：常見微分公式：8.無窮限的廣義積分：設函數f(x)在區(qū)間a,+上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則此極限為函數f(x)在無窮區(qū)間a,+上的廣義積分，記做，這時也稱廣義積分收斂，如果上述極限不存在，則稱該廣義積分發(fā)散。同理也可得函數f(x)在無窮區(qū)間-,b

9、上的廣義積分。對于廣義積分：只有在收斂的條件下才可使用上述“定積分中的對稱奇偶性”。幾條結論：（1） 廣義積分，當p>1時收斂，當p1是發(fā)散。（2） 廣義積分當p>0時收斂，當p<0時發(fā)散。9.無界函數的廣義積分：設函數f(x)在區(qū)間（a,b上連續(xù)，點a為函數f(x)的瑕點，取t>a，如果極限存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b上的廣義積分，記做，即=。這時也稱廣義積分收斂，如果上述極限不存在，就稱廣義積分發(fā)散。同理，可得f(x)在區(qū)間a,b）上的瑕積分,即 = 對于無界函數的瑕積分（就是廣義積分）的計算，也可以利用牛頓-萊布尼茨公式，如對于f(x)在區(qū)間（a,b上

10、的瑕積分有： =F(b)-=F(x)-F(a+0)小結論：廣義積分當p<1時收斂，當p1時發(fā)散。對于無界函數的廣義積分（瑕積分）的計算，一般瑕點都會設置在區(qū)間(a,b)(或a,b),(a,ba,b)的內部一個點上。10.定積分的應用一、定積分在幾何上的應用：（一）平面圖形的面積1.直角坐標情形:對于有曲線x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)圍成的X型的曲邊梯形，其面積的計算公式為：A= （a<b）對于由曲線y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所圍成的Y型的曲邊梯形的面積計算公式為： (c<d)2.參數方程情形：當曲邊梯形的曲邊f(x)(f(x)0,xa,b)由參數

11、方程x=,y=給出時，若，且在a,b上具有連續(xù)導數，y=連續(xù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可得曲邊梯形的面積為：A=4. 極坐標情形：由曲線及射線圍成的曲邊扇形的面積計算公式為 A=（二）立體的體積1.旋轉體的體積對于由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積計算公式為：V=同理可得相似的繞Y軸和Z軸旋轉所成的旋轉體的體積計算公式。2.平行截面面積已知的空間立體的體積若一個立體位于平面x=a,x=b之間，且知道過x且垂直于x軸的平面截此物體的截面面積為A(x)，且A(x)為了連續(xù)函數，則此立體的體積計算公式是： V=，同理可得相似

12、的過Y（Z）且垂直于Y（Z）軸的平面截得的立體的體積的計算公式。（三）平面曲線的弧長1.參數方程情形設曲線由參數方程x=,y=給出，且，在上具有一階連續(xù)導數，則其弧長的計算公式為： S=2.直角坐標情形設曲線由直角坐標方程y=f(x) （axb）給出，其中f(x)在a,b上有一階連續(xù)導數，則此時函數的參數方程可寫成：x=x,y=f(x)，故其弧長的計算公式為：s=3.極坐標情形設弧線由極坐標方程 給出，其中在上具有一階連續(xù)導數，則其參數參數方程可以表示為x=cos,y=sin,故弧長為s=二、定積分在物理上的應用（一）變力沿直線所做的功 W=（二）液體壓力 這個就題論題；（三）引力 這個在計算

13、的時候適當建立直角坐標系，將力分解為X軸和Y州兩個方向上分別計算，就題論題；定積分到此結束，在計算的過程中要牢記常見的公式，特別是積分公式，這些都與不定積分有關，上邊總結的一些積分公式可能不全，見諒。二 二重積分這里二重積分的引入（闡釋了二重積分的幾何意義：表示曲頂柱體的體積）和定義及概念就不再總結，只聲明：當被積函數為常數1的時候，二重積分的物理意義是被積函數所圍區(qū)域的面積，當被積函數是關于積分變量的一個函數時，二重積分的意義有很多，這與二重積分的應用有關。1. 二重積分的性質性質一(線性性質) 和差的積分等于積分的和差；性質二（區(qū)域可加性） 若區(qū)域D由n個不重合的有界閉區(qū)域Di(i=1,2

14、,3,n)組成，則性質四（單調性） 若在區(qū)域D上恒有f(x,y)g(x,y),則， 特別的有性質五（估值定理） 設M，m分別為f(x,y)在有界閉區(qū)域上D上最大、最小值，A為區(qū)域D的面積，則 mAMA性質六（積分中值定理） 設函數f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，A為D的面積，則在D上至少存在一點，使=fA2. 二重積分的計算（基本思想：將二重積分轉化為二次積分）一、 在直角坐標系下計算二重積分（一） 先對Y，后對X的二次積分設二重積分的積分區(qū)域D可以表示為axb,的形式，其中，在a,b上連續(xù)，這時程區(qū)域D為X型區(qū)域，這時二重積分的計算公式為=（二） 先對X，后對Y的二次積分類似上邊，若二重積

15、分的積分區(qū)域D可以表示為cyd,的形式，則稱區(qū)域D為Y型區(qū)域，這時二重積分的計算公式為: =二、 在極坐標系下計算二重積分若積分區(qū)域D與圓域有關或者被積函數為，f(xy)等形式，用極坐標計算更簡便。極坐標下的面積微元可以表示為： 直角坐標與極坐標有如下變換：,而兩個坐標系的積分區(qū)域的形狀不變，因此有=常用的計算技巧：1. 適當的拆分被積函數和積分區(qū)域（主要是利用分塊積分和對稱性）2. 對稱性質若區(qū)域D關于X軸對稱：（1） 若f(x,y)是關于Y的偶函數，則：=2（2） 若f(x,y)是關于Y的奇函數，則=0；3.二重積分的一般換元法設變量變換 ，將Oxy平面上的閉區(qū)域D一一對應地變到Ouv平面

16、上的閉區(qū)域D，如果函數u,v在閉區(qū)域D內有連續(xù)偏導數， 且0 則，=三、三重積分三重積分的幾何意義（涉及到四維空間，暫不討論）略去。在特殊情況下，當被積函數恒等于1時，三重積分表示的為被積空間的體積大小。1 三重積分的計算（一） 直角坐標系下三重積分的計算方法一：投影法（又稱先一后二法，先化三重積分為定積分，計算完定積分后就化為二重積分了）設三重積分的積分區(qū)域可表示為：z1(x,y)zz2(x,y), (x,y)Dxy其中Dxy為在Oxy平面上的投影區(qū)域，它是Oxy平面上的有界閉區(qū)域，z1(x,y)和z2(x,y)都在Oxy上連續(xù)，則計算三重積分時，先將x,y看做常數，然后可得：=先對Z積分，

17、轉化成關于X,Y的一個二重積分（事實上還是化為關于X,Y,Z的三次積分來計算了），然后在計算二重積分即可（下面不再敘述）。若區(qū)域Dxy可以再極坐標系下表示，那么可以將上述公式化為先對Z，再對r，后對的三次積分。方法二：截面法（又稱先二后一法，事實上是先化三重積分為二重積分，計算完二重積分后就化為一個定積分了）設空間區(qū)域：c1zc2,(x,y)Dz,其中Dz是過點（0,0，z）且平行于Oxy平面的平面截所得的平面區(qū)域，則=，然后可根據Dz是坐標系下的X型或Y型區(qū)域化X,Y的二重積分為二次積分，然后轉化為Z的定積分。若Dz可以用極坐標系表示，則還可以化為關于先計算r,的二重積分（化為二次積分計算）

18、，再計算Z的定積分。（由于這里公式繁雜，故不再詳細書寫，請諒解）3. 三重積分的換元法設變量變換 將Ouvw空間中的閉區(qū)域一一對應地變換為Oxyz空間中的閉區(qū)域，若函數x,y,z在內具有連續(xù)的偏導數，且0，則三重積分的換元公式為=4. 柱面坐標下三重積分的計算柱面坐標與直角坐標的變換關系為：,則易得（代入上邊的換元公式中可得）：J=r0,所以=，然后計算三重積分。注：當被積函數含有zf(x2+y2),zf(xy),的形式，或者積分區(qū)域由圓柱面（或一部分）錐面、拋物面所圍成時，用柱面坐標系計算比較簡便。5. 球面坐標下三重積分的計算。直角坐標和球面坐標之間的轉換關系如下：則代入上邊的換元法的公式

19、中可得J=r2sin0 故=注：當積分區(qū)域是與球面有關的區(qū)域時或者被積函數中含有等形式時，用球面坐標系計算比較簡便。三重積分的對稱奇偶性：若關于Oxy平面對稱，則當f為關于z的奇函數時，=0；當f為關于z的偶函數時，=26. 重積分的應用一 計算立體體積 V=二 計算空間曲面面積設：z=f(x,y)為空間可求面積的曲面，在Oxy平面的投影區(qū)域為Dxy,任取Dxy上的小區(qū)域，則經過證明可得（證明過程略去，自己看書）：=dS,故dS=,故S=，然后計算二重積分。三、 求質心這里只介紹公式，推導過程不再敘述，自個兒看書。設有一個有界閉區(qū)域D，它的密度在D上連續(xù)，下面給出這一平面區(qū)域的質心公式：（其中

20、Mx,My分別為質點系對對X，Y軸的靜距）。，特別的，當區(qū)域D的面密度為常值時，其質心坐標計算公式為：，同理可得空間有界區(qū)域的形心的坐標公式：，特別的，當空間區(qū)域所代表的例題均勻為時，其形心坐標公式為：補充：1. 若積分區(qū)域關于直線y=x對稱，則根據輪換對稱性可得：=2. 在計算重積分的時候，適當的交換積分順序能幫助解題。3. 利用質心、重心公式計算（當且僅當積分區(qū)域所代表的圖形是均勻的）：例如：（此公式是由質心公式變形得到的，使用此公式的前提是已知積分區(qū)域的質心坐標）四、 計算轉動慣量（公式推導過程略去）設一個平面區(qū)域D，面密度為，下面給出其相對于X,Y,Z軸的轉動慣量的計算的公式：，同理也

21、可得到空間區(qū)域所代表的例題相對于X,Y,Z軸的轉動慣量分別為：其中dx,dy,dz分別為點(x,y,z)到x,y,z軸的距離。五、 計算引力（推導過程略去，自個兒看書）某薄片在平面Oxy上所占區(qū)域為D，面密度為，下面給出它對點（x0,y0,z0）處單位質點（單位質量的質點）的引力計算公式：（任取D上的小區(qū)域d，點M（x,y,z）為d上任意一點），四、第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）引入對弧長的曲線積分的時候首先探討了怎樣求曲線構件的質量（此過程不再敘述）。1. 對弧長的曲線積分的定義設函數f(x,y)在Oxy平面的光滑曲線弧L上有界，將L分成任意的n段，si表示小狐段本身又表示它的長度，點是

22、si上任取的一點，令=maxsi,則定義第一類曲線積分：，同時可定義在空間中的第一類曲線積分：2. 對弧長的曲線積分的性質性質一 ，其中l(wèi)為弧長。性質二（線性性質） 對弧長和差的積分等于積分的和差。性質三（可加性） 將曲線弧分成n段補充和的小弧段，則性質四（單調性） 若在曲線弧L上，f(x,y)g(x,y),則，特別3. 對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算思路就是將其化為定積分。（變量參數化，小值做下限）設函數f(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù)，L的參數方程為x=,y=，則對弧長的曲線積分存在，且 （<）特別的，當曲線弧L的方程為y=，(axb)時，可以將x看做參數，故 同理也可

23、寫出將Y看做參數的計算公式。當曲線弧L有極坐標方程時，由極坐標與直角坐標的變換關系，將看做參數，則以上公式都給可以推廣到空間曲線?。荷?，此時對弧長的曲線積分公式為：五、第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）引例：變力沿曲線做功（在此不再敘述）1. 第二類曲線積分的定義（直接引入定義，不再闡述，實際上闡述過程和前邊幾種積分很相似）。向量函數P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標X的曲線積分，記做，向量函數Q(x,y)在有向曲線弧L上對坐標Y的曲線積分，記做：。若力F=（P(x,y),Q(x,y)）,則質點沿曲線弧從起點A到終點B是變力F做功可表示為：W=+，同理可推廣到空間中的光滑曲線弧，故W=2. 對

24、坐標的曲線積分的性質性質一（線性性質） 對坐標的曲線積分具有線性（和差的積分等于積分的和差）性質二（可加性） 對坐標的曲線積分具有積分曲線分段可加性。性質三（有向性） 設L為有向光滑曲線弧，記L為L的反向曲線弧，則，同理此結論也可推廣到空間曲線弧的坐標積分。3.對坐標的曲線積分的計算（變量參數化，起參值做下限）與對弧長的曲線積分的計算方法一樣，對坐標的曲線積分的計算方法也是將其化為定積分。設函數P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)，L的參數方程為x=,y=，其中，具有連續(xù)的一階導數，又有當t由變到時，L上的電從起點變到終點，則對坐標的曲線積分存在，且同理也可寫出當X或Y作參數時的

25、公式，還可寫出曲線弧在極坐標系下時的公式（這里就不再敘述了），且以上公式都可以推廣到空間曲線弧中。注：在計算的時候，一定要特別注意曲線弧的方向和積分參變量的上下限。3. 兩類曲線積分之間的聯系設L：x=,y=，為從點A到點B的有向光滑曲線弧，其中點A處t=1,點B處t=2,又P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù)，令，= 同理可得：=4. 格林公式及其應用格林公式的定義：若平面有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數P（x,y）,Q(x,y)在D上具有連續(xù)的一階偏導數，則有。（證明略）5. 平面上對坐標的曲線積分與路徑無關的條件設D是單連通區(qū)域，函數P(x,y),Q(x,y)在D內具有連續(xù)的一階偏導