概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)

1、引 言概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。理論嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，發(fā)展迅速，在理論聯(lián)系實(shí)際方面，概率是最活躍的學(xué)科之一。什么是隨機(jī)現(xiàn)象？用兩個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)來(lái)闡明，這里所說(shuō)的試驗(yàn)是對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn)。試驗(yàn)1：一袋中裝有十個(gè)外形完全相同的白球，攪勻后從中任取一球。試驗(yàn)2：一袋中裝有四白三黑三紅大小形狀完全相同的球，攪勻后從中任取一球。對(duì)于實(shí)驗(yàn)1，根據(jù)其條件，我們就能斷定其結(jié)果取出的必是白球。象這類(lèi)根據(jù)試驗(yàn)開(kāi)始的條件，就能確定試驗(yàn)的結(jié)果所反映的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象非常廣泛，例如：1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100，必會(huì)沸騰。2邊長(zhǎng)為a，b的矩形，其面積必為a

2、·b3實(shí)系數(shù)奇次方程必有一實(shí)根。對(duì)于試驗(yàn)2，根據(jù)其條件，在球沒(méi)有取出之前，不能斷定其結(jié)果是白球、紅球或是黑球，這類(lèi)試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，它所對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象在客觀世界中也極為普遍，例如：1擲一枚均勻的硬幣，考慮出現(xiàn)哪一面；2抽查流水生產(chǎn)線的一件產(chǎn)品，是正品還是次品；3觀察一上午電話總機(jī)接到的呼叫次數(shù)。上述試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：試驗(yàn)的結(jié)果具有一種“不確定性”，即任意做一次試驗(yàn)時(shí)，我們不能斷言其結(jié)果是什么，但是“大數(shù)次”重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果又遵循某些規(guī)律，這種規(guī)律稱(chēng)之為“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”，正是我們“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”研究的對(duì)象?！案怕逝c數(shù)理統(tǒng)計(jì)”又是兩個(gè)聯(lián)系緊密而有區(qū)別的東西。概率論

3、從數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論推導(dǎo)，從同類(lèi)現(xiàn)象中找出規(guī)律性。數(shù)理統(tǒng)計(jì)著重于數(shù)據(jù)處理，在概率論理論的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)踐中采集得的信息與數(shù)據(jù)進(jìn)行概率特征的推斷。參考書(shū)：1概率論（第一冊(cè) 概率論基礎(chǔ)，第二冊(cè) 數(shù)理統(tǒng)計(jì)） 復(fù)旦大學(xué)編。2概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版<上、下>兩冊(cè)）中山大學(xué)數(shù)學(xué)系梁之舜等編著。3概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張飴慈等編著。4教育統(tǒng)計(jì)學(xué)楊宗義等編。第一章 事件與概率教學(xué)目的：1使學(xué)生掌握事件與概率的公理化定義及概率的基本性質(zhì)。2使學(xué)生熟練掌握古典概型及貝努里概型的特點(diǎn)。能正確求出兩種概型中事件的概率。3使學(xué)生能熟練應(yīng)用加法公式、乘法公式、全概公式及貝葉斯公式計(jì)算事件的概率。4使

4、學(xué)生掌握事件獨(dú)立性的概念。通過(guò)本章的教學(xué)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。§1.1 隨機(jī)事件和樣本空間我們把在一定的條件下，對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗(yàn)稱(chēng)為一個(gè)試驗(yàn)，如試驗(yàn)滿足以下條件：（1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是預(yù)先知道的，且不止一個(gè)。（3）每做一次試驗(yàn)總會(huì)出現(xiàn)可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前，不能預(yù)言會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。那么，就稱(chēng)這樣的試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，也常簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)試驗(yàn)為試驗(yàn)。試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，稱(chēng)為基本事件，用或表示，若干基本事件復(fù)合而成的結(jié)果稱(chēng)為復(fù)雜事件，常A、B、C等表示，試驗(yàn)下必然會(huì)發(fā)生的結(jié)果稱(chēng)為必然事件，常用表示，必然不會(huì)出現(xiàn)的結(jié)

5、果稱(chēng)為不可能事件，常用表示，上述事件統(tǒng)稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件?；臼录?fù)雜事件即（隨機(jī)事件）例1.1 擲一顆均勻的骰子基本事件：出現(xiàn)k點(diǎn)k=1，2，6復(fù)雜事件：A=出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)， B=出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，必然事件：=出現(xiàn)小于7的點(diǎn)不可能事件：=出現(xiàn)大于6的點(diǎn)為了便于用點(diǎn)集的知識(shí)描述隨機(jī)事件，我們把試驗(yàn)下的每個(gè)基本事件抽象地看成一個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)之為樣本點(diǎn)，仍用或表示。全體樣本點(diǎn)的集合稱(chēng)為樣本空間，用表示。于是任一隨便機(jī)事件都可表示為的子集，特別地，樣本空間表示必然事件，其空子集表示不可能事件。不同的試驗(yàn)，對(duì)應(yīng)的樣本空間可能相當(dāng)簡(jiǎn)單，也可能較復(fù)雜。例1.2 擲一枚硬幣令=出現(xiàn)正面，=出現(xiàn)反面則=，。例1.3 觀察

6、某天到某商場(chǎng)購(gòu)物的顧客數(shù)。令=來(lái)到k個(gè)顧客，k=0，1，2則=：k0例1.4 考查地震震源。x震源經(jīng)度，y震源緯度,z震源深度。 則=（x,y,z）（x,y,z）,V為三維空間某區(qū)域。二、事件的關(guān)系及運(yùn)算1事件的包含與相等：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱(chēng)B包含A或稱(chēng)A是B的特款，并記作或。若且同時(shí)，則稱(chēng)A與B相等（等價(jià)），記為A=B。2事件的并與差A(yù)與B的并（或和）=A與B至少一個(gè)發(fā)生，推廣：A1，An至少一個(gè)發(fā)生=事件A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生=AB3事件的交A、B同時(shí)發(fā)生=事件A發(fā)生且B也發(fā)生A1，An同時(shí)發(fā)生4互不相容事件若=（即A、B兩事件不可能同時(shí)發(fā)生），稱(chēng)A、B為互不相容（或互斥）事件。

7、5互逆事件（互相對(duì)立事件）記A不發(fā)生，則稱(chēng)為A的逆事件或A的對(duì)立事件，顯然A又是的對(duì)立事件，即A與互為對(duì)立事件，此外，=A事件的運(yùn)算滿足下述規(guī)則：（1）交換律：，AB=BA （1.1）（2）結(jié)合律： （1.2） =A（BC） （1.3）（3）分配律： （1.4） （1.5）（4）De Morgan 定理（對(duì)偶原理）（1.6） (1.7)例1.5 利用事件的關(guān)系和運(yùn)算律證明（）AB=A，（）。證：（）AB=A發(fā)生且B不發(fā)生發(fā)生，故AB= A（） 又故原式成立例6 設(shè)A、B、C是中的事件，則（見(jiàn)書(shū)P9）A與B發(fā)生，C不發(fā)生=ABA、B、C中至少有二個(gè)發(fā)生=A、B、C中恰好發(fā)生兩個(gè)=A、B、C中有不

8、多于一個(gè)事件發(fā)生=如把中表示事件的子集全部歸為一類(lèi)，并用F表示，則稱(chēng)F為事件類(lèi)，即，F(xiàn)顯然應(yīng)對(duì)事件的和、差、積運(yùn)算封閉，則得F應(yīng)滿足下述要求：（1）（2），則（3），i=1，n，則易驗(yàn)，滿足上述（1）、（2）、（3）的F對(duì)“”，“”亦封閉。故F是上的域，稱(chēng)之為事件域，今后稱(chēng)F中元素，且只有F中元素為一個(gè)事件。§1.2 概率和頻率定義1.1 設(shè)A是某試驗(yàn)下的一個(gè)事件，將此試驗(yàn)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次，若其中事件A出現(xiàn)nA次，記。稱(chēng)fn(A)為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，nA稱(chēng)為A發(fā)生的頻數(shù)。經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)頻率fn(A)隨n的增大具有穩(wěn)定性，此規(guī)律為頻率的穩(wěn)定性。頻率的穩(wěn)定性說(shuō)明隨機(jī)事件

9、發(fā)生的可能性有大小而言。概率的直觀描述：度量事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)稱(chēng)為事件的概率，記為P（A）。我們可以將頻率fn(A)的穩(wěn)定值p定義為P(A)，并將它稱(chēng)為事件A概率，由頻率的性質(zhì)可推得統(tǒng)計(jì)概率具有如下基本性質(zhì)：（1）（非負(fù)）P(A)0，對(duì)任意AF（2）（規(guī)范）P()=1（3）（有限可加）若A1，A2，An為F中兩兩互斥事件，則。§1.3 古典概型若隨機(jī)試驗(yàn)滿足：（1）對(duì)應(yīng)的樣本空間只含有限個(gè)樣本點(diǎn)，即= （有限性）（2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，即P()= P()（等可能性）則稱(chēng)該試驗(yàn)描述的數(shù)學(xué)模型為古典概型。對(duì)于古典概型，一般取中一切子集構(gòu)成F，對(duì)任意F用如下公式計(jì)算其概率

10、： （1.8）且把它稱(chēng)作古典概率。例1.7 袋中裝有外形完全相同的2只白球和2只黑球，依次從中摸出兩球。記A=第一次摸得白球，B=第二次摸得白球，C=兩次均摸得白球。求A、B、C的概率。分析與解：我們用枚舉法找出該實(shí)驗(yàn)的全體樣本點(diǎn)。不妨對(duì)球編號(hào)，2只白球編號(hào)為奇數(shù)1、3，而2只黑球編號(hào)為偶數(shù)2、4，對(duì)數(shù)（i，j）表第一次摸到i號(hào)球，第二次摸到j(luò)號(hào)球這一結(jié)果，于是可將試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)一一列出：=(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)共有12個(gè)樣本點(diǎn)。由于球的外形完全相同，故樣本點(diǎn)具有等可能性，這是一

11、個(gè)古典概型，又A=(1,2)(1,3)(1,4) (3,1)(3,2)(3,4)B=(1,3) (2,1)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)C=(1,3) (3,1)據(jù)公式（1.8）有P(A)=，P(B)=，P(C)= 。由上例看出，用公式（1.8）計(jì)算古典概率的關(guān)鍵，是要正確求出n和KA，然而并非每次計(jì)算n和KA都象例1.7那樣簡(jiǎn)單，許多時(shí)候是比較費(fèi)神而富于技巧的，計(jì)算中經(jīng)常要用到兩條基本原理乘法原理和加法原理及由之而導(dǎo)出的排列、組合等公式，現(xiàn)簡(jiǎn)介如下：乘法原理：完成一件工作分m個(gè)步驟，第一步驟有n1種方法，第二步驟有n2種方法，第m個(gè)步驟有nm種方法，那么完成這件工作共有n1

12、5;n2×nm種方法。加法原理：完成一件工作有m個(gè)獨(dú)立的途徑，第一個(gè)途徑有n1種方法，第m個(gè)途徑有nm種方法，那么完成這件工作共有n1n2nm種方法。以上述兩個(gè)原理為基礎(chǔ)，可以推導(dǎo)出如下的排列、組合等公式。1排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)來(lái)排列，既要考慮每次取到哪個(gè)元素，又要考慮取出的順序，根據(jù)取法分為兩類(lèi)：（1）有放回選取，這時(shí)每次選取都是在全體元素中進(jìn)行，同一元素可被重復(fù)選中，這種排列稱(chēng)為有重復(fù)排列，總數(shù)為n種。（2）不放回選取，這時(shí)一元素一旦被選出便立刻從總體中除去，這種排列稱(chēng)為選排列，總數(shù)，特別地稱(chēng)為n個(gè)元素的全排列。2組合（1）從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素的組合是不考慮元素的順序的

13、，其組合總數(shù)為 （1.9）（2）若，把n個(gè)不同的元素分為成k個(gè)部分，第一部分有r1個(gè)，第二部分r2個(gè)，第k個(gè)部分rk個(gè)，則不同的分法有 （1.10）種，此稱(chēng)為多項(xiàng)系數(shù)，因?yàn)樗钦归_(kāi)式中的系數(shù)。當(dāng)k=2時(shí)，即為（1.9）表示出的組合數(shù)（）。（3）若n個(gè)元素中有n1個(gè)帶足標(biāo)“1”，n2個(gè)帶足標(biāo)“2”，nk個(gè)帶足標(biāo)“k”，且，從這n個(gè)元素中取出r個(gè)，使得帶足標(biāo)“i”的元素有ri個(gè)（rini,1ik），而，這時(shí)不同取法的總數(shù)為 （1.11）4一些常用等式選排列和組合式可推廣到r是正整數(shù)而n是任意實(shí)數(shù)x的場(chǎng)合，即有此外由得 (1.12)利用冪級(jí)數(shù)乘法可推得: (1.13)特別地有 =由,上式即例1.8

14、(書(shū)P18例1.7)例1.9 有10個(gè)電阻,其電阻分別為1,2,，10，從中任取出三個(gè)，以A表示“取出的三個(gè)電阻恰好一個(gè)小于5，一個(gè)等于5，一個(gè)大于5”這一事件，求P(A).分析與解：從10個(gè)電阻中任取3個(gè)而不必考慮其順序，所有可能的取法為組合數(shù)，由于每個(gè)電阻被取到的機(jī)會(huì)均等，因此每種取法是等可能出現(xiàn)的，此為古典概型。因小于5的電阻有4個(gè)，等于5的只1個(gè)，大于5的有5個(gè)，按公式（1.11），A所含樣本點(diǎn)數(shù)為 。故P(A)=例1.10 某城有N部卡車(chē)，車(chē)牌號(hào)從1到N，一人到該城去把N部卡車(chē)的牌號(hào)抄下，求A =“抄到最大牌號(hào)正好是K” 的概率（1K N）。分析與解：易理解，由于抄車(chē)牌號(hào)可能重復(fù)，問(wèn)

15、題歸結(jié)為對(duì)N個(gè)車(chē)牌號(hào)進(jìn)行n次有放回抽樣，可考慮為可重復(fù)排列，樣本點(diǎn)總數(shù)為，由于每個(gè)車(chē)牌號(hào)是等可能被抄到的，模型為古典概型，考慮事件A所含樣本點(diǎn)數(shù)時(shí)，可以先考慮最大車(chē)牌號(hào)不大于K的抄法，共K種，再除去最大車(chē)牌號(hào)不大于（k1）的抄法（k1）種，即得A所含樣本點(diǎn)數(shù)。于是，在討論古典概型時(shí)，有時(shí)我們也可以根據(jù)考慮問(wèn)題方便，適當(dāng)選取樣本空間，見(jiàn)下面的例：例1.11 袋中有a只黑球，b只白球，它們除顏色不同外，其余無(wú)差異，現(xiàn)隨機(jī)地把球一只一只地摸出，求A=“第k次摸出的一只球?yàn)楹谇颉钡母怕省＃?kab）解法一：將a只黑球看作沒(méi)有區(qū)別，b只白球也看作沒(méi)有區(qū)別，將ab只球一一摸出排在ab個(gè)位置上，所有不同的摸

16、法對(duì)應(yīng)著ab個(gè)位置中取出a個(gè)位置來(lái)摸黑球（其余為摸白球）的取法，即樣本點(diǎn)總數(shù)n=，而A所含樣本點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)著不考慮第K個(gè)位置（第K個(gè)位置固定為黑球）的其余ab1個(gè)位置中取出a1個(gè)來(lái)摸黑球的取法，即為，于是解法二：設(shè)想將a只黑球及b只白球編號(hào)后一一取出排成一排，則所有可能的排法為n=(ab)!，事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)?shù)趉個(gè)位置上是a只黑球中取出一個(gè)排進(jìn)，其余ab1個(gè)位置是剩下的a1只黑球和b只白球來(lái)排列，于是A所含樣本點(diǎn)數(shù)KA=a×(ab1)!，故解三：仍設(shè)想把a(bǔ)只黑球， b只白球依次編號(hào)為1，ab,記=第k次摸球摸到第i號(hào)球則樣本空間=，其中各是等可能出現(xiàn)的，顯然A含中a個(gè)樣本點(diǎn)，故三種解法

17、答案一樣，這說(shuō)明對(duì)于同一隨機(jī)現(xiàn)象，可以用不同的模型來(lái)描述，只要方法正確，結(jié)論總是一致的，上面解法一的每個(gè)樣本點(diǎn)是由解法二的a!b!個(gè)樣本點(diǎn)合并而成，而解法三的每個(gè)樣本點(diǎn)則由解法二的(ab1)！個(gè)樣本點(diǎn)合并而成的。另方面，例1.11結(jié)論告訴我們，第k次摸到黑球的概率與k并無(wú)關(guān)系，這一有趣的結(jié)果具有現(xiàn)實(shí)意義，比如日常生活中人們常愛(ài)用“抽簽”的辦法解決難于確定的問(wèn)題，本題結(jié)果告訴我們，抽到“中簽”的概率與“抽簽”的先后次序無(wú)關(guān)。例1.12 一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品（MN），采用有放回和不放回兩種抽樣方式從中抽n件產(chǎn)品，問(wèn)正好抽到K件次品的概率是多少？分析與解：所求的概率顯然是與抽樣方式有關(guān)，

18、下面分別加以討論。（1）有回放抽樣不妨設(shè)想將N件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)，有放回抽n次的所有不同的抽法對(duì)應(yīng)重復(fù)排列數(shù)N，其中次品正好出現(xiàn)k次的數(shù)目是。故所求概率為 （1.14）（2）不放回抽樣 從N件產(chǎn)品中取出n件的所有不同取法對(duì)應(yīng)組合數(shù)。據(jù)公式（1.11）?！罢萌〉絢件次品”對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)為 ，故所需求的概率為 此概率稱(chēng)為超級(jí)幾何分布 (1.15)由上例看出，抽樣方法不同，計(jì)算出的概率也是不同的，尤其是產(chǎn)品總數(shù)N不大時(shí)，和的差別更是顯而易見(jiàn)的。但當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)N較大而抽取的產(chǎn)品數(shù)n相對(duì)較小時(shí)，和的差別就可以忽略。人們?cè)趯?shí)踐中正是利用這一點(diǎn)，把抽取對(duì)象較大的不放回抽樣當(dāng)作有放回抽樣來(lái)處理，這樣用（1.14）

19、式計(jì)算概率比用（1.15）式簡(jiǎn)便得多。例1.l3 （書(shū)P19例1.8）從古典概型的討論，可得古典概率有如下基本性質(zhì)：（1）非負(fù)性：對(duì)任意AF，有P（A）0（2）規(guī)范性：=1（3）有限可性：是F中兩兩互斥事件，則推論： （1.16）例1.14 一袋中裝有N1個(gè)黑球及1只白球，每次從袋中摸出一球，并換入一只黑球，如此延續(xù)下去，問(wèn)第k次摸球摸到黑球的概率是多大？解：令A(yù)=第k次摸球摸到黑球。則=第k次摸到白球。由題設(shè)條件，發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)前k1次都摸到黑球而第k次摸到白球，易得。 例1.15（書(shū)P20例1.9）例1.16（書(shū)P21例1.10）§1.4幾何概率、概率的公理化定義及性質(zhì)一、幾何概率

20、如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間為n維歐氏空間的某個(gè)區(qū)域，且樣本點(diǎn)在內(nèi)“均勻分布”，則“點(diǎn)落入內(nèi)某可測(cè)子區(qū)域A”A的概率與A的測(cè)度成正比，而與子區(qū)域A的位置及形狀無(wú)關(guān)，即 （1.17）這里表示測(cè)度，即是長(zhǎng)度、面積、體積等。我們稱(chēng)用（1.17）計(jì)算的概率為幾何概率，相應(yīng)的概率模型為幾何概型。例1.17 （會(huì)面問(wèn)題）（書(shū)P22例1.11）例1.18 （Buffon投針問(wèn)題）平面上畫(huà)有等距離為a（a0）的一些平行線，向此平面任意投擲一枚長(zhǎng)為l（la）的針，試求針與平行線相交的概率p。解：以x表示針的中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，表示針與最近一條平行線間的交角（見(jiàn)書(shū)P24圖1.8）易知有，（1）由這兩式

21、可以確定在平面上的一個(gè)矩形，要使針與平行線相交，必須且只需。（2）表示上不等式的點(diǎn)（，x），由書(shū)上圖1.8中陰影部分A表示，由于可以理解針是等可能地落在平面上的任一位置，故有（3）如果l、a為已知，則以值代入上式即可計(jì)算得P(A)之值，反之如果已知P(A)之值，也可利用上關(guān)系式求，其方法是投針N次，記下針與平行線相交的次數(shù)n，并以頻率作P(A)的近似值代入（3）即得這時(shí)實(shí)際向大家介紹了一個(gè)很有用的計(jì)算方法，即若我們想要計(jì)算一個(gè)感興趣的量（上面這個(gè)量是），則可適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，使試驗(yàn)下某個(gè)事件的概率與感興趣的那個(gè)有關(guān)，然后重復(fù)試驗(yàn)多次，以頻率代事件的概率便可求出那個(gè)量的近似解來(lái)。人們稱(chēng)這種

22、計(jì)算方法為隨機(jī)模擬法或蒙特卡洛（MontoCarlo）方法。幾何概率也具有類(lèi)似統(tǒng)計(jì)概率和古典概率的基本性質(zhì)，有所不同的是，由于幾何概型對(duì)應(yīng)的樣本空間為歐氏空間的某個(gè)可測(cè)區(qū)域，其計(jì)算涉及的是區(qū)域的測(cè)度。因此，F(xiàn)不能將的全部子集選入，而只能取的可測(cè)子集。（否則幾何概率無(wú)意義）當(dāng)然，F(xiàn)要滿足它本身的三個(gè)條件，由于的可測(cè)子集有無(wú)限個(gè)，故F中涉及事件的可列運(yùn)算相應(yīng)的幾何概率也就會(huì)涉及到可列運(yùn)算。例1.19 考察在0，1中隨機(jī)投點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)，記A=投點(diǎn)落入，=投點(diǎn)落入，n=1，2，。則，按題設(shè)所投的點(diǎn)落入某區(qū)間的概率等于該區(qū)間的長(zhǎng)度，于是有，便有上例說(shuō)明幾何概率滿足可列可加性。綜上，幾何概率具有如下基本性

23、質(zhì)：（1）對(duì)任何事件A，（2）（3）若兩兩互斥，則。二、概率的公理化定義及其基本性質(zhì)定義1.2 設(shè)試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的樣本空間為，的一些子集構(gòu)成域（即事件域）為F，對(duì)每一個(gè)F，定義實(shí)值集函數(shù)P滿足：（1）非負(fù)：對(duì)F，均有（2）規(guī)范：（3）可列可加：若F，且（），則。則稱(chēng)這樣的集函數(shù)P為F上的一個(gè)概率，就稱(chēng)為事件A的概率。由上面的定義看出，P實(shí)質(zhì)上是F上的一個(gè)規(guī)范化測(cè)度，我們稱(chēng)它為概率測(cè)度。綜上，描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)有三件東西：樣本空間，事件域F，F(xiàn)上的規(guī)范測(cè)度P，我們稱(chēng)三元總體（、F、P）為一個(gè)概率（測(cè)度）空間。根據(jù)的情況，可以考慮如下方式構(gòu)造F，定義P：1若=（稱(chēng)為有限樣本空間）可取的所有子集

24、構(gòu)成F，定義P只要有滿足：， 對(duì)于F中任一元素，令則 P是F上一個(gè)概率。顯然，古典概率是上述情形的特例。2若= （稱(chēng)為離散樣本空間）這時(shí)仍可取的一切子集構(gòu)成F，定義P只要滿足 對(duì)任意F，令，則P為F上的一個(gè)概率。3若為歐氏空間的某區(qū)域（或空間），則可取中全體Borel點(diǎn)構(gòu)成F，在F上定義概率P可按定義測(cè)度的辦法再作規(guī)范處理即可。顯然，幾何概率就是這樣定義的。例1.20 設(shè)=0，1，2，F(xiàn) =的一切子集，對(duì)，定義（0）特別。驗(yàn)證（，F(xiàn)，P）為一概率空間。證：只需驗(yàn)證P是F上的概率即可。由P的定義，顯然有：(1) ，對(duì)。(2) (3)若且 則 故P為F上的一個(gè)概率。實(shí)際上例1.18定義的P是上面情

25、形2的特例。概率除具有定義所述的三條基本性質(zhì)外，還具有如下性質(zhì)：1P() =0證：2（有限可加性），若為F中兩兩互斥事件，則證：系：3（單調(diào)性或稱(chēng)可減性）若，則，從而證4（加法公式）對(duì)任意，有 （1.18）證一般地，若，1，2，n，則有 （1.19）其中(有限可加性是(1.19)的特殊意況)5（半可加性）證6（連續(xù)性）若為F單調(diào)序集，則即當(dāng)時(shí)（從下連續(xù)性）當(dāng)時(shí)（從上連續(xù)性）上面所述的性質(zhì)中最基本的是有限可加性，它是推導(dǎo)可減性和加法公式的基礎(chǔ)。此外，連續(xù)性在理論研究中起重要作用。從有限可加性的證明（見(jiàn)書(shū)P30）知，可列可加可以推出有限有加，但反之卻不行，必須加上連續(xù)性，見(jiàn)下面的定理：定理1.1

26、設(shè)P是F上的非負(fù)實(shí)值集函數(shù)，且=1，則P是可列可加的充要條件是（1）P是有限可加的；（2）P是下（或上）連續(xù)的。例1.21 （配對(duì)問(wèn)題）將n封寫(xiě)好的信隨機(jī)裝入n個(gè)寫(xiě)好地址的信封，求（1）沒(méi)有一封配對(duì)的概率q0；（2）恰有r封配對(duì)的概率(rn)。解：（1）記第i封信配對(duì)則由古典概率的計(jì)算法，得故又故類(lèi)似可得:，1kn于是=，當(dāng)時(shí)（2）恰有n封配對(duì)可以通過(guò)三步來(lái)實(shí)現(xiàn)：第一步：從n封信中選出r封來(lái)，共有種選法。第二步：選出的r封信都配對(duì)，由（1）的分析，這種可能性是。第三步：剩下的封沒(méi)一封配對(duì)，這種可能性是。由乘法原理，得。§1.5 條件概率，全概公式及Bayes公式一、條件概率在實(shí)際問(wèn)題

27、中，除了考慮事件A發(fā)生的概率，有時(shí)還需考慮在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。由于增加了新的條件“事件B已發(fā)生”，所以后者的概率一般來(lái)說(shuō)不同于，我們稱(chēng)它為A對(duì)B的條件概率。記為。定義1.3 若（，F(xiàn)，P）為一概率空間，且。則對(duì)任意,稱(chēng) (1.20)為在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率，或A對(duì)B的條件概率。例1.22 已知某家三胞胎小孩中有女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（假定每個(gè)小孩是男是女是等可能的）。解：三胞胎小孩的所有可能結(jié)果不難一一列出，即=（女，女，女），（女，女，男）（女，男，女），（男，女，女），（女，男，男），（男，女，男），（男，男，女），（男，男，男）共含

28、8個(gè)樣本點(diǎn)。記A=三胞胎中至少一個(gè)是男孩，B=三胞胎中有女孩。由看出故。易驗(yàn)證是F上的一個(gè)概率，即有：定理 設(shè)（，F(xiàn)，P）為概率空間，。對(duì)任意，讓與之對(duì)應(yīng)，則集函數(shù)為F上的一個(gè)概率。上面的定理表明（，F(xiàn)，）也構(gòu)成一概率空間，稱(chēng)它為條件概率空間。對(duì)于古典概型，計(jì)算條件概率除按定義式（1.20）外，還有另一種考慮法，即重新考慮樣本空間為，易驗(yàn)證，B中子集類(lèi)是上的域，將（，F(xiàn)）上定義的P平移至（，）是一概率空間，這里的與（，F(xiàn)，）上的一樣。按后一種考慮，在例1.20中，=B含7個(gè)樣本點(diǎn)，而A包含中6個(gè)樣本點(diǎn)，按古典概率的計(jì)算法。二、乘法公式由條件概率的定義 () (1.21) () 一般地,有（）(

29、1.22)(1.21) (1.22)稱(chēng)為乘法公式,在概率計(jì)算中有重要作用。例1.23 罐中有三個(gè)白球兩個(gè)黑球,從中依次取出三個(gè),試求取出的三個(gè)球都是白球的概率。解：記=第i次取球得白球易得。故三、全概公式和Bayes公式定理1.2 設(shè)是一列互不相容事件，且，則對(duì)任意，有 （1.23）且稱(chēng)（1.23）為全概公式。例1.24 某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，該四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%,35%,又這四條流水線的次品率依次為0.05,0.04,0.03,0.02,現(xiàn)從出廠產(chǎn)品屬任取一件，問(wèn)恰好取到次品的概率為多少？解：令A(yù)=任取一件出廠產(chǎn)品為次品=所抽產(chǎn)品中第i條流水線生

30、產(chǎn)（i=1，2，3，4）則=0.0315=3.15%在上面的例中，若該廠規(guī)定，出了次品要追究有關(guān)流水線經(jīng)濟(jì)責(zé)任，現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中抽到一件次品，但該次品是哪一條流水線生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，問(wèn)廠方應(yīng)如何處理這件次品的經(jīng)濟(jì)責(zé)任才合理。不難理解，可按的大小來(lái)追究第4條流水線的經(jīng)濟(jì)計(jì)劃責(zé)任。這就是說(shuō)第條流水線應(yīng)負(fù)22.2%的責(zé)任。上面計(jì)算實(shí)際上已告訴我們一個(gè)極為有用的公式，常稱(chēng)為Bayes公式或逆概公式。即有定理1.3 若為列互不相容的事件,且,則對(duì)任一事件A，有 （1.24） 證以上面的例來(lái)說(shuō)，“抽查一次產(chǎn)品”是進(jìn)行一次試驗(yàn)，那么是在試驗(yàn)之前就已經(jīng)知道的概率，所以常稱(chēng)它們?yōu)橄闰?yàn)概率（先于試驗(yàn)），實(shí)際上它是

31、過(guò)去已經(jīng)掌握的情況的反映，對(duì)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果提供了一定的信息，在上面的例中，試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)不合格品（A發(fā)生了），這時(shí)條件概率反映了在試驗(yàn)之后，對(duì)A發(fā)生的某種“來(lái)源”（即次品的來(lái)源）的可能性大小的估計(jì)，常稱(chēng)為后驗(yàn)概率，若是病人可能患的n種不同疾病，在診斷前先檢驗(yàn)與這些疾病有關(guān)的某些指標(biāo)（如體溫、血壓、白血球、轉(zhuǎn)氨酶含量等）若檢查結(jié)果病人的某些指標(biāo)偏離正常值了（即A發(fā)生了），從概率的角度考慮，若大，則病人患病的可能性也較大。但要用Bayes公式計(jì)算出，需把過(guò)去病例史中得到的先驗(yàn)概率值代入（醫(yī)學(xué)上稱(chēng)為病人發(fā)病率）。人們常喜歡找“有經(jīng)驗(yàn)”的醫(yī)生給自己治病，因過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)?zāi)軒椭t(yī)生作出較準(zhǔn)確的診斷，而B(niǎo)a

32、yes公式正是利用了“經(jīng)驗(yàn)”的知識(shí)，這類(lèi)方法過(guò)去和現(xiàn)在都受到人們普遍重視。并稱(chēng)之為Bayes方法。例1.25（書(shū)P4041例1.19）§1.6 事件的獨(dú)立性定義1.4 對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，若有 （1.25）則稱(chēng)事件A與B是相互獨(dú)立的,簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立的。獨(dú)立性是概率論中一個(gè)很重要的概念，幾乎遍及概率統(tǒng)計(jì)的各個(gè)角落。關(guān)于兩個(gè)事件的獨(dú)立性有如下性質(zhì)：1若（或），則A與B相互獨(dú)立的（或）。2A與B獨(dú)立，則A與獨(dú)立，與B獨(dú)立，與獨(dú)立。3或，則A與任意事件B獨(dú)立。證例1.26 從裝有a只黑球，b只白球的袋中無(wú)放回地摸球兩次，記A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到黑球”。試驗(yàn)證A與B是否獨(dú)立。二

33、、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義1.5 對(duì)n個(gè)事件，若有下面的個(gè)等式成立： ， （1.26）則稱(chēng)相互獨(dú)立。（書(shū)P46列出n=3的特例）由定義看出，若n個(gè)事件相互獨(dú)立，則它們中的任意m個(gè)（2mn）也是相互獨(dú)立的。且還有：性質(zhì)定理：若相互獨(dú)立，則把其中任意個(gè)換成后所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立。對(duì)于可列個(gè)事件，有如下的定義 1.6 若可列個(gè)事件中任意有限個(gè)事件都相互獨(dú)立的，則稱(chēng)相互獨(dú)立。從事件相互獨(dú)立的定義及性質(zhì)看出，對(duì)于獨(dú)立事件，用乘法公式特別簡(jiǎn)便，但對(duì)n3的情形，用定義來(lái)驗(yàn)證n個(gè)事件是否獨(dú)立都比較麻煩，人們常根據(jù)問(wèn)題所反映的條件直接加以判斷。例1.26 假定每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.004，混合100個(gè)人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。分析與解：記=第個(gè)人的血清中含病毒，。由經(jīng)驗(yàn)可