專題四數(shù)列

1、專題四：數(shù)列一、選擇題1 （2013年高考上海卷（理）在數(shù)列中,若一個(gè)7行12列的矩陣的第i行第j列的元素,()則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為( )(A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】A.2（2013年大綱版數(shù)學(xué)（理）已知數(shù)列滿足,則的前10項(xiàng)和等于(A) (B) (C) (D)【答案】C3 （2013年高考新課標(biāo)1（理）設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為,的面積為,若,則()A.Sn為遞減數(shù)列 B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列,S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列,S2n為遞增數(shù)列【答案】B4（2013年安徽數(shù)學(xué)（理）試題）函數(shù)的圖像如圖所示,在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)使得

2、則的取值范圍是(A) (B) (C) (D)【答案】B5 （2013年福建數(shù)學(xué)（理）試題）已知等比數(shù)列的公比為q,記則以下結(jié)論一定正確的是( )A.數(shù)列為等差數(shù)列,公差為 B.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為C.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列為等比數(shù)列,公比為【答案】C 6 （2013年新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則(A) (B) (C) (D)【答案】C7 （2013年高考新課標(biāo)1（理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C8 （2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）試題）下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題:其中的真命題為(A) (B) (C) (D)【答案】D9

3、（2013年高考江西卷（理）等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,.的第四項(xiàng)等于A.-24 B.0 C.12 D.24【答案】A 二、填空題10（2013年高考四川卷（理）在等差數(shù)列中,且為和的等比中項(xiàng),求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和.【答案】解:設(shè)該數(shù)列公差為,前項(xiàng)和為.由已知,可得.所以,解得,或,即數(shù)列的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.所以數(shù)列的前項(xiàng)和或11（2013年新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則的最小值為_(kāi).【答案】12（2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為,以下列出了部分

4、邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測(cè)的表達(dá)式,由此計(jì)算_.【答案】1000 13（2013年江蘇卷（數(shù)學(xué)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中,則滿足的最大正整數(shù) 的值為_(kāi).【答案】1214（2013年高考湖南卷（理）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,則(1)_; (2)_.【答案】;15（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題）當(dāng)時(shí),有如下表達(dá)式:兩邊同時(shí)積分得:從而得到如下等式:請(qǐng)根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,計(jì)算:【答案】16（2013年重慶數(shù)學(xué)（理）試題）已知是等差數(shù)列,公差,為其前項(xiàng)和,若成等比數(shù)列,則【答案】17（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(）若等差數(shù)列的

5、前6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列的前項(xiàng)和_.【答案】18（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷）在等差數(shù)列中,已知,則_.【答案】19（2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式: 照此規(guī)律, 第n個(gè)等式可為_(kāi). 【答案】20。（2013年高考新課標(biāo)1（理）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=,則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.【答案】=.21（2013年安徽數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,互不-相同的點(diǎn)和分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形的面積均相等.設(shè)若則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_.【答案】22（2013年高考北京卷（理）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=_;前n項(xiàng)和S

6、n=_.【答案】2,23（2013年遼寧數(shù)學(xué)（理）試題）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個(gè)根,則_.【答案】63 三、解答題24（2013年安徽數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù),證明:()對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足;()對(duì)任意,由()中構(gòu)成的數(shù)列滿足.【答案】解:() 是x的單調(diào)遞增函數(shù),也是n的單調(diào)遞增函數(shù). .綜上,對(duì)每個(gè),存在唯一的,滿足;(證畢)() 由題知上式相減:.法二:25（2013年高考上海卷（理）(3 分+6分+9分)給定常數(shù),定義函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,求及;(2)求證:對(duì)任意,;(3)是否存在,使得成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的,若不存在,說(shuō)明理由.【

7、答案】:(1)因?yàn)?故,(2)要證明原命題,只需證明對(duì)任意都成立,即只需證明若,顯然有成立;若,則顯然成立綜上,恒成立,即對(duì)任意的,(3)由(2)知,若為等差數(shù)列,則公差,故n無(wú)限增大時(shí),總有此時(shí),即故,即,當(dāng)時(shí),等式成立,且時(shí),此時(shí)為等差數(shù)列,滿足題意;若,則,此時(shí),也滿足題意;綜上,滿足題意的的取值范圍是.26（2013江蘇卷（數(shù)學(xué)）本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時(shí),記,對(duì)于,定義集合(1)求集合中元素的個(gè)數(shù); (2)求集合中元素的個(gè)數(shù).【答案】本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運(yùn)算.計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問(wèn)題能力及推理論證能力.(1)解:由數(shù)列的定義得:,集

8、合中元素個(gè)數(shù)為5(2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證事實(shí)上,當(dāng)時(shí), 故原式成立假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即 故原式成立則:,時(shí),綜合得: 于是由上可知:是的倍數(shù)而,所以是的倍數(shù)又不是的倍數(shù),而所以不是的倍數(shù)故當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為于是當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為又故集合中元素的個(gè)數(shù)為27（2013年浙江數(shù)學(xué)（理）試題）在公差為的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.(1)求; (2)若,求【答案】解:()由已知得到:;()由(1)知,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以,綜上所述:; 28（2013年高考湖北卷（理）已知等比數(shù)列滿足:,. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(II)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說(shuō)明理

9、由.【答案】解:(I)由已知條件得:,又,所以數(shù)列的通項(xiàng)或(II)若,不存在這樣的正整數(shù);若,不存在這樣的正整數(shù).29（2013年山東數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且 (為常數(shù)).令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】解:()設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為, 由,得, 解得,因此 ()由題意知:所以時(shí),故,所以,則兩式相減得整理得所以數(shù)列數(shù)列的前n項(xiàng)和30（2013年江蘇卷）本小題滿分16分.設(shè)是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和.記,其中為實(shí)數(shù).(1)若,且成等比數(shù)列,證明:();(2)若是等差數(shù)列,證明:.【答案】證明:是首項(xiàng)為,公差為的等

10、差數(shù)列,是其前項(xiàng)和(1) 成等比數(shù)列 左邊= 右邊=左邊=右邊原式成立(2)是等差數(shù)列設(shè)公差為,帶入得: 對(duì)恒成立由式得: 由式得:法二:證:(1)若,則,. 當(dāng)成等比數(shù)列, 即:,得:,又,故. 由此:,. 故:(). (2), . () 若是等差數(shù)列,則型. 觀察()式后一項(xiàng),分子冪低于分母冪, 故有:,即,而0, 故. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列. 30（2013年大綱版數(shù)學(xué)（理）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,且成等比數(shù)列,求的通項(xiàng)式.【答案】31錯(cuò)誤！未指定書(shū)簽。（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列, 其前n項(xiàng)和為, 且S3 + a3, S5

11、 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; () 設(shè), 求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值. 【答案】32（2013年高考江西卷（理）正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足:(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)令,數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.證明:對(duì)于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正項(xiàng)數(shù)列,所以. 于是時(shí),. 綜上,數(shù)列的通項(xiàng). (2)證明:由于. 則. .33（2013年廣東省數(shù)學(xué)（理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值;() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;() 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.【答案】.(1) 解:,. 當(dāng)時(shí),又,(2)解:,. 當(dāng)時(shí), 由 ,得 數(shù)列是以首項(xiàng)為,公差為

12、1的等差數(shù)列.當(dāng)時(shí),上式顯然成立. (3)證明:由(2)知,當(dāng)時(shí),原不等式成立.當(dāng)時(shí), ,原不等式亦成立.當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),原不等式亦成立.綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.34（2013年高考北京卷（理）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An,第n項(xiàng)之后各項(xiàng),的最小值記為Bn,dn=An-Bn .(I)若an為2,1,4,3,2,1,4,3,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意nN*,),寫(xiě)出d1,d2,d3,d4的值;(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為an為公差為d的等差數(shù)列;(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),則an的項(xiàng)只能是1或者2,且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.【答案】(I) (II)(充分性)因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列,且,所以因此,.(必要性)因?yàn)?所以.又因?yàn)?所以. 于是,.因此,即是公差為的等差數(shù)列.(III)因?yàn)?所以,.故對(duì)任意.假設(shè)中存在大于2的項(xiàng).設(shè)為滿足的最小正整數(shù),則,并且對(duì)任意,.又因?yàn)?所以,且.于是,.故,與矛盾.所以對(duì)于任意,有,即非負(fù)整數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2.因此對(duì)任意,所以. 故.因此對(duì)于任意正整數(shù),存在滿足,且,