工科數(shù)學(xué)分析課件版本二chap11預(yù)備知識

1、1第 章一元函數(shù)的極限與連續(xù) 1第節(jié)預(yù)備知識 1.1.集合的概念及運算Ax記稱為集合的元素。組成集合的對象質(zhì)的對象的全體集合是具有某種確定性定義 .:無限集空集：有限集集合的類型：ABBABABABABABABA且相等與的真子集：是的子集：是集合間的關(guān)系：:全體正整數(shù)組成的集合 N合全體非零實數(shù)組成的集 R全體實數(shù)組成的集合 R常用的數(shù)集）組成的集合全體非負(fù)整數(shù)（自然數(shù) N全體整數(shù)組成的集合 Z全體有理數(shù)組成的集合 Q全體復(fù)數(shù)組成的集合 C 后所得的集合，比如”去掉素“”表示將該集合內(nèi)的元集合記號右下角加“0BCABBAABBABABAA記為的補集關(guān)于為則稱特別，若差集交集并集：集合的運算：,

2、.:)( )( ,)( :)(,)( ,)( )()( )()()( ),()()( :)()(),()( :,:AIABABABABAABAAABAAAAAAAAAAACBCACBACBCACBACBCACBACBACBACBACBAABBAABBAccccccc對偶律吸收律：冪等律：分配律結(jié)合律交換律運算律：ByAxyxBADescartes,),(:,(）直積簡稱笛卡兒積積niRxxxxinn, 2 , 1,),(RRRR21的性質(zhì)：有理數(shù)集 Q1.2.實數(shù)集封閉性有序性稠密性實數(shù)集無理數(shù)集有理數(shù)集的性質(zhì)：實數(shù)集 R封閉性有序性稠密性完備性（下）的一個上界為則稱有，使，若存在，且設(shè))(,

3、RRALLxAxLAA1定義2定義則稱使，）（，有）（，滿足：，若存在，且設(shè)LxAxLxAxLAA00,02,1RRLAALsup的上確界，記為的上確界，記為為為AAinf，記記為為的的下下確確界界類類似似地地定定義義1定理數(shù)集必有上（下）確界數(shù)集必有上（下）確界有上（下）界的非空實有上（下）界的非空實*區(qū)間 | ) , (:bxaxba開區(qū)間 |) , bxaxba| , (bxaxba | ) , (xaxa | ) , (bxxb | ) , xaxa | , (bxxbR | ) , (xx | , :bxaxba閉區(qū)間鄰域 | | ) , (axxaN: 鄰域的點a | 0| ) ,

4、 (axxaN: 鄰域的去心點a),(aa),(aaa( ) a a0 ax( ) a a0 ax鄰域半徑鄰域中心 a*1.3. n維空間 R,.,),.,(RRRR2121nnnxxxxxx定義加法與數(shù)乘如下：，設(shè)R,R),.,(,R),.,(n21n21nnyyyyxxxx點）維實向量(nn21n2211R),.,(R),.,(nnnxxxxyxyxyxyxnnRRxyx維實向量空間構(gòu)成一個nnR2222211)(.)()(),(nnxyxyxyQPn維空間中兩點),.,(21nxxxP與),.,(21nyyyQ間的距離規(guī)定為 ),( | ) , (axxaN 鄰域的a開區(qū)間),() ,

5、(:RaaaN為半徑的圓為圓心，以 ) , (:R2aaN為半徑的球為球心，以 ) , (:R3aaN為一點集設(shè)nRA P為A的內(nèi)點：存在P的一個鄰域N(P), 使.)(APNP為A的外點：存在P的一個鄰域N(P), 使.)(APNP為A的邊界點：P的任何一個鄰域中，既有A的內(nèi)點， 又有A的外點.-A的邊界AP為A的聚點：P的任何一個鄰域中，至少含有A的異于 P的 一個點。 的聚點）是則稱的無窮多個點，的任一鄰域內(nèi)總有中一點，為APAPRPn(A為區(qū)域: A為連通開集. 如21),(22yxyxA為閉區(qū)域: 區(qū)域連同它的邊界. 如21),(22yxyxA為開集：A的各點都是內(nèi)點.A為連通集:

6、對任意的,21APP都可用一條包含在A內(nèi) 的折線把P1,P2連起來.區(qū)域 A 的直徑： ,),(sup2121APPPPd1.4. 函數(shù)1定義的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一個對應(yīng)法則是兩個非空數(shù)集和設(shè)相對應(yīng)，與，有唯一的按照對應(yīng)關(guān)系xByfx A, , 的定義域fA記為的一個映射到是則稱 , BAf , )(: AxxfyxfBAf或 下的原像在映射為下的像，在映射為稱fyxfxyBAf)(若為滿射：f為單射：f)()( , A,212121xfxfxxxx有若為一一映射f1定義的值域fAxxfyyAf),()(, , B A f若有一個對應(yīng)法則是兩個非空數(shù)集和設(shè)相

7、對應(yīng)，與，有唯一的按照對應(yīng)關(guān)系xByfx A, , 的定義域fA記為的函數(shù)是或的函數(shù)是則稱 ),)( xxfxy , )(Axxfy ,為因變量為自變量稱yx一元實函數(shù)*AxxfgyxfgyBCCuAxxfuBuugy),)(:)(, ,),(;),( 或記為函數(shù)為它們兩個函數(shù)的復(fù)合則稱若而設(shè):復(fù)合函數(shù):反函數(shù)Byyfx，yx，ffyxfByAxxfy),(,),( ,),( 11記為：的函數(shù)為就確定了相反的對應(yīng)關(guān)系則根據(jù)與一一對應(yīng)與且根據(jù)對應(yīng)關(guān)系設(shè)yuxgf的反函數(shù)我們稱之為)(xfy xxffxxff)(,)(11且易知)()(,11xfyyfx改記為我們把在習(xí)慣上之間的關(guān)系：與半徑圓的面

8、積例 . 1rA2 rAro), 0(r之間的關(guān)系：與時間自由落體的下落距離例 .2 ts221tgsT 設(shè)落地時間為 , 0 Tt地 面s之間的關(guān)系：邊數(shù) ) 3 ( nn sin2nnrSn與長周的圓的內(nèi)接正多邊形的一個半徑為例nSr . 3 例 4.0,0, : xxxxxy絕對值函數(shù)-1-0.50.510.20.40.60.81True)(2x分段函數(shù) 在自變量的不同范圍中，對應(yīng)法則對應(yīng)法則用不同的式子來表示的 函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)。例 5.: 符號函數(shù)0,10,00,1sgn xxxxy0,10, :例如 2xxxxyoxyoxy11 )(), , ()(ZfRfD的最大整數(shù)的最

9、大整數(shù)不超過不超過取整函數(shù)取整函數(shù)xxy 例 6.-3-224x-4-224yo7. : 1, ( ) 0(),DirichxQD xxletQ利利雷雷 函函數(shù)數(shù)例例狄狄克克函數(shù)的幾種特性有界性 單調(diào)性（單調(diào)，嚴(yán)格單調(diào)）奇偶性周期性函數(shù)的幾種常見性態(tài)1、單調(diào)增加 (單增)：)()( 均有)( , 對 若 , 義 定 有 上區(qū)間 在 )(數(shù) 函 設(shè)212121xfxfxxIxxIxfy 加 調(diào) 單 上區(qū)間 在 )(數(shù) 函 稱Ixfy 則() 嚴(yán)格單調(diào)減少 oxy21xx)()(21xfxf),(,:例如2xxyoxy.), 0()0 ,(上單增在上單減在，.),(內(nèi)不具有單調(diào)性但在)()( 均有

10、),( 對 若 , 義 定 有 )上()(. 1xfxfaaxa,axfy在區(qū)間設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)則 )(數(shù) 函 稱xfy 偶函數(shù)的圖形關(guān)于偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱軸對稱oxyxxoxyxx )(xf )( xf )()( 均有),( 對 若 , 義 定 有 )上()(. 2xfxfaaxa,axfy在區(qū)間設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)則 )(數(shù) 函 稱xfy 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù)偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)奇函數(shù)+偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)232: sin , cos , cos , tanyxxyxxyxxyxx

11、例例如如MxfIxMIxfy)( 均有, 對, 0若 , 義 定 有 上區(qū)間 在 )(數(shù) 函 設(shè)有界則上區(qū)間 在 )(數(shù) 函 稱Ixfy MxfM )(Mxf)(:有上界Mxf)(:有下界又有下界既有上界有界,: ( ), ( )(), ( )()f xyf xfxyf xfx注注對對有界它在有對例如),(, 1sin),(,sin:xxxy有界但在無界在2 , 1 (,2 , 0(,1xy oxy211)()(, 0,),()(xflxflxfy若上有定義在設(shè)為周期的周期函數(shù)是以則稱lxf)(MxfIxMIxfy)( , 0若 , 義 定 有 上區(qū)間 在 )( 設(shè):00總有一點對無界的定義初

12、等函數(shù)：基本初等函數(shù)：冪函數(shù)， 指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)， 三角函數(shù)，反三角函數(shù)， 常數(shù)函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算后得到的,可以用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的函數(shù)*1.冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy,xxyxyxy1 , ,:13如如xy 3xy 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)1, 0,aaayx,2 ,:xxyey如如xoy) 1( aayx) 10(aayx133121 ,xxyxxyxxy221xxeey13.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)1, 0,logaaxya,log,log:312xyxy如自然對數(shù)xxyelnlog常用對數(shù)xxylglog10 xoy1,logaxya10 ,logaxya4.三角函數(shù)三角函

13、數(shù)kxxykxxyxxyxy,cot2,tan),(,cos,sinxysecxcos1xycscxsin15.反三角函數(shù)反三角函數(shù)2,2,1 , 1,arcsinyxxy, 0,1 , 1,arccosyxxy), 0(),(,cotyxxarcy)2,2(),(,arctanyxxyxoyxoyxyarctan22xarcycot2 雙曲函數(shù)2xxeeshx雙曲正弦2xxeechx雙曲余弦xxxxeeeechxshxthx雙曲正切 反雙曲函數(shù))1ln(2xxarshxy反雙曲正弦)1ln(2xxarchxy反雙曲余弦xxarthxy11ln反雙曲正切1.5. 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法.,1.

14、3;,. 2;,1. 1命題也成立時推出命題成立時假設(shè)命題成立時驗證knknn命題均成立則對, n:的命題成立要證明一個關(guān)于正整數(shù) n2) 1(321:.nnn證明求和公式例歸納1.6. 關(guān)于極坐標(biāo)系和極坐標(biāo)關(guān)于極坐標(biāo)系和極坐標(biāo)xo),(極軸軸ox極徑極角),(),(yxxoysincos:yx坐標(biāo)變換公式) 1 , 1 ( : ),( :yx如如)4,2( : ),( 則則極坐標(biāo)222: yx且有且有復(fù)數(shù)域C是對實數(shù)域R的擴充的引進(jìn).1 i,中Q在有理數(shù)域R。Qx擴充到實數(shù)域為此將沒有解方程,22。RRi。xixR中的運算聯(lián)系起來中的數(shù)及與實數(shù)域并將的解作為為此引進(jìn)記號沒有解方程中在實數(shù)域類

15、似地1,1,22的擴充實數(shù)域R. 2., 1,2復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)為稱對中的運算相聯(lián)系中的數(shù)及并與實數(shù)域定義引進(jìn)記號iyxzRyxRRii.Cz的集合記為全體復(fù)數(shù):中的任何兩個元規(guī)定對C)(11:011:1000:0:22222211221zzzyxyiyxxyxiyxiyxzziizzzz逆元元元可分配律滿足交換律及對加法的乘法滿足交換律加法.,復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域稱為成為一個數(shù)域于是CRyxiyxzzC,yzxzzyxiyxz)Im(,)Re(,分別記為和的分別稱為復(fù)數(shù)中的復(fù)數(shù)虛虛部部實實部部,0,即為實數(shù)復(fù)數(shù)時的虛部當(dāng)復(fù)數(shù)顯然zyz)( ,的擴充為因此RCCR 3.域C的幾何解釋引入復(fù)數(shù)的代數(shù)運算后,符號

16、i就不再是必須的了,可以把z=x+iy與有序數(shù)組(x,y)等同起來,從而復(fù)數(shù)z與(x,y)一一對應(yīng). 因此復(fù)數(shù)域C就與平面直角坐標(biāo)系RR相對應(yīng),故稱與C所對應(yīng)的平面為.2.用平面上的點(x,y)表示復(fù)數(shù)z=x+iy(x,y)xyo定義復(fù)數(shù)z=x+iy的模模:22yxz1. z=x+iy (代數(shù)法)(即點(x,y)到原點的距離,顯然 )0z注:(1)復(fù)數(shù)不能比較大小,但兩個復(fù)數(shù)的?？梢员容^大??；(2)兩個復(fù)數(shù)相等: 實部、虛部對應(yīng)相等.21212211,即yyxxiyxiyx:),(),(222111的距離為與復(fù)平面上兩點yxzyxz21221212)()(yyxxzz(x2,y2)o(x1,y

17、1)3.用復(fù)平面上的向量 表示復(fù)數(shù)z=x+iy, 其中點P(x,y)OPP(x,y)xyo4.三角表示法稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的三角表示法如圖所示,復(fù)數(shù)z=x+iyP(x,y)xyor有無窮多個幅角的周期性知由記為zArgz,sin,cos.,argArgzz把滿足的幅角稱為的記為主主值值)(2ZkkArgz易知”“, 0),(0,不確定規(guī)定其幅角即為原點時當(dāng)特別地zzsincosirr)sin(cosirz即,的,其中22幅角幅角zzyxr叫做5.指數(shù)表示法cossin ,(cossin )Euler() ieizzri借助于歐拉 公式復(fù)數(shù) 可重新表示：ire稱為復(fù)數(shù)的注:復(fù)數(shù)的各種表示法可以

18、互化.31. 1示化為三角表示和指數(shù)表將例iz)3, 1(31對應(yīng)復(fù)平面上點復(fù)數(shù)iz x y o-1323) 1(22 zr模32313tan322ie)232(2kie或222(cossin)33zi為則稱中，若在定義fBABAf,C,C,:1復(fù)變函數(shù) ：一個復(fù)變函數(shù) 二個二元實函數(shù) 0),(,),(,)(22yxvyxyxuzzfw例如：xyyxvyxyxuixyyxiyxzzfw2),(,),(,2)()(222222),(),()(:yxivyxuzfwuvxyivuwiyxzf平面上的點集平面上的點集復(fù)數(shù)的表示法：（指數(shù)表示法）三角表示法）或向量復(fù)平面上的點irezrzOPyxPyxz.4()sini(cos.3),(.2i.1, 1, 0,2arg.arg,(.22kkzArgzzzArgzzyxzr為內(nèi)的幅角為主幅角，記個