函數(shù)極值的幾種求法

1、函數(shù)極值的幾種求法 針對(duì)高中生所學(xué)知識(shí)摘 要：函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的組成部分，從小學(xué)六年級(jí)的一元一次方程繼而延伸到初中的一次函數(shù)，二次函數(shù)的初步介紹，再到高中的函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值、極值，以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，這些足以說明函數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位。極值作為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，無論是在歷年高考試題中，還是在實(shí)際生活運(yùn)用中都占有不可或缺的地位。本文主要闡述了初高中常見的幾種函數(shù)，通過函數(shù)極值的相關(guān)理論給出每種函數(shù)極值的求解方法。關(guān)鍵詞：函數(shù)；單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)；圖像；極值A(chǔ)bstract: Function is an important part of mathematics

2、 teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic fu

3、nction, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This a

4、rticle will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school.Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函數(shù)”一詞最先是由德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨在17世紀(jì)采用的，當(dāng)時(shí)萊布尼茨用“函數(shù)”這一詞來表示變量的冪，也就是的平方的立方。之后萊布尼茨又將“函數(shù)”這一詞用來表示曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的變量。就這樣“函數(shù)”這詞逐漸盛

5、行。在中國，清代著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、翻譯家和教育家，近代科學(xué)的先驅(qū)者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數(shù)”。顯然，在李善蘭的這個(gè)定義中的函數(shù)就是：凡是公式中含有變量，則該式子叫做的函數(shù)。這樣，在中國“函數(shù)”是指公式里含有變量的意思。從1775年歐拉對(duì)函數(shù)定義之后，又有法國數(shù)學(xué)家柯西、俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基等數(shù)學(xué)家不斷對(duì)函數(shù)定義進(jìn)行改進(jìn)和完善。最后德國數(shù)學(xué)家黎曼引入了函數(shù)的新定義：“對(duì)于的每一個(gè)值，總有完全確定了的值與之對(duì)應(yīng)，而不拘建立，之間的對(duì)應(yīng)方法如何，均將稱為的函數(shù)”。雖然函數(shù)的定義在不斷變化但它的本質(zhì)屬性都是一樣的。變量稱為的函數(shù)，只須有一個(gè)法則存在，那就是這個(gè)函數(shù)取值范圍中的

6、每一個(gè)值，有一個(gè)唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，不管這個(gè)法則是公式、圖象、表格或其他形式。對(duì)中學(xué)生來說常見的函數(shù)類型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，及由這幾類函數(shù)中兩類或多類形成的復(fù)合函數(shù)。中學(xué)生一般不采用定義法去求函數(shù)的極值，中學(xué)生常用的是圖像法和求導(dǎo)法。本文首先簡單介紹高中數(shù)學(xué)常見的函數(shù)類型和常用的求函數(shù)極值的方法，繼而通過具體實(shí)例闡述求極值方法和函數(shù)類型如何匹配。1 預(yù)備知識(shí)定義1.1 函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值。如果附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。定義1.2 一次函數(shù)在某一變化過程中，設(shè)有

7、兩個(gè)變量和，如果可以寫成(為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù))的形式，那么我們就說是的一次函數(shù)，其中是自變量，是因變量。 定義1.3 二次函數(shù) 把形如（其中是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中稱為二次項(xiàng)系數(shù)，為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng)。定義1.4 指數(shù)函數(shù)把形如的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量。定義1.5 對(duì)數(shù)函數(shù)把形如的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中自變量是。2 求極值方法在各種函數(shù)類型中的應(yīng)用函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容,而函數(shù)的性質(zhì)是高考命題的重點(diǎn),又是高考命題的熱點(diǎn)之一,利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性,確定單調(diào)區(qū)間,研究函數(shù)的極值問題比傳統(tǒng)的方法要簡捷得多,因此在求極值時(shí)應(yīng)把導(dǎo)數(shù)法作為主要研究方法。除了求導(dǎo)法另一種常見

8、的方法就是圖像法。圖像法適合簡單的可以畫出圖像的一些函數(shù)，對(duì)于中學(xué)生來說遇到的函數(shù)80%都可以畫出圖像。函數(shù)圖像畫出后我們可以根據(jù)圖像所表示的縱坐標(biāo)再結(jié)合極值的定義觀察函數(shù)的極值。求導(dǎo)法是先求出所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而判斷極值，求導(dǎo)法對(duì)一些復(fù)雜的函數(shù)特別是復(fù)合函數(shù)非常的適用。下面我們通過具體實(shí)例闡述方法和函數(shù)類型如何匹配。2.1 一次函數(shù)（為常數(shù)）一次函數(shù)比較簡單在整個(gè)定義域內(nèi)是整體單調(diào)遞增或整體單調(diào)遞減。對(duì)形如的一次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由此可知一次函數(shù)的單調(diào)性主要和值有關(guān)，則函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減。例2.1 求函數(shù)的極值 法一 求導(dǎo)法這個(gè)函數(shù)的值為2，顯

9、然也就是說該函數(shù)單調(diào)遞增，現(xiàn)在函數(shù)的極值就和其定義域有關(guān)。當(dāng)自變量最大時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)自變量最小是函數(shù)有極小值，若自變量無最大值最小值則函數(shù)沒有極值。我們假設(shè)該函數(shù)的定義域是，那么當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值,當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值。假設(shè)該函數(shù)的定義域?yàn)閯t函數(shù)無極大值極小值。若函數(shù)的定義域位函數(shù)無極小值，在時(shí)取得極大值 若定義域?yàn)楹瘮?shù)無極大值，有極小值。 法二 圖像法 一次函數(shù)的圖像都是一條直線。函數(shù)的圖像如下： 圖2-1 圖像通過察我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)值隨自變量的值增大而增大，也就是說最大時(shí)函數(shù)有極大值，最小時(shí)函數(shù)有極小值。一次函數(shù)相對(duì)來說比較簡單，我認(rèn)為求極值最好的方法是看值。當(dāng)時(shí)自變量最大時(shí)函數(shù)有極大值，自變量

10、最小時(shí)函數(shù)有極小值。當(dāng)時(shí)自變量最大時(shí)函數(shù)有極小值，自變量最小時(shí)函數(shù)有極大值，若自變量無最值則函數(shù)無極值。在此還有一點(diǎn)要提醒的就是通常所說的正比例函數(shù)，反比例函數(shù)都屬于一次函數(shù)，故其極值的求法可用一次函數(shù)的方法。2.2 二次函數(shù)（其中是常數(shù)，）二次函數(shù)較一次函數(shù)復(fù)雜的多，但其極值的求法和一次函數(shù)大同小異，最常見的也是求導(dǎo)法和圖像法。當(dāng)用求導(dǎo)法來求極值時(shí)，需先求出導(dǎo)數(shù)然后判斷導(dǎo)函數(shù)在那個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)大于（等于）零，在那個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)小于（等于）零，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于等于零時(shí)原來的二次函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)原來的二次函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減，知道了單調(diào)性再來求極值就輕而易舉了。圖像法就是畫出函數(shù)的圖形

11、，根據(jù)圖形結(jié)合極值定義求出函數(shù)極值。下面我針對(duì)具體函數(shù)其定義域?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)來詳細(xì)闡述這兩種方法。例2.2 求函數(shù)的極值 法一 求導(dǎo)法通過計(jì)算我們知道該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為我們令其導(dǎo)函數(shù)大于等于零即解得也就是說函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)有最小值，當(dāng)x=2時(shí)y有最大值。同理我們可以知道函數(shù)在（由于在遞增區(qū)間上已經(jīng)取過-2，所以此處的-2不能再取，只能用圓括號(hào)）上單調(diào)遞減，因?yàn)?4和-2前為圓括號(hào)，也就是說自變量不能等于-4和-2，所以函數(shù)在上無最小值也無最大值。綜上所訴函數(shù)在上有最小值，最大值.因?yàn)樵摵瘮?shù)在上連續(xù)所以其最小值等于其極小值，最大值等于其極大值。所以此函數(shù)在上有極小值-15，極大值17。法二 圖

12、像法 二次函數(shù)的圖像為一條拋物線函數(shù)的圖像如下圖所示:圖2-2 圖像 通過觀察可知，函數(shù)在點(diǎn)B取得極小值-15，在點(diǎn)A取得極大值17。2.3 指數(shù)函數(shù) 此類函數(shù)比較簡單，單調(diào)性在定義域內(nèi)是整體的，無論是求導(dǎo)還是畫圖都很容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與值得大小有關(guān)。在時(shí)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，和一次函數(shù)像似自變量取最大值時(shí)函數(shù)有極大值，自變量取最小值時(shí)函數(shù)有極小值。在時(shí)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在自變量取最大值時(shí)函數(shù)有極小值，自變量取最小值時(shí)函數(shù)有極大值。下面我們通過一個(gè)具體的函數(shù)來操作一下。例2.3 求函數(shù)和(取值范圍是)的極值對(duì)這個(gè)函數(shù)來說其，根據(jù)上面結(jié)論我們知道函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)是

13、函數(shù)有極小值，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值8。對(duì)它的，函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減當(dāng)是函數(shù)有極大值4，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值。我們可以通過圖像來觀察下我們的結(jié)論是否正確如下圖2-3為的圖像，圖2-4是的圖像：圖2-3 圖像圖2-4 圖像 通過圖像我們可以很明顯的發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論的正確性。2.4 對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)情況一樣，函數(shù)的極值和與1的大小有關(guān)。在時(shí)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，自變量取最大值時(shí)函數(shù)有極大值，自變量取最小值時(shí)函數(shù)有極小值。在時(shí)函數(shù)函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在自變量取最大值時(shí)函數(shù)有極小值，自變量取最小值時(shí)函數(shù)有極大值。在這里我們就不舉例子來闡述了。2.5 三角函數(shù)三角函數(shù)的類型比較多但做法

14、相似，在這里我僅詳細(xì)闡述正弦函數(shù)的極值的求法。三角函數(shù)是周期函數(shù)，所以它的極值有多個(gè)。下面我們來看 這個(gè)函數(shù)。例2.4 求函數(shù) 的極值法一 求導(dǎo)法 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)令其大于等于0解得，再結(jié)合的定義域我們知道當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)的取值范圍是，也就是的遞增區(qū)間是，。再令導(dǎo)函數(shù)小于0同理函數(shù)的遞減區(qū)間為，。為了簡單明了的求出極值我們把得到的數(shù)據(jù)填在表2.1里表2.1取值單調(diào)性遞減遞增遞減遞增極值極小值極大值極小值由上表可知函數(shù)有兩個(gè)極小值，一個(gè)極大值。法二 圖像法 函數(shù)的圖像如圖所示圖2-5 圖像 通過圖像可以快速的觀察出函數(shù)有兩個(gè)極大值，有一個(gè)極小值。 通過比較我們不難發(fā)現(xiàn)第一種方法較復(fù)雜，第二種簡單明了。

15、但是畫圖過程少不了第一種方法中的計(jì)算，所以我建議對(duì)于三角函數(shù)類問題的極值數(shù)形結(jié)合最好。2.6 復(fù)合函數(shù)最后我們來看一個(gè)復(fù)合函數(shù)的極值例2.5 求函數(shù)的極值法一 求導(dǎo)法 函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)在時(shí)取得極大值 法二 圖像法圖2-6 圖像 顯然函數(shù)在M點(diǎn)處取得極大值。復(fù)合函數(shù)的圖像如果不借助電腦軟件，畫起來非常的復(fù)雜，所以我個(gè)人意見對(duì)復(fù)合函數(shù)求極值求導(dǎo)法最好。3 求不同類型函數(shù)極值方法總結(jié)結(jié)合上述例子我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)來說求極值問題可直接利用結(jié)論。一次函數(shù)看值，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)看值。二次函數(shù)求導(dǎo)或畫圖都比較簡單。三角函數(shù)極值問題，

16、數(shù)形結(jié)合較好。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性較好。4 求函數(shù)極值的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，盡管具有極強(qiáng)的抽象性邏輯性，卻能在現(xiàn)實(shí)生活中找到數(shù)學(xué)原型，而數(shù)學(xué)知識(shí)能賦予這些數(shù)學(xué)原型更深的內(nèi)涵,在經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展的今天，面對(duì)日趨復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，人們僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識(shí)它們已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了。生活中一些以函數(shù)為背景的實(shí)際問題,可通過函數(shù)建模轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。例4.1某市場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,市場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.問每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),市場(chǎng)

17、平均每天盈利最多?最多是多少?解 設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)元,根據(jù)題意得 去掉括號(hào)后，我們發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)前面闡述的方法我們很容易求出在時(shí)有極大值1250，所以當(dāng)時(shí),商場(chǎng)盈利最多,最多盈利是1250元。5 結(jié)束語“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念。函數(shù)所包含的內(nèi)容十分廣泛，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分，因此它又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。函數(shù)極值作為函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要分支和基本工具在數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。本文只針對(duì)高中所學(xué)知識(shí)，簡單淺顯的談了幾種基本函數(shù)常用的求極值的方法，以及函數(shù)極值在實(shí)際生活中的應(yīng)用。由此，我們可以更加了解函數(shù)的極值及其應(yīng)用。參考文獻(xiàn)：1 陳路飛. 函數(shù)發(fā)展史J. 數(shù)學(xué)愛好者, 2006,2: 49-50.2 李建華. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修1-1AM. 北京：人民教育出版社，2007. 3 馬復(fù). 九年級(jí)教課書數(shù)學(xué)上冊(cè)M