八年級下冊勾股定理知識點歸納

1、 八年級下冊勾股定理知識點和典型例習(xí)題1、 根底知識點：勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，斜邊為，那么.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形通過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：，化簡可證方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為 所以方法三：，化簡得證. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之

2、間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形. 勾股定理的應(yīng)用直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在中，那么，知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決一些實際問題.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，假設(shè)它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；否那么，就不是直角三角形

3、。 定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如假設(shè)三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；，8,15,17等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：為正整數(shù)； 為正整數(shù)；，為正整數(shù)勾股定理的應(yīng)用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，

4、斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線通常作垂線，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解. 勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決常見圖形：二、經(jīng)典例題精講題型一：直接

5、考查勾股定理例.在中，求的長，求的長分析：直接應(yīng)用勾股定理解： 題型二：利用勾股定理測量長度例題1 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2, 即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例題2 如圖8，水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水局部BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.解析：同例題1一樣，先將實物

6、模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2. 由題意可知ACD中,ACD=90°,在RtACD中，只知道CD=1.5，這是典型的利用勾股定理“知二求一的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下僅供參考：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2 設(shè)水深A(yù)C= x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52= x+0.52 解之得x=2. 故水深為2米.題型三：勾股定理和逆定理并用例題3 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且那么DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由可

7、以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在RtAFD 、RtBEF和 RtCDE中，分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判斷DEF是否是直角三角形。 詳細(xì)解題步驟如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長為4a,那么BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理EF2=5a2, DF2=25a2 在DEF中，EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90°.注：此題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題

8、型四：利用勾股定理求線段長度例題4 如圖4，長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。解：根據(jù)題意得RtADERtAEFAFE=90°, AF=10cm, EF=DE設(shè)CE=xcm，那么DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cm CF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8x) 2=x2+42 6416x+x2=2+16 x=3(cm

9、),即CE=3 cm注：此題接下來還可以折痕的長度和求重疊局部的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直例題5 如圖5，王師傅想要檢測桌子的外表AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取局部長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？)，連結(jié)MN，測量MN的長度。如果MN=15,那么AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；如果MN=a15

10、,那么92+122=81+144=225, a2225,即92+122 a2，所以A不是直角。例題6 有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動翻開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好翻開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6 所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BCMN,BCAN當(dāng)頭B點距離A有5米時，求BC的長度。AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好翻開。題型六：關(guān)于翻折問題如圖，矩形紙

11、片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.變式：如圖，AD是ABC的中線，ADC=45°，把ADC沿直線AD翻折，點C落在點C的位置，BC=4,求BC的長.三、勾股定理練習(xí)題一、選擇題1、以下各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是 A：4，5，6 B：1，1， C：6，8，11 D：5，12，232、在RtABC中，C90°，a12，b16，那么c的長為( ) A：26 B：18 C：20 D：213、在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是(3,4)，那么OP的長為( )A：3 B：4 C：5 D：4、在R

12、tABC中，C90°，B45°,c10，那么a的長為( ) A：5 B： C： D： 5、RtABC中，C=90°，假設(shè)a+b=14cm，c=10cm，那么RtABC的面積是 A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2 6、假設(shè)等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，那么底邊上的高為 A、6 B、7 C、8 D、9ABEFDC第7題圖7、，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，那么ABE的面積為 A、3cm2 B、4cm2 C、6cm2 D、12cm28、假設(shè)ABC中，高AD=12,那么BC的長

13、為 A、14 B、4 C、14或4 D、 以上都不對 9、 如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，假設(shè)小方格邊長為1，那么ABC是 A直角三角形 (B)銳角三角形 (C)鈍角三角形 (D)以上答案都不對DBCA第10題圖10、在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，那么這棵樹高是 A、 17 B、14 C 、16 D、1 5 二、填空題1、假設(shè)一個三角形的三邊滿足，那么這個三角形是 。2、木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，那么這個桌面 。填

14、“合格或“不合格 3、直角三角形兩直角邊長分別為3和4，那么它斜邊上的高為_。4、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，那么正方形A，B，C，D的面積的和為 。ABCDEF5、如右圖將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上F處,CE=3,AB=8,那么BF=_。6、將一根長為15的筷子置于底面直徑為5，高為12的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長為h，那么h的取值范圍是_。 第6題圖三、解答題1、ABC的三邊分別為k21，2k，k2+1k1，求證：ABC是直角三角形.9分如圖，在2、如圖，四邊形ABCD中，AB3cm，

15、BC4cm，CD12cm，DA13cm，且ABC900，求四邊形ABCD的面積。2題圖 3如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的長3題圖 4題圖 4如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，該紙片寬AB為8cm，長BC為10cm當(dāng)小紅折疊時，頂點D落在BC邊上的點F處折痕為AE想一想，此時EC有多長？ 5如圖，A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(d2=400000m2)，現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？5題圖 參考答案：一、A 、 9、A 10 、D二、直角三角形、合格、 、 6、三、提示：證k212+2k2=k2+122、解：連接AC 在RtABC中， =5cmSABC=6cm 在ACD中，+CD=