非線性微分方程和穩(wěn)定性

1、第六章 非線性微分方程和穩(wěn)定性6-1 對下列方程求出常數(shù)特解，并且畫出方程經(jīng)過(0,x0)的積分曲線的走向，從而判斷各駐定解的穩(wěn)定性；然后作變量替換，使非零駐定解對應(yīng)于新的方程的零解。 1）2）dxdtdxdt=Ax+Bx, A>0,B>0,-<x0<+ =x(x-1)(x-3), x00dxdt=Bx(A+x)，則其常數(shù)特解為 2解 1）方程可化為x1=0,x2=-BAB，即為駐定解。AB由于方程為分離變量方程（或迫努利方程），當(dāng)x0,x- 11 -dx=Adt A xx+ B時，分離變量得方程的通解為xA+Bx=CeAt x0A，得 C=A+BxB利用初始條件x(0

2、)=x0 x00,x0-條件的解為x(t)=A，故得原方程滿足初始0A-Ate-B+ +B x0(t0) （1）由式（1）和方程右端的表達(dá)式，得出當(dāng)x0>0時，又 Adxdt>0，x(t)遞增， A-Ate+B>-B, +BB時，x(t)+， x0x0即t=1Aln(Ax0B+1)時，x(t)+。AdxA+B>0, x<- , >0 0xBdt0當(dāng) x0<0時，有A+B<0, x>-A ,dx <00Bdtx0x(t)-AB(t+)所以解（1）的圖像如圖6-5所示。圖6-5從解的圖像可以看出：解x1=0不穩(wěn)定；解x2=-利用變換y=x

3、+dydt=A(y-AB AB穩(wěn)定。 AB，可將原方程化為 AB)=-Ay+ByAB22)+B(y- 所以原方程的駐定解x2=-dydt對應(yīng)于方程 2=-Ay+By的零解y=0。2）由x(x-1)(x-3)=0，求得常數(shù)解為 x1=0,x2=1,x3=3。 因為f(t,x)=x(x-1)(x-3)在全平面上連續(xù)可微，故對任意初始點(t0,x0)，解唯一存在，當(dāng)t0,x0時有在區(qū)域0<x<1，在區(qū)域1<x<3，在區(qū)域x>3，又dxdtdxdtdxdtdxdt >0，任意解x=x(t)遞增，在t+時 ，以x=1為漸近線。 <0，任意解x=x(t)遞減，在t

4、+時 ，以x=1為漸近線。>0，任意解x=x(t)遞增，在t+時 ，x(t)遠(yuǎn)離x3(t)=3， +(t+)，故x(t)有鉛直漸近線。積分曲線的分布如圖6-6所示。圖6-6從圖6-6看出：當(dāng)x0=0時，x(t)=0；當(dāng)0<x0<3時，x(t)1，當(dāng)t+時，駐定解x2=1穩(wěn)定；x3=3不穩(wěn)定。令y=x-1，代入原方程，得dydt=y(y+1)(y-2)令y=x-3，代入原方程，得dydt=y(y+2)(y+3)所以原方程的駐定解x2=1和x3=3對應(yīng)于新方程的零解y=0。評注：駐定解是使方程的左端為零的解，也就是常數(shù)解。如果方程的通解能夠解出，直接可研究駐定解的穩(wěn)定性；如果方程

5、的解不易得到，就從方程本身的特點研究其穩(wěn)定性，這時可利用解的導(dǎo)數(shù)的符號得到解的單調(diào)區(qū)間從而推斷駐定解的穩(wěn)定性。從題目中我們還可以知道，非零駐定解可以通過變量替換化為新方程的零解，這也是為什么在穩(wěn)定性理論的研究中只考慮零解穩(wěn)定性的緣故。方程dxdt=Ax+Bx是著名的羅杰斯蒂克（Logistic）微分方2程型，常用來研究生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的問題。6-2 試討論線性方程組dx=ax+bydt dy=cydt的奇點類型，其中a，b，c為實數(shù)且ac0。解 因為方程組是二階線性駐定方程組，且滿足條件a0bc=ac0，故線性方程組有唯一的奇點，即原點(0,0)。又由 det(A-E)=a-0bc-=-(a

6、+c)+ac=0， 2得 1=a,2=c。所以由定理6.1知，方程組的奇點(0,0)可以分為以下類型：a<c,c<0,奇點為穩(wěn)定結(jié)點ac>0,奇點為結(jié)點aca>c,c>0,奇點為不穩(wěn)定結(jié)點a,c為實數(shù) ac<0,奇點為鞍點(不穩(wěn)定)a=cb0,奇點為退化結(jié)點a<(>)0,c<(>)0,奇點為(不)穩(wěn)定結(jié)點b=0,奇點為奇結(jié)點評注：討論含參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，要注意各個參數(shù)的變化對奇點類型的影響。 6-3 試求出下列方程組的所有奇點，并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。dxdx2=9x-6y+4xy-5x=ydtdt1） 2） dydy22=6

7、x-6y-5xy+4y=-x+(y-x),>0dtdt解 1） 先求出奇點。解方程組29x-6y+4xy-5x=0 26x-6y-5xy+4y=0得x3=1x1=0x2=2, , ， y1=0y2=1y3=2所以方程組1）有奇點為(0,0),(1,2)和(2,1)。 再研究駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。a)零解的穩(wěn)定性態(tài)。奇點(0,0)的一次近似方程組為dx=9x-6ydt dy=6x-6ydt穩(wěn)定。b)駐定解x=1,y=2的穩(wěn)定性態(tài)。 令X=x-1 Y=y-2將1）中方程組化為dX2=7X-2Y+4XY-5Xdt 。 dY=-4X+5Y-5XY+4Y2dt一次近似方程組為dX=7X-2Ydt ，

8、dY=-4X+5Ydtc) 駐定解x=2,y=1的穩(wěn)定性態(tài)令X=x-2 Y=y-1將1）中方程組化為dX=-7X+2Y+4XY-5XdtdY=X-8Y-5XY+4Y2dt2一次近似方程組為dX=-7X+2Ydt dY=X-8Ydt2） 先求出奇點。 解方程組y=0 2-x+(y-x)=0得1x=-x1=02， , y1=0y=02故系統(tǒng)2）有奇點為(0,0)和(-1,0)。再研究駐定解的穩(wěn)定性態(tài)。 dx=f(x,y)dt一般地，對于系統(tǒng)，它在駐定解Pi(xi,yi)的一次近似方程組為 dy=g(x,y)dtdxf(x,y) xdt =dy g(x,y) xdtf(x,y)yg(x,y)yx y

9、， Pi其中方程組的系數(shù)矩陣稱為函數(shù)f(x,y),g(x,y)關(guān)于x,y的雅可比矩陣。在此題中，駐定解Pi(xi,yi)的一次近似方程組為dx0dt= dy -1-2xdt1x y， Pi所以系統(tǒng)2）零解的一次近似方程組為dx=ydt ， dy=-x+ydt有正實部的特征根1,2=dx=ydt dy=x+ydt特征根為1,2=評注：系統(tǒng)的常數(shù)解即為駐定解，對應(yīng)到相平面上就是奇點。本題1）的解法是先將駐定解平移至零解，然后利用它的一次近似系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性來研究非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定。本題2）給出得到一次近似系統(tǒng)的另一種方法，是將系統(tǒng)在奇點處按泰勒公式展開取線性主部即可。6-4 研究下列方程（組）零

10、解的穩(wěn)定性。1）dxdtdxdt33+5dxdt22+6dydtdxdt+x=0 （1） dzdt2）=x-y,=y-z,=z-x，為常數(shù)。解 1） 令 y1=x,y2=則方程（1）可化為為 dxdt,y3=dxdt22，dy1dt=y2dy2 （2） =y3dtdy3=-y1-6y2-5y3dt則det(E-A)=01-10-1=+5+6+1=0， 326+5因為a0=1,a1=5,2=5116=29,a3=1所以由霍維茲定理得，特征根均具有負(fù)實部，因而（2）的零解即（1）的零解漸近穩(wěn)定。-101=(-)+1=0， 32） det(E-A)=01-0-3i1=-1,2,3=2+1±

11、2， 所以，當(dāng)<-當(dāng)>-當(dāng)=-121212時，特征根均具有負(fù)實部，方程組的零解是漸近穩(wěn)定的； 時，有正實部的特征根，方程組的零解是不穩(wěn)定的； 時，沒有正實部的特征根，且具有零實部的根的初級因子的次數(shù)等于1，故方程組的零解是穩(wěn)定的（但非漸近穩(wěn)定）。評注：高階方程零解的穩(wěn)定性可化為與之等價的一階線性微分方程組零解的穩(wěn)定性問題來研究，而常系數(shù)一階線性微分方程組零解的穩(wěn)定性可歸結(jié)為它的特征根的問題。注意霍維茲定理的應(yīng)用。6-5某自激振動系統(tǒng)以數(shù)學(xué)形式表示如下（范得坡方程）dxdt22+(x-1)2dxdt+x=0(>0)試討論系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性態(tài)。解 令y=x,z=dxdt，則原

12、方程化為dy=zdt， dz2=-y+z-yzdt一次近似方程組為dy=zdt， dz=-y+zdt由1-1-=-+1=0，得 21,2=±22-4，評注：先將高階方程化為與之等價的一階線性微分方程組，再研究方程組的一次近似系統(tǒng)，應(yīng)用定理6.5 得到原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。6-6 研究下列方程組零解的穩(wěn)定性：dxdx22222=-x-y+(x-y)(x+y)=-y+x(x+y)dtdt1） 2） dydy222222=x-y+(x+y)(x+y)=-x-y(x-y)dtdt3）dxdt=-xy,6dydt=yx 4）2234dxdt=ax-xy,2dydt=2xy（a為參數(shù)） 422解 1）

13、取定正函數(shù)V=x+y，x+y<1，則dVdt=2x(-x-y+x+xy222232-xy-y)+2y(x-y+x+xy2332+xy+y)23 =2(x+y)(x+y-1)<0定負(fù)，所以由定理6.6知方程組的零解是漸近穩(wěn)定的。2） 取變號函數(shù)V(x,y)=-x-y，則dVdt2222222=y-x(x+y)+x+y(x-y)2222222 =x+y-x(x+y)+y(x-y)x+y定正，故22dVdt在原點的鄰域內(nèi)定正。由于V(x,y)是變號函數(shù)，故在原點(0,0)的任意小鄰域內(nèi)都至少存在某點(,)使V(,)>0，故方程組的零解是不穩(wěn)定的。3）取正定函數(shù)V(x,y)=x+y，

14、 44則有dVdt=4x(-xy)+4y(yx)=-4xy+4xy3633446460方程組的零解是穩(wěn)定的。4） 取定正函數(shù)V(x,y)=14(x+y)， 42則dVdtdV=x(ax-xy)+3212y(2xy)=ax， 44當(dāng)a0時，dt常負(fù)，方程組的零解是穩(wěn)定的；當(dāng)a>0時，方程組的線性近似方程組具有正實部的特征根：1=0,2=a>0，因而方程組的零解是不穩(wěn)定的。評注：利用李雅普諾夫第二方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，關(guān)鍵尋找適當(dāng)?shù)腣函數(shù)。特別注意尋找的V函數(shù)只要在零解的某一個鄰域內(nèi)滿足條件即可。6-7給定微分方程組dxdt=y-xf(x,y),dydt=-x-yf(x,y)，其中f(

15、x,y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。試證明在原點鄰域內(nèi)如當(dāng)f>0，則零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)f<0則零解是不穩(wěn)定的。證 顯然原方程組的由初始條件所確定的解，在原點的某個鄰域內(nèi)存在且唯一。x=0,y=0是方程組的特解。取定正函數(shù)V(x,y)=x2+y2，則其通過方程組的全導(dǎo)數(shù)為：dVdt=2x(y-xf(x,y)+2y(-x-yf(x,y)=-2(x+y)f(x,y)。 22因此，在原點鄰域內(nèi)當(dāng)f>0，則當(dāng)f<0，則dVdtdVdt定負(fù)，零解為漸近穩(wěn)定的； 定正，零解為不穩(wěn)定的。評注：正確選擇V函數(shù)。6-8 給定方程dxdt22其中f(0)=0，而當(dāng)x0時xf(x)>0(-k&l

16、t;x<k)。 +f(x)=0，122x試將其化為一階方程組，并用形如V(x,y)=組零解的穩(wěn)定性。解 令dxdt=y，則dxdtdydty+0f(s)ds的李雅普諾夫函數(shù)討論方程=-f(x)，原方程化為 dydt=-f(x) =y，取函數(shù)V(x,y)=12y+2x0f(s)ds，由于f(0)=0，且當(dāng)x0時，xf(x)>0(-k<x<k)，所以V(x,y)=12y+2x0f(s)ds是定正函數(shù)，則有dVdt=yf(x)-yf(x)0，方程組的零解為穩(wěn)定的。評注：給出了一種V函數(shù)的構(gòu)造方法。6-9 方程組dxdt=y-x,3dydt=-2(x+y)能否由線性近似方程決定

17、其穩(wěn)定性問題？35試尋求李雅普諾夫函數(shù)以解決這方程組的零解的穩(wěn)定性問題。同時變動高次項使新方程的零解為不穩(wěn)定的。解 由det(E-A)=0-1=0， 2得1,2=0，屬于臨界情形，因此原方程的零解的穩(wěn)定性態(tài)是不能由線性近似方程組來決定的。為此，取定正函數(shù)V(x,y)=12(x+y)， 42則dVdt=2x(y-x)-2y(x+y)=-2(x+y)<0 333566定負(fù)，故原方程組的零解是漸近穩(wěn)定的。如果變動高次項，使dxdt=y+x,3dydt=-2(x-y) 35仍取定正函數(shù)V(x,y)=12(x+y)， 42則有dVdt=2x(y+x)-2y(x-y)=2(x+y)>0定正。

18、333566則新方程組的零解為不穩(wěn)定的。評注：當(dāng)一次近似系統(tǒng)有初級因子的次數(shù)不等于1的零根或具零實部的根（即臨界情形）時，非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性態(tài)是不能由線性近似方程組來決定的。此題說明在臨界情形下改變高次項既可使得系統(tǒng)穩(wěn)定也可使其不穩(wěn)定。6-10 試確定下列方程組的周期解、極限環(huán)，并討論極限環(huán)的穩(wěn)定性。dx222=-y-x(x+y-1)dt1） dy222=x-y(x+y-1)dtxdx22=y-(x+y-1)dt22x+y2） 當(dāng)x2+y20 y22dy=-x-(x+y-1)22dtx+ydxdt=dydt=0， 當(dāng)x+y22=0解 1）取極坐標(biāo) x=rcos,y=rsin，則有drddx

19、=cos-rsindtdtdt ， dydrd=sin+rcosdtdtdt因而方程組可化為：dr22=-r(r-1)dtd=1dt （1）由（1）知，當(dāng)r=0和r=1時，r=0,=r=1,=drdt=0而ddt=1，即有兩個特解： tt0tdt=t-t0 tt0 ， dt=t-t0 tt0 ， t0第一個特解是零解，在相平面上為原點，是一奇點。第二個特解表示以2為周期的周期解，即半徑為1的等距螺旋線，在相平面上是以原點為圓心、半徑為1的圓，這個圓就是閉軌線，由方程組（1）的第二式知，軌線是沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)的。下面判斷此閉軌線是極限環(huán)。在相平面上，以原點為圓心，任作一個半徑為R>0的圓

20、，考察方程組通過這個圓上任一點(R,*)的軌線的走向：當(dāng)R=R1<1時，由（1）有drdtddt=-R1(R1-1)<0，r是t的遞減函數(shù)， r=R1=*22=1>0，是t的遞增函數(shù)，故隨著t的增大，軌線按逆時針方向從圓r=R1上走進(jìn)圓內(nèi)；當(dāng)R=R2>1時，由（1）有drdtddtr=R2=-R2(R2-1)<0，r是t的遞減函數(shù)， =1>0，是t的遞增函數(shù)，表示軌線沿逆時針方向運動， 22=*故隨著t的增大，軌線按逆時針方向從圓r=R2上走進(jìn)圓內(nèi)。綜上所述得如下結(jié)論：a) 原方程組有周期解：r=1,=t-t0(tt0)；b) 閉軌線r=1是孤立的，因而它是

21、一個極限環(huán)；c) 此極限環(huán)的外側(cè)軌線正向趨近于它，而內(nèi)側(cè)軌線負(fù)向趨近于它，因而是半穩(wěn)定的。2） 取極坐標(biāo)x=rcos,y=rsin，則原方程組可化為dr2r=-(r-1)rdt （2） d=-1dt方程組（2）有兩個特解r=0,為任意角 ，r=1,=t0-t(tt0) ，其中第一個特解是零解，在相平面上為原點，是一奇點。第二個特解表示以2為周期的周期解，即半徑為1的等距螺旋線，在相平面上是以原點為圓心、半徑為1的圓，這個圓就是閉軌線，由方程組（2）的第二式知，軌線是沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)的。下面判斷此閉軌線是極限環(huán)。在相平面上，任作以原點為圓心，以R為半徑的圓，考察方程組通過此圓上任一點(R,*)

22、的軌線的走向：當(dāng)R=R1<1時，由（2）有drdtddt=1-R1>0，r是t的遞增函數(shù)， r=R1=*2=-1<0，表示軌線沿順時針方向運動，當(dāng)R=R2>1時，由（1）有drdtddtr=R2=1-R2<0，r是t的遞減函數(shù)， =-1<0，順時針方向 。 2=*所以，當(dāng)t+時，-軌線均趨于圓r=1，因此圓r=1是原系統(tǒng)的一穩(wěn)定的極限環(huán)。綜上所述得如下結(jié)論：a) 原方程組有周期解：r=1,=t0-t(tt0)；b) 閉軌線r=1是孤立的，因而它是一個極限環(huán)；c) 此極限環(huán)的內(nèi)外兩側(cè)的軌線順時針趨近于它，因而是穩(wěn)定的。評注：研究系統(tǒng)極限環(huán)時，常用極坐標(biāo)變換，注

23、意在極坐標(biāo)下奇點和閉軌線的表達(dá)式。研究極限環(huán)的穩(wěn)定性時，需考慮閉軌鄰域內(nèi)軌線的走向。注意區(qū)分周期解、閉軌和極限環(huán)。6-11判別方程組dx3=y-x+xdt dy=-x-y+y3dt有無極限環(huán)存在解 因為Xx+Yy=-2+3(x+y)，2322所以由定理6.9可知，方程組在x+y下面討論包括x+y=2222的區(qū)域內(nèi)不存在極限環(huán)。 23在內(nèi)的區(qū)域上極限環(huán)的存在性。取極坐標(biāo)x=rcos,y=rsin，則原方程組可化為dr24=rr(cos+sindt2dr=-1-sin44dt4)-1 （1）由于cos+sin444=1-1212sin2所以cos2，>0，則drdt4+sin4的最小值為41

24、2，最大值為1。4由此，若cos+sin取drdt<0，則drdt44時，drdt>0恒成立；若cos+sin取1時<0恒成立。 4a) 令cos+sin2=412 4rr(cos+sin)-1=r2。 12r-1>0， 2則因為r>0，故于是當(dāng)r>12r-1>0，即有r>22時，恒成立drdt=rr(cos24+sin4)-1>0，又此時當(dāng)r<2時，ddt=-1-r24sin4<0。 因此，在相平面上，以原點為圓心，以R1=域內(nèi)，軌線沿順時針方向向外走。b)同理令cos+sin2442為半徑作圓，則在此圓以外的鄰近區(qū)=1 rr

25、-1<0，得r<1(r>0)，于是，當(dāng)0<r<1時，ddtr2drdt<0恒成立。 又此時=-1-4sin4<0恒成立。因此，在相平面上，以原點為圓心，以R2=1為半徑作圓，則在此圓以外的鄰近區(qū)域內(nèi)，軌線沿順時針方向向圓內(nèi)走。又在環(huán)形域D:R2<r<R1內(nèi)，沒有方程組的奇點，故由a）和b）知原方程組在環(huán)形域D內(nèi)一定存在不穩(wěn)定的極限環(huán)。評注：班狄克生環(huán)域定理（定理6.8）是判斷極限環(huán)存在的有效方法，注意環(huán)域的構(gòu)造。定理6.9是尋找極限環(huán)不存在的區(qū)域的簡捷方法。6-12 考慮方程組dxdt=X(x,y),dydt=Y(x,y)其中函數(shù)X(x,y

26、),Y(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)存在函數(shù)B(x,y)，其一xy階偏導(dǎo)數(shù)于域D內(nèi)連續(xù)，(BX)+(BY)在D內(nèi)不變號且在D內(nèi)的任一子域內(nèi)不恒等于零。試證明上述方程組于域D內(nèi)不存在任何周期解。應(yīng)用此結(jié)論證明方程dxdt22+ax+bdxdt-x-(2dxdt)=0 2沒有極限環(huán)存在，其中a,b,為常數(shù)，且b0。證 假設(shè)D內(nèi)存在周期為T的周期解:x=x(t),y=y(t),0tT，根據(jù)格林公式，則對于由所圍成的區(qū)域D(DD)有DT(x(BX)+dydtdydty(BY)dxdy=dxdt(BXdy-BYdx) =00(BXB(X-BY-Ydxdt)dt T)dt=T0B(XY-YX)dt=0，所以xx(BX)+yy(BY)=0， 這與已知(BX)+(BY)在D的任一子域內(nèi)不恒等于零相矛盾，故原方程組在D內(nèi)不存在任何周期解。 令dxdt=y，則可將方程dxdt22+ax+bdxdt-x-(2dxdt)=