直線與橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)判定法及參數(shù)方程

1、直線與橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)判定法及參數(shù)方程一：判定直線與橢圓位置關(guān)系的常規(guī)方法：是把直線方程代入橢圓方程，得到關(guān)于的一元二次方程，然后用判別式法求解之；其運(yùn)算往往比較復(fù)雜.本文介紹兩種判定直線和橢圓位置關(guān)系的非常規(guī)方法,并簡要介紹這兩種方法的應(yīng)用。定理1: 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是直角坐標(biāo)平面中的任意一點(diǎn)，則（1）點(diǎn)P在橢圓上.（2）點(diǎn)P在橢圓外.（3）點(diǎn)P在橢圓內(nèi).證明:(1)由橢圓的定義直接可得這個(gè)結(jié)論. (2)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓外時(shí):如圖,連結(jié) 交橢圓于點(diǎn)M,則>即成立.即:點(diǎn)P在橢圓外(3)1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)時(shí):如圖,連結(jié)并延長交橢圓于點(diǎn)M,則<即成立.即:點(diǎn)P在橢

2、圓內(nèi)(2)2)當(dāng)時(shí):若點(diǎn)P在橢圓上,則有得矛盾若點(diǎn)P在橢圓內(nèi),則有得矛盾點(diǎn)P在橢圓外. 即點(diǎn)P在橢圓外.(3)2)同理可得點(diǎn)P在橢圓內(nèi).定理2：設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)P到橢圓兩焦點(diǎn)、的距離和的最小值為,則（1）直線和橢圓C相切；（2）直線和橢圓C相離；（3）直線和橢圓C相交；證明: (1)直線和橢圓C相切直線和橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)直線上有且僅有一個(gè)點(diǎn)在橢圓上,而其它點(diǎn)全在橢圓外的最小值為 (2) 直線和橢圓C相離直線上的所有點(diǎn)都在橢圓C的外部恒成立(3) 直線和橢圓C相交 直線上至少存在一點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部直線上至少存在一點(diǎn)P使成立 注:容易驗(yàn)證對(duì)于焦點(diǎn)在軸上的橢圓,上述結(jié)論也成立.定理3：已知：

3、直線 橢圓 ，則（1）；（2）；（3）。證明：作坐標(biāo)變換： 則在新坐標(biāo)系中橢圓C變成曲線的方程為：（已化為單位圓），直線l變成直線的方程為，易見坐標(biāo)變換前后直線和曲線的位置關(guān)系（公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)）保持不變；在中，由于圓心到直線的距離 和橢圓C相交和單位圓相交同理：和橢圓C相切和橢圓C相離 下面介紹上述定理的初步應(yīng)用例1：若直線和焦點(diǎn)在X軸上的橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 例2已知:橢圓C以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在x軸上，且與兩直線均相切，求：橢圓C的方程。解：設(shè)橢圓的方程為： 橢圓和直線相切 由定理3可知：又橢圓和直線相切 由 解得 橢圓的方程為：評(píng)注:用定理3判定直線 和橢圓的位置關(guān)系，

4、通常可以避免一些繁雜的運(yùn)算.二：橢圓參數(shù)方程    問題：如圖以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作ANOx，垂足為N，過點(diǎn)B作BNAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。    解：參數(shù)。            說明：<1> 對(duì)上述方程（1）消參即        <2>由以

5、上消參過程可知將橢圓的普通方程進(jìn)行三角變形即得參數(shù)方程。初步應(yīng)用：例3：橢圓 上求一點(diǎn)P，使它到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線互相垂直。例4. 的距離最小并求出距離的最小值（或最大值）？    解：                 例5. 如圖，已知曲線，點(diǎn)A在曲線上移動(dòng)，點(diǎn)C（6，4），以AC為對(duì)角線作矩形ABCD，使ABx軸，ADy軸，求矩形ABCD的面積最小時(shí)點(diǎn)A坐標(biāo)。解：設(shè)，    則，