數學專題1新定義問題

1、數學專題1新定義問題【專題詮釋】所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識、能力進行理解，根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.“新定義”型問題成為近年來中考數學壓軸題的新亮點.在復習中應重視學生應用新的知識解決問題的能力“新定義型專題”關鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據問題情景的變化，通過認真思考，合理進行思想方法的遷移.【經典例題】類型一：規(guī)律題型中的新定義例1.2009山東棗莊，18,4分定義：a是不為1的有理數，我們把稱為a的差倒數.如:一一 12的差倒數是1 21a1

2、1一11,1的差倒數是一.已知a1=,a2是a1的差倒1(1)23數，a3是a2的差倒數，a4是a3的差倒數,，依此類推，a2009=a411 a3【分析】：理解差倒數的概念，要根據定義去做.通過計算，尋找差倒數出現的規(guī)律，依據規(guī)律解答即可.1【解】：解：根據差倒數定義可得：a21a111a3"31a213顯然每三個循環(huán)一次，又2009+3=669余2,故a2009和a2的值相等.【評注】：此類題型要嚴格根據定義做，這也是近幾年出現的新類型題之一，同時注意分析循環(huán)的規(guī)律.類型二：運算題型中的新定義例2.2011畢節(jié)地區(qū)，18,3分對于兩個不相等的實數a、b,定義一種新的運算如下,a

3、* b ； (a b>0), 如:3*2那么 6*5*4=【分析】：此題需先根據已知條件求出5*4的值，再求出6*5*4的值即可求出結果.【評注】：此題主要考查了實數的運算,在解題時要先明確新的運算表示的含義是此題的關鍵.列3.2010重慶江津區(qū)，15, 4分我們定義abcdad bc,例如2345=2X5 3>4=10 12=-2,假設x,y均為整數，且滿足1Vly4<3.則x+y的值是【分析】：先根據題意列出不等式，根據x的取值范圍及x為整數求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可.x, y均為整數求出【評注】：此題比較簡單，解答此題的關鍵是根據題意列出不等式，根據x、y

4、的值即可.類型三：探索題型中的新定義例4.(2009臺州，23,分定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內點.如圖1, PH=PJ, PI=PG,則點P就是四邊形 ABCD的準內點.1如圖2, /AFD與/ DEC的角平分線FP, EP相交于點P.求證：點P是四邊形 ABCD的準內點.2分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內點.作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明3判斷以下命題的真假，在括號內填真”或假”.任意凸四邊形一定存在準內點.任意凸四邊形一定只有一個準內點.假設P是任意凸四邊形ABCD的準內點，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD.【

5、分析】：1過點P作PGAB,PHXBC,PUCD,PJ±AD,由角平分線的性質可知PJ=PH,PG=PI;2平行四邊形對角線的交點，即為平行四邊形的準內點；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點，即為梯形的準內點；3當凸四邊形為平行四邊形時，易知其對角線交點即為其準內點；當凸四邊形不為平行四邊形時，可以將四邊形的兩邊延長，構造三角形，其對角線交點即為準內點.【解】：1如圖2,過點P作PGAB,PHXBC,PUCD,PJ±ADEP平分/DEC.PJ=PH.3分同理PG=PI.1分.P是四邊形ABCD的準內點.1分4分平行四邊形對角線AC,BD的交點Pi就是準內點，如圖31.或

6、者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P1就是準內點，如圖32;梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P2就是準內點.如圖4.【評注】：此題是一道新定義探索性題目，考查了對新信息的理解與應用能力，同時考查了三角形及四邊形的性質.類型四：開放題型中的新定義例5.2011浙江臺州，15,5分如果點Px,y的坐標滿足x+y=xy,那么稱點P為和諧點.請寫出一個和諧點的坐標：.【分析】：由題意點Px,y的坐標滿足x+y=xy,解答x+y=xy,即可得出答案.【解】：:點Px,y的坐標滿足x+y=xy,二.x,y符號相同，代入數字進行驗證，符合條件的點的坐標有0,0，2,2等.故答案為：0,0【評注】：此題

7、考查了和諧點的性質及等式求解，比較簡單.類型五：閱讀材料題型中的新定義例6.2010廣東佛山，25,8分閱讀材料我們經常通過認識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認識這個事物；比方我們通過學習兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形繼續(xù)學習它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等來逐步認識四邊形；我們對課本里特殊四邊形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發(fā)現其性質和判定方法,然后通過解決簡單的問題穩(wěn)固所學知識；請解決以下問題：如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB田C的四邊形ABCD叫做箏形”；1寫出箏形的兩個性質定義除外；2寫出箏形的兩個判定方法定義除外，并選出一個進行證明.岳西駐1缶河爸1各弓斑

8、I:芟隹負瑪2t-到*法閨5C在用判配方話期一【分析】：1根據題意及圖示即可得出箏形的性質；2根據箏形的性質即可寫出判斷方法，然后根據題意及圖示即可進行證明.【解】：1性質1：只有一組對角相等，性質2:只有一條對角線平分對角；2判定方法1:只有一條對角線平分對角的四邊形是箏形，判定方法2:兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形，證明方法1:./BAC=/DAC,/BCA=/DCA,AC=AC,ABCAADC,AB=AD,CB=CD,易知ACXBD,又/ABDw/CBD,./BAC也CBA,AB田C,由知四邊形ABCD是箏形.【評注】：此題主要考查了根據題意及圖示判斷箏形的定義及性質，

9、然后根據題目要求依次進行解答，難度適中.練習部分、選擇題1、12011山東荷澤，6,4分定義一種運算,其規(guī)則為小=，根據這個規(guī)則，計算2+3的值是A.5B.1C.5D.6652.2011濱州，10,3分在快速計算法中，法國的小九九”從、一得一”到五五二十五”和我國的小九九”算法是完全一樣的，而后面六到九”的運算就改用手勢了.如計算8X9時，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，兩只手伸出手指數的和為7,未伸出手指數的積為2,則8X9=10X7+2=72.那么在計算6X7時，左、右手伸出的手指數應該分別為A、1,2B、1,3C、4,2D、4,31二、填空題3.2011安徽，14,4分定義運算ab=

10、a1-b，以下給出了關于這種運算的幾點結論：2-2=6;ab=ba;假設a+b=0,則ab+ba=2ab;假設ab=0,貝Ua=0.其中正確結論序號是.把在橫線上填上你認為所有正確結論的序號三、解答題42011浙江紹興，21,10分在平面直角坐標系中.過一點分別作坐標軸的垂線，假設與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點.例如.圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線.與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點.1判斷點M1,2，N4,4是否為和諧點，并說明理由；2假設和諧點Pa,3在直線y=-x+bb為常數上，求a,b的值.5.2009山東濟寧，23,8分閱讀下面的材料：在

11、平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義4y卜面就兩個一次函數的圖象所確定的兩條直線，6給出它們平行的定義：設一次函數4-2 .-h.1.1 上k !.-2.O 246 x-2.ykxb1(K0)的圖象為直線1i,一次函數yk2xb2(k20)的圖象為直線l2，假設k1k2，且hb2，我們就稱直線11與直線l2互相平行.解答下面的問題：1求過點P(1,4)且與已知直線y2x1平行的直線1的函數表達式，并畫出直線1的圖象；2設直線1分別與y軸、x軸交于點A、B,如果直線m：ykxt(t0)與直線1平行且交x軸于點C,求出ABC的面積S關于t的函數表達式10 分6.2010江蘇連云港，27,10分如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.1三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有2如圖，梯形ABCD中，