基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應(yīng)閾值去噪算法

1、基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應(yīng)閾值去噪算法金彩虹(南京曉莊學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，南京 210017）摘要：利用非下采樣Contourlet變換的平移不變性和多方向選擇性，考慮非下采樣Contourlet變換域內(nèi)相鄰尺度間和同一尺度、不同方向間圖像系數(shù)和噪聲系數(shù)之間不同的相關(guān)性，根據(jù)子帶含有信息量的多少,自適應(yīng)地調(diào)節(jié)BayesShrink閾值大小，使弱的邊緣細(xì)節(jié)能從噪聲中被提選出來，同時(shí)避免將較大的噪聲系數(shù)誤判為圖像細(xì)節(jié)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法不僅克服了恢復(fù)圖像中的偽Gibbs失真，而且能更多地保留圖像的邊緣細(xì)節(jié)，提高圖像的PSNR值。關(guān)鍵詞：非下采樣Contourlet變換；

2、廣義高斯分布；BayesShrink；相關(guān)性 中圖分類號:TN911173 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:AAdaptive Thresholding for Image Denoising via Nonsubsampled Contourlet Transform JIN Cai-hong(School of Physics and Electronics Engineering,Nanjing Xiaozhuang University, Nanjing ,210017)Abstract: Using the advantages of translation-invariant and multidir

3、ection-selectivity which caused by nonsubsampled contourlet transform, exploiting the inter-scale and intrascale correlations of noise and available information coefficients, BayesShrink thresholds are adaptively set according to the information of subbands. This method can pick up the weak image de

4、tails, it also can snuff out the big coefficients of noise. The experimental results show that this method can eliminate the pseudo-Gibbs phenomena around singularities, keep more image detail and improve the peak signal-to-noise ratio.Keywords: Non-subsampled Contourlet transform(NSCT); Generalized

5、 Gaussian distribution(GGD); BayesShrink; Correlation 1 引言1995年，Donoho 提出了小波閾值去噪理論1，給出了全局閾值：，并從漸進(jìn)意義上證明了全局閾值的最優(yōu)性。 從此，基于閾值去噪的思想得到了廣泛應(yīng)用。然而Donoho給出的全局閾值實(shí)際上是閾值的上限，并不是最佳萎縮閾值。該閾值沒有利用圖像的局部信息，過度“扼殺”了小波系數(shù)，使過多的小波系數(shù)被置，造成圖像細(xì)節(jié)的丟失。Chang 等人在Bayesian框架下假定無噪小波子帶系數(shù)在統(tǒng)計(jì)意義上服從廣義高斯分布(Generalized Gaussian Distribution，GGD)，

6、提出了基于廣義高斯分布模型的BayesShrink閾值去噪2，使基于小波變換的閾值圖像去噪效果得到了很大改善。然而，由于二維小波基函數(shù)的支撐區(qū)間在不同分辨率下為不同尺寸的正方形。因此，當(dāng)尺度變細(xì)時(shí)，二維小波就只能用點(diǎn)來逼近圖像中具有“線奇異”特征的邊緣細(xì)節(jié)，導(dǎo)致二維小波無法實(shí)現(xiàn)對圖像邊緣等具有“線奇異”特征函數(shù)的最優(yōu)逼近。 2002年，M.N.Do和Martin Vetterli提出了Contourlet變換 3。Contourlet變換基函數(shù)支撐區(qū)間的長、寬滿足，具有隨尺度變化的“長條形”結(jié)構(gòu)，用類似于線段的基結(jié)構(gòu)來逼近圖像，克服了小波基用點(diǎn)來逼近線的不足，在Contourlet變換域內(nèi)絕大

7、部分信息能量被集中在了少數(shù)幅值較大的系數(shù)上，實(shí)現(xiàn)了圖像的稀疏逼近。然而，Contourlet變換中下采樣過程的存在，又使Contourlet變換失去了平移不變性，導(dǎo)致了基于此變換的恢復(fù)圖像有偽Gibbs失真。為此，等提出了非下采樣Contourlet變換 4，取消了變換過程中的下采樣，從而有效地抑制了偽Gibbs失真。Chang等人在Bayesian框架下，基于廣義高斯分布模型的BayesShrink閾值去噪方法，考慮了子帶內(nèi)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息，但沒有考慮尺度間以及尺度內(nèi)系數(shù)的相關(guān)特性。在此，對含噪圖像進(jìn)行非下采樣Contourlet變換，利用變換域內(nèi)圖像系數(shù)相鄰尺度間的相關(guān)性和同一尺度下不同方向

8、間系數(shù)能量分布的差異性，自適應(yīng)地調(diào)整BayesShrink閾值，獲得最優(yōu)的去噪閾值。使含有細(xì)節(jié)內(nèi)容豐富子帶的閾值小一些，含有細(xì)節(jié)內(nèi)容較少子帶的閾值大一些，在去除噪聲的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對邊緣細(xì)節(jié)的有效保留，獲得視覺效果良好，信噪比更高的恢復(fù)圖像。2 非下采樣Contourlet變換2.1 Contourlet變換Contourlet變換首先由拉普拉斯金字塔變換(Laplacian Pyramid，LP)將圖像分解為低頻子帶和高頻子帶。低頻子帶由原始圖像經(jīng)過二維低通濾波和隔行隔列下采樣產(chǎn)生；高頻子帶由原始圖像減去低頻子帶經(jīng)上采樣和低通濾波后的低頻分量產(chǎn)生。然后將高頻子帶經(jīng)方向?yàn)V波器組(Directiona

9、l Filter Bank，DFB)分解為個(gè)方向子帶(j為任意正整數(shù))。對低頻子帶重復(fù)上述過程即可實(shí)現(xiàn)圖像的多尺度多方向分解（見圖）。圖1 Contourlet變換濾波器結(jié)構(gòu)Fig. 1 Contourlet TransformLP變換對圖像進(jìn)行多尺度分解“捕獲”點(diǎn)奇異，DFB對圖像進(jìn)行多方向分解，將分布在同一方向上的奇異點(diǎn)合成一個(gè)系數(shù)，用類似于線段的基結(jié)構(gòu)表征圖像的邊緣細(xì)節(jié)等幾何特征，實(shí)現(xiàn)對圖像信息的稀疏逼近。但LP變換的分解濾波器和重構(gòu)濾波器的帶寬均大于。因此，對濾波后的圖像進(jìn)行隔行隔列下采樣會產(chǎn)生頻譜混疊。頻譜混疊使同一方向的信息在幾個(gè)不同的方向子帶中同時(shí)出現(xiàn)，從而削弱了Contourl

10、et變換的方向選擇性。同時(shí)，Contourlet變換中的下采樣過程，還使Contourlet變換失去了平移不變性。導(dǎo)致重構(gòu)圖像在奇異點(diǎn)處出現(xiàn)偽Gibbs現(xiàn)象。2.2 非下采樣Contourlet變換濾波器結(jié)構(gòu)等人提出由非下采樣塔狀濾波器組(Nonsubsampled Pyramid，NSP)和非下采樣方向性濾波器組(Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB)組成非下采樣Contourlet變換。 非下采樣塔狀濾波器組(NSP)采用trous算法5設(shè)計(jì)的滿足Bezout恒等式6的、能實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)的雙通道濾波器結(jié)構(gòu)(見圖2)。 (a) 結(jié)構(gòu)圖 (b)

11、 頻域分解圖 圖2 非下采樣塔狀濾波器組(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.2 Nonsubsampled Pyramid Filters濾波器組滿足： (1)其中：為低通分解濾波器；為高通分解濾波器；為重建低通濾波器；為重建高通濾波器。trous算法通過有限濾波器的內(nèi)插實(shí)現(xiàn)圖像的分解。利用trous算法分解圖像可以得到與原圖像大小相同的一個(gè)低頻近似部分和各層高頻部分，即： (2) (3)其中：是原始圖像的低頻近似部分；是尺度j下圖像的高頻部分。trous算法具有平移不變性，用其進(jìn)行圖像處理，恢復(fù)圖像不

12、會出現(xiàn)偽Gibbs現(xiàn)象。非下采樣方向性濾波器組(NSDFB)是一個(gè)二通道的扇形濾波器組(見圖3(a)。為了得到精確分解，采用迭代方向?yàn)V波器組，并對下一級的濾波器采用梅花矩陣進(jìn)行上采樣。第二層插值扇形濾波器有棋盤狀的頻域支撐，和第一層的濾波器結(jié)合在一起實(shí)現(xiàn)四個(gè)方向的頻域分解(見圖3(b)。(a) 結(jié)構(gòu)圖 (b) 頻域分解圖圖3 非下采樣方向性濾波器組(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.3 Nonsubsampled Directional Filter Banks非下采樣塔狀濾波器(NSP)將圖像分解為低

13、頻部分和高頻部分，再由非下采樣方向性濾波器組(NSDFB)將高頻部分分解為若干個(gè)方向，實(shí)現(xiàn)對圖像的非下采樣Contourlet變換（見圖4）。輸入圖像NSP分解NSDFB分解 (a) 結(jié)構(gòu)圖 (b) 頻域分解圖圖4 非下采樣Contourlet變換濾波器(a) Structure Diagram (b) Decomposing of the Frequency PlaneFig.4 Nonsubsampled Contourlet Transform非下采樣Contourlet變換由于在塔式分解過程中沒有下采樣環(huán)節(jié)，不僅使變換具有平移不變性，克服了恢復(fù)圖像中的偽Gibbs失真，而且沒有下采樣過

14、程即使低通濾波器的帶寬大于,低頻子帶也不會有頻譜混疊現(xiàn)象，避免了同一方向的信息在幾個(gè)不同的方向子帶中同時(shí)出現(xiàn)，增強(qiáng)了圖像信息的方向選擇性，更好地實(shí)現(xiàn)了對圖像的稀疏逼近。3基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應(yīng)閾值去噪算法設(shè)二維含噪圖像為。其中：是期望圖像，是方差為的高斯白噪聲。對含噪圖像進(jìn)行多尺度多方向非下采樣Contourlet變換，得到系數(shù)，其中：j是系數(shù)所在尺度，k是系數(shù)所在方向，m、n是系數(shù)所在位置。與小波和Contourlet變換相似，非下采樣Contourlet變換系數(shù)也用廣義高斯分布來描述(4) 其中：是形狀參數(shù)，是尺度參數(shù)，是Gamma 函數(shù) (5) 當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)，(

15、4)式所描述的廣義高斯分布就成了典型的Laplacian分布，而當(dāng)形狀參數(shù)時(shí)，(4)式所描述的廣義高斯分布則成了典型的Gauss分布。Chang等人對符合廣義高斯分布模型的閾值問題進(jìn)行研究，給出在Bayesian框架下的去噪閾值 (6) 其中: 是噪聲方差，是信號標(biāo)準(zhǔn)差。非下采樣Contourlet變換的非正交性使得變換域內(nèi)不同尺度、不同方向子帶的噪聲方差不相等，因此，采用Monte-Carlo估計(jì)方法7來獲得子帶系數(shù)的噪聲方差。具體做法：（）將含噪圖像進(jìn)行正交小波變換，用Donoho魯棒中值法估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差 (7)其中：是第一層分解的高頻系數(shù)。（）產(chǎn)生一幅大小和原始含噪圖像相同，均值是0，方

16、差是的高斯白噪聲圖像。（）對此噪聲圖像進(jìn)行非下采樣Contourlet變換，估計(jì)不同尺度、不同方向子帶系數(shù)的噪聲方差 (8)其中：M和N是子帶圖像長度和寬度。是對高斯白噪聲圖像進(jìn)行非下采樣Contourlet變換后的系數(shù)，它只含有噪聲信息，沒有有用的圖像信息，這和文中其它地方出現(xiàn)的意義不同。圖像經(jīng)非下采樣Contourlet變換后不同尺度、不同方向子帶系數(shù)信號的標(biāo)準(zhǔn)差各不相同。根據(jù)不同尺度、不同方向子帶的圖像信息，采用最大似然法對進(jìn)行局部估計(jì) (9)于是，基于Bayesian框架下的去噪閾值為 (10)對圖像進(jìn)行非下采樣Contourlet分解后，系數(shù)所含信息量的大小在尺度間具有傳遞性，若父尺

17、度上的系數(shù)較大（含信息量較多），則該父尺度上系數(shù)所對應(yīng)子尺度上的系數(shù)也極可能較大。即相鄰尺度間的系數(shù)具有相關(guān)性8。在尺度內(nèi)，根據(jù)多方向分解理論，含有圖像輪廓細(xì)節(jié)越豐富的方向子帶，其子帶能量越大9。而噪聲能量是分布于整個(gè)變換域內(nèi)的，不同尺度、不同方向間均不存在明顯的相關(guān)性?；贐ayesian框架下的去噪閾值，只考慮了子帶內(nèi)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)信息，沒有考慮到圖像系數(shù)尺度間的相關(guān)性和同一尺度下、不同方向上系數(shù)能量分布的差異。為此，引入系數(shù)來修正基于Bayesian框架下的去噪閾值，得自適應(yīng)閾值 (11)的計(jì)算：() 利用信息和噪聲之間不同的尺度相關(guān)性，計(jì)算相鄰尺度同一空間位置上Contourlet系數(shù)的積

18、，在乘積中，噪聲系數(shù)被抑制，信號系數(shù)被放大，以此加強(qiáng)對弱的邊緣信息與噪聲的區(qū)分。對于位置，尺度j上的Contourlet系數(shù)與其相鄰尺度系數(shù)的積為 (12)()將歸一化到的能量上，歸一化的相鄰尺度系數(shù)積為 (13)其中：是第j層Contourlet系數(shù)的能量；是第j層相鄰尺度系數(shù)積的能量。 (14) (15)（）計(jì)算第j層k方向歸一化相鄰尺度系數(shù)積的能量。 (16)（）計(jì)算系數(shù)。系數(shù)為同一尺度下，所有不同分解方向子帶歸一化相鄰尺度系數(shù)積的總能量與同一尺度下，某一個(gè)分解方向子帶歸一化相鄰尺度系數(shù)積的能量之比。 (17)其中：是某一尺度下總的分解方向數(shù)。計(jì)算系數(shù)時(shí)，首先將相鄰尺度同一空間位置上的C

19、ontourlet系數(shù)相乘，使噪聲系數(shù)被抑制，信號系數(shù)被放大。然后對這種處理過后的系數(shù)計(jì)算能量比，既考慮了變換域內(nèi)圖像系數(shù)尺度間的相關(guān)性也考慮到了方向子帶的能量與子帶含有圖像輪廓細(xì)節(jié)多少的關(guān)系。當(dāng)某尺度某方向子帶的能量比較大，也就是該子帶含有較豐富的圖像輪廓細(xì)節(jié)信息時(shí)，由(17)式，系數(shù)就較小。由 (11) 式，此時(shí)，對該子帶設(shè)置有較低的閾值，可以保留更多的細(xì)節(jié)。反之，當(dāng)某尺度某方向子帶能量比較小，也就是該子帶以噪聲信息為主，只有少量的圖像輪廓細(xì)節(jié)時(shí)，系數(shù)就較大，此時(shí)，對該子帶設(shè)置有較高的閾值，可以盡可能多地濾除噪聲。綜上，基于非下采樣Contourlet變換的圖像自適應(yīng)閾值去噪算法是： （）

20、對含噪圖像進(jìn)行多尺度多方向非下采樣Contourlet變換。（）對不同尺度、不同方向的高頻子帶系數(shù)，由式(8)和式(9)估算其噪聲方差和信號方差。 由式(17)計(jì)算系數(shù)值。最后，由式(11)得到不同尺度、不同方向子帶系數(shù)的自適應(yīng)閾值。（）在非下采樣Contourlet變換域內(nèi)對高頻系數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)硬閾值處理。硬閾值函數(shù): (18)閾值函數(shù)通常有軟閾值函數(shù)和硬閾值函數(shù)兩種。軟閾值函數(shù)去噪的結(jié)果是恢復(fù)圖像相對比較平滑，但會造成圖像中邊緣等細(xì)節(jié)內(nèi)容的損失。硬閾值函數(shù)去噪能較多地保留圖像的邊緣輪廓等細(xì)節(jié)內(nèi)容，卻容易在圖像的突變處出現(xiàn)偽Gibbs現(xiàn)象。在非下采樣Contourlet變換域內(nèi)采用自適應(yīng)硬閾值

21、函數(shù)去噪，一方面由于非下采樣Contourlet變換取消了變換過程中的下采樣，能有效地抑制偽Gibbs失真。同時(shí)由于系數(shù)的調(diào)節(jié)，使子帶系數(shù)閾值自適應(yīng)于子帶能量，能盡可能多地保留圖像輪廓細(xì)節(jié)，這與硬閾值函數(shù)去噪的特點(diǎn)正相適應(yīng)。因此，為了盡可能多地保留圖像輪廓細(xì)節(jié)，使用硬閾值函數(shù)去噪。（）對經(jīng)硬域值處理后的高頻系數(shù)和低頻系數(shù)一起進(jìn)行Contourlet逆變換得到去噪后的恢復(fù)圖像。5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析為了驗(yàn)證本文算法的有效性，在MATLAB6.5中選擇疊加有均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差分別為15，20，25，30的白噪聲的512512的Lena和Barbara標(biāo)準(zhǔn)測試圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中用“db8”小波對圖像進(jìn)行

22、層小波分解, 而非下采樣Contourlet變換選擇9-7塔式分解和方向?yàn)V波器組進(jìn)行層分解，各層方向數(shù)為4，4，8，8。實(shí)驗(yàn)中對基于小波的BayesShrink閾值去噪 2、基于非下采樣Contourlet的BayesShrink去噪4和本文的算法進(jìn)行了比較，去噪結(jié)果的客觀評價(jià)指標(biāo)用峰值信噪比（PSNR）衡量。表比較了不同噪聲等級下各種算法的PSNR，圖給出了噪聲標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)Barbara圖像的去噪結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1和圖所示。表1 幾種算法的去噪圖像峰值信噪比值/dBTab.1 Comparison of PSNR(dB) with different algorithms 圖像噪聲標(biāo)準(zhǔn)差峰值信

23、噪比（PSNRdB）噪聲圖像文2去噪文4去噪本文去噪Lena1524.6030.3230.5432.932022.1328.9629.1331.532520.1528.1728.5630.893018.5827.4927.6630.09Barbara1524.6227.4627.8230.332022.1525.8826.0728.592520.1824.7825.1827.763018.6723.7424.3826.84 (a)噪聲圖像 (b) 文獻(xiàn) 2 的去噪結(jié)果(c) 文獻(xiàn) 4 的去噪結(jié)果(d) 本文去噪的結(jié)果 圖 噪聲的Barbara測試圖像的去噪結(jié)果比較(a) Noisy image

24、(b) Result of the second literature (c) Result of the fourth literature (d) Result of this papperFig.5 Denoising results of different algorithms for Barbara at noise level由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出:（）非下采樣Contourlet變換實(shí)現(xiàn)了對圖像的多尺度、多方向最優(yōu)稀疏逼近，利用變換域內(nèi)相鄰尺度間的相關(guān)性和同一尺度、不同方向系數(shù)能量分布的差異，自適應(yīng)地調(diào)整BayesShrink閾值大小，可以從整體上得到信噪比更高的恢復(fù)圖像：本文算法

25、的PSNR值比基于小波的BayesShrink閾值去噪高2.573.10dB，比基于非下采樣Contourlet的BayesShrink去噪高2.332.58dB。（）將相鄰尺度同一空間位置上的Contourlet系數(shù)相乘，使噪聲系數(shù)被抑制，信號系數(shù)被放大。再針對歸一化相鄰尺度系數(shù)積計(jì)算某一尺度下所有方向子帶的總能量與其中某一方向子帶能量的比。既考慮了變換域內(nèi)圖像系數(shù)尺度間的相關(guān)性又考慮了方向子帶的能量與子帶含有圖像輪廓細(xì)節(jié)多少的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)地調(diào)整BayesShrink閾值大小。這樣，不僅使弱的邊緣細(xì)節(jié)也能被提選出來，同時(shí)，還避免了將較大的噪聲系數(shù)誤判為圖像細(xì)節(jié)的錯(cuò)誤。從圖5中可以看到，與

26、文獻(xiàn)2和文獻(xiàn)4的去噪方法相比，本文的去噪結(jié)果保留了更多的細(xì)節(jié)信息，圖像中大多數(shù)紋理特征都表現(xiàn)出清晰的結(jié)構(gòu)，細(xì)小的紋理信息也得到了較好地恢復(fù)，如Barabara圍巾邊緣上的細(xì)紋等。而文獻(xiàn)2和文獻(xiàn)4的恢復(fù)圖像中，這些細(xì)紋信息卻在去除噪聲的同時(shí)被平滑掉了。()對含有豐富直線性特征細(xì)節(jié)的圖像，本文算法的去噪效果更顯優(yōu)勢。從表1的數(shù)據(jù)可以看出：本文算法對含有直線性特征豐富的Barbara圖像去噪后的PSNR值較含有大量點(diǎn)狀紋理特征的Lena圖像處理后的PSNR值要提高得多一些。從主觀視覺方面也能看出，圖所示的Barbara去噪后的恢復(fù)圖像中，采用本文方法得到的恢復(fù)圖像的細(xì)節(jié)最清晰，視覺效果明顯好于其他方

27、法。5 結(jié)束語非下采樣Contourlet變換是目前已知的最稀疏的一種圖像逼近方式，可以將相鄰尺度、相鄰方向間信號和噪聲的不同相關(guān)性充分表現(xiàn)出來。利用這種相關(guān)性，可以判定含噪圖像變換系數(shù)所含信息的多少，從而自適應(yīng)地調(diào)整閾值大小，實(shí)現(xiàn)噪聲與有用信號的有效分離。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法不僅有效地克服了恢復(fù)圖像中的偽吉布斯失真,而且更多地保存了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，提高了去噪圖像的PSNR值，恢復(fù)圖像的視覺效果更好。參考文獻(xiàn):1 Donoho D L. De-noising by soft-thresholding J. IEEE Trans. on Information Theory, 1995, 41

28、(3):613-627. 2 Chang S G, Yu B, Vetterli M. Adaptive wavelets thresholding for image denoising and compression J. IEEE Trans. on Image Processing, 2000, 9(9):1532-1546.3 Do M N, Vetterli M. The contourlet transform:An efficient directional multiresolution image representation J.IEEE Trans. on Image Processing, 2005,14(12) :2091-2106 .4 Cunha A L, Zhou J, Do M N. The Nonsubsampled Contourlet Transform: Theory, Design, and ApplicationsJ. IE