雙曲線知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)例題分析

1、雙曲線基本知識(shí)點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）定義第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PP第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù)，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)（）叫做雙曲線的離心率。PPPP范圍，對(duì)稱軸軸 ，軸；實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)在實(shí)軸上，；焦距：頂點(diǎn)坐標(biāo)（,0） (,0)(0, ,) (0，)離心率1)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離

2、為頂點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為焦點(diǎn)（）到準(zhǔn)線（）的距離為漸近線方程 共漸近線的雙曲線系方程（）（）直線和雙曲線的位置雙曲線與直線的位置關(guān)系：利用轉(zhuǎn)化為一元二次方程用判別式確定。二次方程二次項(xiàng)系數(shù)為零直線與漸近線平行。相交弦AB的弦長(zhǎng)通徑：補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng)（一般而言是a=b，但有些地區(qū)教材版本不同，不一定用的是a,b這兩個(gè)字母）；（2）其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=C，其中C0；（3）離心率e=2；（4）漸近線：兩條漸近線 y=±x 互相垂直；（5）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中

3、項(xiàng)；（6）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段，必被P所平分；（7）等軸雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積恒為常數(shù)a2；（8）等軸雙曲線x2-y2=C繞其中心以逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°后，可以得到XY=a2/2，其中C0。所以反比例函數(shù)y=k/x的圖像一定是等軸雙曲線。例題分析：例1、動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（） 同步練習(xí)一:如果雙曲線的漸近線方程為，則離心率為（）或例2、已知雙曲線的離心率為，則的范圍為（）同步練習(xí)二:雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為例3、設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若

4、，則的值為同步練習(xí)三:若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例4、下列各對(duì)曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是 (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1同步練習(xí)四:已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，點(diǎn)在雙曲線上且，且的面積為1，則雙曲線的方程為（）例5、與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1同步練習(xí)五:以為漸近線，一個(gè)焦點(diǎn)是F（0，2）的雙曲線方程為（ ）例6、下列方程中，以x±2y=0為漸近線的雙曲線方

5、程是 (A)同步練習(xí)六:雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)是(0，3)，那么k的值是 例7、經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的弦AB，（1）求|AB|.（2）F1是雙曲線的左焦點(diǎn)，求F1AB的周長(zhǎng)同步練習(xí)七過(guò)點(diǎn)（0，3）的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的方程。高考真題分析1.【2012高考新課標(biāo)文10】等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ） 【答案】C【命題意圖】本題主要考查拋物線的準(zhǔn)線、直線與雙曲線的位置關(guān)系，是簡(jiǎn)單題.【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為：，設(shè)等軸雙曲線方程為：，將代入等軸雙曲線方程解得=，=，=，解得=2，的實(shí)

6、軸長(zhǎng)為4，故選C.2.【2012高考山東文11】已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為 (A) (B) (C)(D)【答案】D 考點(diǎn)：圓錐曲線的性質(zhì)解析：由雙曲線離心率為2且雙曲線中a，b，c的關(guān)系可知，此題應(yīng)注意C2的焦點(diǎn)在y軸上，即（0，p/2）到直線的距離為2，可知p=8或數(shù)形結(jié)合，利用直角三角形求解。3.【2012高考全國(guó)文10】已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用，以及余弦定理的運(yùn)用。首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定

7、理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知，設(shè)，則，故，利用余弦定理可得。4.（2011年高考湖南卷文科6)設(shè)雙曲線的漸近線方程為則的值為（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。5.【2012高考遼寧文15】已知雙曲線x2 y2 =1,點(diǎn)F1,F2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若P F1P F2,則P F1+P F2的值為_.【答案】【命題意圖】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算求解能力，難度適中?！窘馕觥坑呻p曲線的方程可知【點(diǎn)評(píng)】解題時(shí)要充分利用雙曲線的定義和勾股定理，實(shí)現(xiàn)差積和的轉(zhuǎn)化。6.【2012高考江蘇8】（5分）在平面直角坐標(biāo)系中

8、，若雙曲線的離心率為，則的值為 【答案】2?！究键c(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)?！窘馕觥坑傻谩?，即，解得。課后作業(yè)1雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和慮軸長(zhǎng)分別是( )A. ，4 B.4， C.3，4 D. 2， 2雙曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線的距離等于( )A. B. C. D. 3如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為( )A. B. C. D.2 4雙曲線的漸近方程是，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸一，焦距為10，其方程為( )A. B. 或 C. D. 5雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)和右焦點(diǎn)連線的斜率是( )A. B. C. D. 6雙曲線的兩條漸近線所成的角是( )A. B. C. D. 7雙曲線與其共軛雙

9、曲線有( )A.相同的焦點(diǎn) B. 相同的準(zhǔn)線 C. 相同的漸近線 D. 相等的實(shí)軸長(zhǎng) 8已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的 （ ）A焦距為10 B實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)分別為8與6C離心率只能是或 D離心率不可能是或9等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1（4，0），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，漸近線方程是 10若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率為_11若雙曲線上的一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，則到它的右準(zhǔn)線之間的距離為 12若雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則它的兩條準(zhǔn)線之間的距離為_ 13寫出滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，雙曲線的兩條準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)這個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)：_ （2）雙曲線的漸近線方程為，兩頂點(diǎn)之間的距離為2:_ 14雙曲線的其中一條漸近線的斜率為，求此雙曲線的離心率_15已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，而B、C是雙曲線右支上的兩點(diǎn)，如果是正三角形，則的取值范圍是_ 16設(shè)圓過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是_ 17已知雙曲線上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F1的距離是它到右焦點(diǎn)距離的5倍，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為_18已知直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)A、B，過(guò)線段AB的中