第四章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)5.6

1、第四章 連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)4.1 概述連續(xù)系統(tǒng)是指質(zhì)量、彈性和阻尼等參數(shù)在定空間上連續(xù)分布的系統(tǒng)。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，需要描述過每一點(diǎn)的位置變化，它不但是時(shí)間的函數(shù)，也是空間坐標(biāo)的函數(shù)。工程中的弦、桿件、塊體都是連續(xù)系統(tǒng)，某些連續(xù)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為多自由度系統(tǒng)，但是還有很多問題是不能簡(jiǎn)化的。本章只介紹弦的橫向振動(dòng)和桿件的振動(dòng)。桿件橫向受力時(shí)叫作梁，所以桿件振動(dòng)分為桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、桿的軸向振動(dòng)和梁的振動(dòng)。主要討論連續(xù)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程、邊界值問題、在初始條件下得自由振動(dòng)響應(yīng)、強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)等。從微分方程上看，弦和桿的振動(dòng)微分方程都具有相同形式，都是二階偏微分方程，在數(shù)學(xué)上叫作波動(dòng)方程。梁的振動(dòng)相對(duì)復(fù)雜一些，是四階

2、偏微分方程。方程的求解不但要滿足初始條件，還要滿足邊界條件。4.2 弦和桿振動(dòng)微分方程4.2.1弦的橫向振動(dòng)微分方程弦和繩索是工程上和生活上常用的構(gòu)件，如懸索橋梁、懸索屋頂、輸電線及琴弦等。弦和索的質(zhì)量是連續(xù)分布的，且抗彎剛度較小，故當(dāng)其橫向振動(dòng)時(shí)可忽略彎曲剛度。設(shè)一個(gè)要張緊的弦長(zhǎng)，受橫向分布力作用，弦的單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，振動(dòng)過程張力為。為了建立微分方程，在直角坐標(biāo)系中用描述弦上距原點(diǎn)處的截面在時(shí)刻橫向位移，任取弦的一微段長(zhǎng)，其受力如圖4-1所示。圖4-1弦橫向振動(dòng)力學(xué)模型在豎直方向應(yīng)用牛頓第二定理，并考慮振動(dòng)是微小的，有，且可得： (4.1) 整理后得到： (4.2) 因?yàn)椋?(4.3) 將

3、式（4.3）代入式（4.2），可得： (4.4) 略去二階小量后，整理可得： (4.5)兩邊同時(shí)除以，得： (4.6) 當(dāng)張力為常數(shù)時(shí)，則上式可化為: (4.7) 這就是弦的橫向振動(dòng)的偏微分方程，它與波動(dòng)方程地方相同，屬于一維波動(dòng)方程。事實(shí)上，若設(shè) (4.8) 式（4.7）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： （4.9）4.2.2直桿的縱向振動(dòng)微分方程 考慮細(xì)長(zhǎng)桿的縱向振動(dòng)，作平截面假設(shè)，即在振動(dòng)過程中任一橫截面始終保持為平面，則每一橫截面內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)只沿著桿軸線方向作相等位移振動(dòng)。設(shè)桿的彈性模量為,橫截面面積為，單位長(zhǎng)度質(zhì)量為，沿軸向的外力為。振動(dòng)位移為，不計(jì)橫向變形。任取桿的一個(gè)微段畫出受力圖（4-2），其中為橫

4、截面上的軸力。圖4-2桿軸向振動(dòng)力學(xué)模型在水平方向應(yīng)用牛頓第二定理，質(zhì)量與加速度的乘積為，所以： （4.10）整理兩邊同時(shí)除以并有： （4.11）軸向應(yīng)變： （4.12） 由虎克定律有軸向應(yīng)力： （4.13）桿受軸向力： （4.14）把式(4.14)代人式（4.11）得： （4.15）對(duì)于等直桿，橫截面面積為常量，式(4.15)可寫為： （4.16）若設(shè) （4.17）式（4.16）進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： （4.18） 可見等直桿的縱向振功的運(yùn)動(dòng)微分方程與弦橫向振動(dòng)方程一樣，也是一維波動(dòng)方程。4.2.3直桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程 一根圓形橫截面的細(xì)長(zhǎng)直桿，桿的單位體積質(zhì)量為，剪切模量為G，極慣性矩為J，轉(zhuǎn)動(dòng)

5、慣量為I。假設(shè)桿在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)截面不翹曲，且始終保持繞軸作微轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖4-3（a）以表示處截面的角位移，現(xiàn)在桿上取一微段，并畫其受力圖如圖4-3（b），所示，其中是微段繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖4-3 園桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)力學(xué)模型根據(jù)動(dòng)量矩定理有： （4.19）整理后得： （4.20）由材料力學(xué)知： （4.21）把上式（4.21）代式(4.20)，得： （4.22）若假設(shè) （4.23）對(duì)于等直桿為一常數(shù)，上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為： （4.24） 弦和桿振動(dòng)微分方程可統(tǒng)一表示為： （4.25）4.3 弦和桿振動(dòng)的固有頻率和振型與多自由度系統(tǒng)一樣，固有頻率和振型與激勵(lì)無關(guān)，可用其自由振動(dòng)微分方程求解，只是對(duì)不同的問題，

6、邊界條件不同。令式（4.25）激勵(lì)為零，自由振動(dòng)微分方程為： （4.26）這類方程的經(jīng)典解法為分離變量法.設(shè)： （4.27）其中是的函數(shù)，是時(shí)間的函數(shù)。通過這個(gè)假設(shè)，兩個(gè)變量的函數(shù)變化為兩個(gè)單變量函數(shù)的乘積，所以叫分離變量法。顯然，反映了振動(dòng)過程中弦和桿的形狀，與時(shí)間無關(guān)，但應(yīng)滿足邊界條件，叫作振型函數(shù)。是振型的主坐標(biāo)。將（4.27）公共代入（4.26）可得： （4.28）整理后得： （4.29）式（4.29）左邊是時(shí)間的函數(shù)，右邊是位置的函數(shù)，欲使式(4.29)成立，則只能等于常數(shù)。我們只在振動(dòng)范圍內(nèi)討論，考慮到振動(dòng)時(shí)若頻率為，則可設(shè)該常數(shù)為，有： （4.30） （4.31）其中： （4.3

7、2）顯然，振型函數(shù)的解可表達(dá)為： （4.33）振動(dòng)過程中振型函數(shù)始終都應(yīng)該滿足邊界條件，桿的常規(guī)的邊界條件只有兩種：1 固定端 桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)角為零，弦橫向振動(dòng)和桿軸向振動(dòng)時(shí)，位移為零，即有； 從而 2 自由端 桿軸向振動(dòng)時(shí)，自由端拉應(yīng)力為零；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，扭矩為零，（弦一端自由的情況不作討論）有： ；從而 結(jié)合后只有兩端固定或一端固定一端自由這兩種情況。1 當(dāng)兩端固定時(shí)，如下圖（4-4）其邊界條件得：圖4-4兩端固定桿力學(xué)模型； （4.34）將邊界條件式（4.34）代入式（4.33）得： （4.35）為得到非零解，則只有： （4.36） 滿足該方程的解有無窮多個(gè)， （4.37） 代回式(4.3

8、3)和式（4.32）可得無窮多個(gè)固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù): （4.38） （4.39） 式(4.36)稱為頻率方程，因?yàn)轭l率是通過式（4.36）確定，所以振型函數(shù)中不需要待定常數(shù)，因此可取振型函數(shù)為： （4.40） 前三階振動(dòng)振型如圖（4-5）所示。圖4-5兩端固定桿的前三階振形我們把時(shí)的頻率稱為基頻，其它頻率為它的整數(shù)倍。【例1】：如圖4-6所示為懸索橋吊索，長(zhǎng)度為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，在B點(diǎn)測(cè)試橫向振動(dòng)加速度，經(jīng)分析后得到基頻為，試求索的張力。圖4-6懸索橋吊索解：由式（4.38）振動(dòng)頻率，將代入到式（4.38）得到： （1）則： （2）取得出索的張力： （3）2當(dāng)左端固定、右端自由時(shí)，如圖

9、4-7所示。由前面的邊界條件，得：； （4.35）圖4-7 左端固定桿模型將邊界條件代式（4.35）入式（4.33），為得到非零解，有： （4.41）頻率方程為： （4.42） （4.43）同樣可得無窮多個(gè)固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)： （4.44） （4.45）前三階振動(dòng)振型如圖（4-8）所示。圖4-8左端固定桿的前三階振形4.4 弦和桿強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)與多自由度系統(tǒng)一樣，弦和桿的振動(dòng)響應(yīng)可用數(shù)值方法求響應(yīng)，本節(jié)只介紹利用振型函數(shù)的正交性的振型疊加法。前面給出了弦和桿兩種基本邊界條件下的振形都為正弦函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的正交性各振形都是正交的。前節(jié)已經(jīng)求出了自由振動(dòng)的振型函數(shù)和頻率。與多自由度振動(dòng)疊加

10、法思路相同。設(shè)振型函數(shù)和相應(yīng)的主坐標(biāo)，則第主振動(dòng)為: （4.46）振動(dòng)響應(yīng)為全部解的疊加： （4.47）只是對(duì)應(yīng)不同邊界條件，不同。實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般取有限項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)的多少根據(jù)關(guān)心的振動(dòng)頻率范圍定。下面以弦的橫向振動(dòng)為例介紹，根據(jù)前面式（4.7）已經(jīng)求得振動(dòng)微分方程為：將式（4.47）代入式（4.7），得： （4.48）兩邊乘以，并從0到對(duì)弦長(zhǎng)進(jìn)行積分，（4.49）應(yīng)用三角函數(shù)正交性： 當(dāng) 當(dāng)?shù)仁匠说囊豁?xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零，整理后可得： （4.50）上式為個(gè)獨(dú)立的二階微分方程，相當(dāng)于個(gè)單自由度系統(tǒng)。若弦的初始位移為： （4.51）初始速度為： （4.52）令 （4.53） （4.54）兩邊乘以，

11、并從0到對(duì)進(jìn)行積分，應(yīng)用三角函數(shù)正交性整理后可得： （4.55） （4.56） 將轉(zhuǎn)化后的邊界條件式（4.55）和式（4.56）代入式（4.50），可求出各，代回式（4.46）可得弦橫向振動(dòng)響應(yīng)?！纠?】 假設(shè)一根兩端固定的弦如圖4-9所示，其初始條件為： （1）圖4-9 兩端固定弦模型求其自由振動(dòng)的響應(yīng)。解：其振型函數(shù)：， （2）其中， （3） 解式（4.50）得：， （4）將初始條件（1）代入式（4.49）和式（4.50）得到主坐標(biāo)的初始條件： （5） （6） 代入方程（4），得到： （7）代入式（4.46）從而得到弦自由振動(dòng)的響應(yīng)為： （8）4.5梁的橫向振動(dòng)梁在工程中應(yīng)用很廣泛，如房屋

12、結(jié)構(gòu)中的主梁、次梁、鐵道軌道結(jié)構(gòu)中的鋼軌、枕木、橋梁等，梁在垂直其軸線方向發(fā)生振動(dòng)，這種振動(dòng)稱為梁的橫向振動(dòng)或梁的彎曲振動(dòng)。對(duì)于梁在承受橫向載荷時(shí)，除主要變形為彎曲變形外，還存在著剪切變形，同時(shí)當(dāng)梁的高跨比大時(shí)，或在分析高階振型時(shí)，整個(gè)梁被節(jié)點(diǎn)平面分成若干比較短的小段，此時(shí)，這種剪切變形的影響是不可忽視的，另外還必須考慮梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 本文忽略梁的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，關(guān)于這兩部分內(nèi)容參見其他振動(dòng)理論文獻(xiàn)。圖4-10 梁彎曲振動(dòng)模型設(shè)等截面梁長(zhǎng)為，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量及抗彎剛度EI，建立如圖4-10所示的坐標(biāo)系。現(xiàn)在梁上距左端處取微段，其中表示梁在任意瞬時(shí)的橫向位移，是單位梁上分布的外力，是單位長(zhǎng)梁上

13、分布的力矩。為截面所受剪力其受力圖，如圖4-11所示。圖4-11梁微單元受力圖在垂直方向上用牛頓第二定律，得到： (4.57)整理可得： (4.58)并忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，各力對(duì)右截面上任一點(diǎn)取矩，合力矩應(yīng)為零，有： (4.59)整理，并略去二階微量，有： (4.60)另外，由材料力學(xué)知，彎矩與撓曲的關(guān)系為： （4.61）將式(4.60)和式(4.61)代人式(4.58)中得： （4.62）上式就是梁橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)于等直梁,為常量,上式可簡(jiǎn)化為： （4.63）4.6 固有頻率和振型4.6.1 梁的自由振動(dòng)固有頻率和振型函數(shù)是梁振動(dòng)的重要特征，可通過自由振動(dòng)分析得到。當(dāng)梁自由振動(dòng)時(shí)，

14、是一個(gè)四階偏微分方程，其運(yùn)動(dòng)微分方程為： （4.64）仍采用分離變量法求解，即式(4.64)的解有下列形式： （4.65）其中只與位置有關(guān)，是梁振動(dòng)振型函數(shù)，是振型的主坐標(biāo)。將式(4.65)代人方程(4.64)中，得： （4.66）要使左端與右端相等，兩者應(yīng)等于同一常數(shù)。只在振動(dòng)范圍內(nèi)討論，考慮到振動(dòng)時(shí)有 （4.67）所以取這常數(shù)為，從而: （4.68）其中: （4.69）方程式(4.68)是一個(gè)四階常系數(shù)線性微分方程，設(shè)其解為它的特征方程是： （4.70）其特征值為： （4.71）所以方程式（4.68）的通解為： （4.72）或表示為： （4.73）其中: 特征值及振型函數(shù)由梁的邊界條件來確

15、定，對(duì)于梁的橫向振動(dòng)，基本的邊界條件有以下三種。（1）固定端 固定端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即 （4.74）（2）鉸支端 鉸支端的撓度與彎矩都為零，即 （4.75）（3）自由端 自由端的彎矩與剪力都為零，即 （4.76） 實(shí)際上在振動(dòng)過程中任意時(shí)刻邊界條件都應(yīng)滿足，所以滿足也就意味著滿足，也就使說振型函數(shù)應(yīng)該滿足邊界條件。和桿、弦振動(dòng)一樣，根據(jù)邊界條件可確定梁的無限多個(gè)固有頻率和相應(yīng)的振型函數(shù)，不同的邊界條件有不同的固有頻率和振型。4.6.2 固有頻率與振型函數(shù)下面先討論常見的幾種梁的邊界條件：（1） 簡(jiǎn)支梁圖4-12 簡(jiǎn)支梁模型簡(jiǎn)支梁的邊界條件可知，鉸支端的撓度與彎矩都為零，固定端的撓度和彎矩都

16、為零，所以有： （4.77）和 （4.78）由于： （4.79） （4.80）將式（4.77）分別代入式（4.79）、式（4.80）有： （4.81）式（4.81）中兩式相加、兩式相減，得到： （4.82）將式（4.78）分別代入式（4.79）、式（4.80）有： （4.83）兩式相加，因?yàn)闀r(shí)，故得： （4.84）兩式相減，又因?yàn)檎裥秃瘮?shù)非零解即，于是得到頻率方程為： （4.85）由此可得特征根為：， （4.86）因，所以系統(tǒng)的固有頻率為：， （4.87）相應(yīng)的振型函數(shù)為：， （4.88）前三階振型圖形如下圖所示：圖4-13 簡(jiǎn)支梁前三階振形（2） 固支梁圖4-14 兩端固支梁由固支梁的邊界條

17、件（4.74）可推知（兩端位移和轉(zhuǎn)角為零） （4.89） （4.90）將式（4.89）分別代入式（4.79）和式（4.86） （4.79） （4.91）有： （4.92）故有： （4.93）將式（4.90）分別代入（4.79）和式（4.91），有： （4.94）要使、有非零解，上式的系數(shù)行列式必須為零，即 （4.95）展開上式，并因?yàn)?（4.96）式（4.96）可簡(jiǎn)化為： （4.97）式（4.97）即為振動(dòng)的頻率方程。用數(shù)值解法可以求得系列值()，梁的各個(gè)固有頻率相應(yīng)地為：， （4.98）求得各特征根后，由式(4.94)可確定系數(shù)與的比值。 （4.99）故與相應(yīng)的各振型函數(shù)可取為： （4.10

18、0）其中前3階振型函數(shù)示于圖4-15中圖 4-15固支梁前三階振形以上討論了兩種基本邊界梁的固有頻率和振型函數(shù)，對(duì)于其它形式的梁的討論方法相同。4.6.3 振型函數(shù)的正交性在前章中我們討論過多自由度系統(tǒng)及其振型的正交性，正交性是模態(tài)分析法的基礎(chǔ)。彈性體振動(dòng)具有類似的特性。從前面的討論中可以看到，一些簡(jiǎn)單情形下的振型函數(shù)是三角函數(shù)，它們的正交性是比較熟悉的，如前面講到的桿、弦振動(dòng)振型的正交性；而在梁的振型函數(shù)還包含有雙曲函數(shù)它們的正交性待進(jìn)一步說明。下面我們僅就梁的彎曲振動(dòng)的振型函數(shù)論證其正交性。在討論正交性時(shí)，不必涉及振型函數(shù)的具體形式。由將式（4.69）代入式（4.68），化簡(jiǎn)可得： （4.

19、101）對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)不同的固有頻率或的振型函數(shù)分別為與，它們都滿足式（4.101），代入于是有： （4.102） （4.103）式(4.102)乘以，然后在對(duì)進(jìn)行積分，得： （4.104）利用分部積分法對(duì)上式（4.104）左邊進(jìn)行分部積分，得到： (4.105)梁一般只有三種基本邊界條件，固支、簡(jiǎn)支和自由，的邊界條件。如果梁端為固支端則位移和轉(zhuǎn)角為零: (4.106)若為鉸支端則位移的彎矩為零： (4.107)若為自由端則彎矩和剪力為零： (4.108)所以對(duì)于基本邊界條件式(4.105)左邊前三項(xiàng)均為零： （4.109）同理，再對(duì)式(4.103)乘以，然后在對(duì)進(jìn)行積分，得 （4.110）由

20、式(4.109)與式(4.110)相減，可得： （4.111）當(dāng)，所以有： （4.112）從而式（4.109）和式（4.110）兩式左邊也可得： （4.113）由此可見，梁彎曲振動(dòng)振型函數(shù)關(guān)于質(zhì)量和剛度正交性，實(shí)際上是振型函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所具有的正交性。當(dāng)時(shí)，可記為下列積分： （4.114）稱為第階振型的廣義質(zhì)量，稱為第階振型的廣義剛度。由式(4.109)不難看到，有 （4.115）如果主振型中的常數(shù)按照下列歸一化條件來確定： （4.116）則得到的主振型為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第階主剛度等于，這時(shí)式（4.110）可寫為 1， =0， （4.117）由式（4.117）結(jié)合式（4.114）得到： （

21、4.118） （4.119）4.7 梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)(振型疊加法)借助振型函數(shù)的正交性，可以使描述連續(xù)系統(tǒng)的偏微分方程解耦成一系列的單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程，求出這些響應(yīng)后疊加起來，就得到系統(tǒng)的全部響應(yīng)，即為振型疊加法。由前述式（4.63）梁的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)方程為： （4.63）將梁的撓度按振型展開為如下的無窮級(jí)數(shù)： （4.120）其中是振型函數(shù)，是相應(yīng)的主坐標(biāo)，將式（4.120）代入式（4.63）得： （4.121）兩邊乘以并延梁長(zhǎng)對(duì)積分，則得： （4.122）根據(jù)式（4.114）將上式改寫為： （4.123）則（4.123）為第個(gè)振動(dòng)坐標(biāo)方程，式第個(gè)主坐標(biāo)的廣義力其中： （4.124）假定梁的初

22、始條件為： （4.125）將式（4.120）代入（4.125）則得： （4.126） （4.127）上面兩式乘以并沿梁長(zhǎng)對(duì)積分： （4.128） （4.129）由振型正交性可得： （4.130） （4.131）上式為第個(gè)主坐標(biāo)的初始條件，式（4.123）對(duì)應(yīng)的齊次方程通解為： （4.132） 其特解可由杜哈梅積分寫出： （4.133）于是式（4.123）的通解為： （4.134）將初始條件代入式（4.134）后，可確定待定常數(shù)、，然后將求得到的各個(gè)主坐標(biāo)響應(yīng)代入式（4.120），就得到梁在初始條件下對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。 例題 設(shè)簡(jiǎn)支梁如圖4-19所示，梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量為，抗彎剛度為EI，設(shè)梁上荷載

23、以等速向右運(yùn)動(dòng)，求梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖 4-17 移動(dòng)荷載作用下梁力學(xué)模型解：將坐標(biāo)原點(diǎn)放在左支座處A點(diǎn)，用描述梁振動(dòng)的位移，則梁的振動(dòng)微分方程為： 其振型函數(shù)為：將上式代入式（4.124）得：從而由式（4.133）得到其穩(wěn)態(tài)相應(yīng)： 則： 建立坐標(biāo)系如圖所示，對(duì)應(yīng)于梁的零初始條件，故系統(tǒng)的響應(yīng)為： 若令題中的速度為零，則得到梁在定點(diǎn)激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)。4.8彈性地基梁振動(dòng)4.8.1自由振動(dòng)方程彈性地基梁在土木工程中有著廣泛的應(yīng)用,如隧道底板建筑結(jié)構(gòu)底板、地下結(jié)構(gòu)框架等。彈性地基梁力學(xué)模型如圖4-17所示，地基對(duì)梁的彈性作用簡(jiǎn)化為分布彈簧 ，阻尼被忽略。其中為梁的單位長(zhǎng)質(zhì)量， 為梁的搞彎剛度。 圖 4-17 彈性地基梁力學(xué)模型