房價問題數(shù)學(xué)建模論文

1、裝 訂 線第九屆西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽暨全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽選拔賽題目B題密封號2011年5月3日剪 切 線密封號2011年5月3日 理 學(xué)院 第 019 隊隊員1隊員2隊員3姓名童輝王旭東歐陽冰嬌班級110110021101100212031001房價問題的數(shù)學(xué)模型摘 要房價問題事關(guān)國計民生，對國家經(jīng)濟發(fā)展和社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關(guān)注的問題。經(jīng)過剖析我們將問題細化為以下四個方面：1.房價合理性2.未來走勢預(yù)測3.具體措施4.對經(jīng)濟的影響。針對問題一，我們通過研究城市房價合理性模型，找出了判斷房價合理性的標(biāo)準，同時擬出了同一地區(qū)成本、銷售面積、人均GDP之間的關(guān)系。在解決這

2、一問題時，我們采用了多元線性回歸模型對相關(guān)變量進行了分析與處理，最終確定了判斷房價合理性的標(biāo)準。對于問題二，我們通過分析確定了可以利用灰色模型來進行求解。通過確定變量，建立模型，最終我們通過預(yù)測得到了北京市接下來四年的房價（元/平方米）數(shù)據(jù)：2011201220132014北京23418.343530813.736637824.634146430.6864西安6571.560347578.938688831.9265710292.06464第三問中，我們通過分析確定了使得房價合理的幾種具體措施，包括防止炒房，提高居民購買力，減少土地價格。為了得到最有效的措施，我們通過層次分析模型對各種具體措施

3、對房價合理性的影響的權(quán)重系數(shù)進行了求解，比較各個系數(shù)大小，最終得出最有效的措施為防止炒房。針對第四問，我們通過對北京地區(qū)房價，土地交易價格指數(shù)的分析，找出相關(guān)數(shù)據(jù)，利用matlab軟件進行擬合，得到土地交易價格指數(shù)與房價的關(guān)系圖。并在結(jié)果分析中做出了具體而詳實的分析,使它們之間的關(guān)系更為明晰。關(guān)鍵字：房價 多元線性回歸 灰色模型 層次分析 一、問題重述房價問題事關(guān)國計民生，對國家經(jīng)濟發(fā)展和社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關(guān)注的問題。我國自從取消福利分房制度以來，隨著房價的不斷飆升，房價問題已經(jīng)成為全民關(guān)注的焦點議題之一，從國家領(lǐng)導(dǎo)人、地方政府官員，到開發(fā)商、專家學(xué)者、普通百姓通過各種媒體

4、表達各種觀點，但對于房價是否合理、未來房價的走勢等關(guān)鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認識。請根據(jù)中國國情，收集建筑成本、居民收入等與房價密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，選取我國具有代表性的幾類城市對房價的合理性及房價的未來走勢等問題進行定量分析；根據(jù)分析結(jié)果，進一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進行定量分析。二、問題分析通過對題目的分析，我們總結(jié)出有四個問題需要解決。l 對我國具有代表性的幾類城市房價的合理性進行定量分析；l 對這些城市的房價的未來走勢進行定量分析；l 探討使得房價合理的具體措施；l 探討問題三中的具體措施可能對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進行定量分析。問題一分析本問是要求我

5、們通過查詢并分析與房價密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，判斷房價的合理性。考慮到不同城市可能有不同的結(jié)果，我們選取了一線城市北京和二線城市西安。我們想通過房地產(chǎn)賣房子的利潤與人均GDP的比值來反映房價的合理性。如果該比值隨年份上升趨勢較緩，表明房價的上漲在居民的承受范圍內(nèi)，房價比較合理。如果該比值隨年份上升趨勢較陡，表明房價的上漲不符合人均GDP的上漲，超出了居民的承受范圍，房價不合理。問題二分析本問是對房價的走勢進行估計和預(yù)測。房地產(chǎn)價格的高低涉及社會生活中多方面的經(jīng)濟利益，也是百姓生活中關(guān)注比較多、比較重要的問題之一。較為準確的預(yù)測未來房地產(chǎn)的銷售價格，對社會經(jīng)濟發(fā)展和人民生活極其重要，可以為經(jīng)濟決策提供參

6、考，故其研究意義重大。首先，根據(jù)題目顯示，我們需要確定視具體研究那一座城市的房價情況，然后再繼續(xù)考慮接下來的數(shù)據(jù)挖掘步驟。針對本問，我們一定要具備的資料就是該城市的歷年房價的真實數(shù)據(jù)，從而才能真正意義上的通過建立模型、求解，擬算出下一階段的房價走勢。經(jīng)分析可知，本問要用到相關(guān)的數(shù)據(jù)模型為灰色模型，據(jù)大量學(xué)者的經(jīng)驗表明，該預(yù)測模型的算法可以提高預(yù)測的精度。問題三分析本問主要研究對于房價所應(yīng)該采取的措施。我們都知道，房價是現(xiàn)在國家管理的一個重要難題，國家必須通過一點的措施來抑制住房價的過快增長。通過對一些數(shù)據(jù)的了解，我們可以了解到主要可以通過以下幾個方面來進行，如優(yōu)化供需關(guān)系，嚴格限制國家內(nèi)的炒房

7、熱，減少土地價格以及提高人民群眾的購買力。通過了解以上因素，我們可以建立相應(yīng)的層次模型，來通過各個因素的加權(quán)數(shù)了解各個因素對房價影響的比重，以此來得出國家應(yīng)該采取的正確措施抑制國家房價的過快增長。從而達到更加合理的政策和更加有效的措施。問題四分析本問主要研究采取的措施對經(jīng)濟發(fā)展的影響，即房價的變化對經(jīng)濟發(fā)展的影響?？紤]到經(jīng)濟發(fā)展是多方面、多層次的，我們選擇經(jīng)濟發(fā)展中的某一具體方面（土地交易價格指數(shù)）來定量分析，通過土地交易價格指數(shù)的變化來反映經(jīng)濟發(fā)展的變化。為此，我們可以調(diào)查2003-2010年北京的房價和土地交易價格指數(shù)，并建立北京房價和土地交易價格指數(shù)與年份的模型，然后得到北京房價和交易價

8、格指數(shù)的關(guān)系，也就得到了房價變化對經(jīng)濟發(fā)展的影響。三、模型建立與求解3-1-1：問題1的模型假設(shè)與符號說明假設(shè)：假設(shè)1：房地產(chǎn)每年的銷售面積為一個定值。假設(shè)2：不考慮市場供需對房價的影響，只考慮人均GDP和成本對房價的影響。假設(shè)3：近五年的成本為一個定值，且北京與西安的成本相等。假設(shè)4；不考慮房地產(chǎn)未賣出的房子，即房地產(chǎn)的虧損。符號說明：P：利潤（元）A：房價（元/平方米）B：成本（元/平方米）N：銷售面積（平方米）G：人均GDP（元）3-1-2：問題1的模型建立與求解。通過分析我們了解到：要判斷房價的合理性，就要了解房價與人均GDP的關(guān)系，考慮到不同城市可能有不同的結(jié)果，我們選取了一線城市北

9、京和二線城市西安，并且調(diào)查了近五年北京和西安的房價以及人均GDP。首先來求房地產(chǎn)的利潤，P=（A-B）*N,我們用y來表示房地產(chǎn)的利潤與人均GDP的比值關(guān)系，即y=P/G。我們用x表示年份，x【2006 2007 2008 2009 2010】，并建立了表格如下：年份20062007200820092010GDP（元）5046756044630296878876544房價（元）1032311377132221505022310Y0.1154*N0.1227*N0.1384*N0.1534*N0.2327*N“北京市2006-10年GDP、房價和年份的關(guān)系”年份20062007200820092

10、010GDP（元）1615921017257033237034099房價（元）30893599403250025398Y0.0055*N0.0285*N0.0402*N0.0618*N0.0703*N“西安市2006-10年GDP、房價和年份的關(guān)系”根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們擬合出y-x的變量曲線西安Y與年份的關(guān)系北京Y與年份的關(guān)系 我們先分析北京，通過圖像可知06-09年曲線上升趨勢較緩，而2010年上升趨勢較陡，根據(jù)擬合函數(shù)可以得出在2011年的y/N值為0.1718。顯而易見2010所得數(shù)據(jù)為0.2327和所預(yù)測的數(shù)據(jù)差別比較大，根據(jù)函數(shù)和數(shù)據(jù)的綜合了解，從而可以從整體上得出北京的房價在09年及以

11、前的上升趨勢比較具有合理性，而09-10年的房價有了一個很大的提升，如果政府和人民不采取正確的措施，可以預(yù)測出北京房價會有更大的提升。從而導(dǎo)致出更加不 合理的房價。我們再分析西安，通過圖像可知06-10年整體呈平穩(wěn)的上升趨勢，根據(jù)擬合函數(shù)可以得出在2011年y/N的值為0.1102，與圖像所得數(shù)據(jù)相差不大。從圖像和數(shù)據(jù)的綜合考慮，得出西安市的房價的整體變化趨勢具有較強的穩(wěn)定性，這是比較合理的房價發(fā)展趨勢。結(jié)果分析：通過對假設(shè)的實際驗證，我們確定了判斷房價合理性的標(biāo)準，即（銷售價-成本）*銷售額/人均GDP售價與成本的差值乘以銷售額在不考慮其他因素的情況下即為商家所獲利潤也就是從買家那賺的錢，人

12、均GDP反應(yīng)了某一地區(qū)的平均經(jīng)濟實力。其比值越大，說明商家所獲利潤越高而人們的經(jīng)濟實力越低，這就表明房價明顯超出了人們經(jīng)濟承受能力，故房價越不合理。比值的增長趨勢越陡，表明房價的增長越脫離人們經(jīng)濟實力的增長，因此房價的增長越不合理。綜上所述，基本可以判定我們得出的西安房價是合理增長而北京房價不合理增長的結(jié)論是可靠的3-2-1：問題二的模型假設(shè)與符號說明假設(shè)：假設(shè)1：選取的數(shù)據(jù)是北京市2003-2010年房產(chǎn)的完全均價；假設(shè)2：所取數(shù)據(jù)不考慮政策等各種人為因素的干擾；假設(shè)3：數(shù)據(jù)的波動屬于合理的范圍內(nèi)；假設(shè)4：“信息不完全”是絕對的。符號說明：a:待估參數(shù)向量；x0：原始數(shù)據(jù)序；x1：x0的生成

13、數(shù)據(jù)序列；z1：x1的緊鄰均值生成；X1：x1的模擬值序列；X0：為x0的模擬值序列；|s|：x的灰色關(guān)聯(lián)度；|S|：X的灰色關(guān)聯(lián)度；：小誤差概率； 3-2-2：問題二的模型的建立與求解。首先，我們找到了03-10年的北京房產(chǎn)均價數(shù)據(jù)，如下圖表：年份房價（元/平方米）年份房價（元/平方米）200353002007113772004668320081322220056776200915050200610323201022310“北京市2003-10年房價表”下面我們來建立GM(1,1)模型我們可以記原始數(shù)據(jù)序列x0為：x0=x0(1),x0(2),x0(3),x0(8)= (5300, 6683

14、, 6776, 10323, 11377, 13222, 15050, 22310)其相應(yīng)的生成的數(shù)據(jù)序列為：x1=x1(1),x1(2),x1(3),x1(8)= (5300, 11983, 18759, 29082, 40429, 53681, 68731, 91041)Z1為x1的緊鄰均值生成序列：Z1=z1(1),z1(2),z1(8)其中：z1(k)=0.5x1(k)+0.5x1(k-1),k=1,2,nZ1= (5300, 8641.5, 15371, 23920.5, 34770.5, 47070, 61206, 79886)于是有: 接下來，我們就可以確定模型：x1/t+0.2

15、05x1=4299.0以及時間響應(yīng)式：X1（k+1）=（x0（1）-b/a）e a k +b/a=26270.73171*e0.205k-20970.73171那么可以求出x1的模擬值X1=（5300，14134.86299，23753.52912，34225.53508，45626.58670，58039.10618，71552.82797，86265.44753）還原x0的模擬值，由X0(k+1)=X1(k+1)-X1(k)得：=（1+|s|+|S|）/（1+|s|+|S|+|s-S|）=(5300, 8834.86299, 9618.66613, 10472.00596 , 11401.

16、05162 ,12412.51958 , 13513.72179 , 14712.61956)e0=x1-X0=(0,3148.13701,9140.33387,18609.99404,29057.94838,41268.4042,55217.27821,76328.38044)下面求x0的標(biāo)準差s1和e0的標(biāo)準差s2.根據(jù)指標(biāo)臨界值精度表，c=0.2070.35,表明所建立的模型精度為一級，可以用X1（k+1）=26270.73171*e0.205k-20970.73171，進行預(yù)測。到此模型已建立完成。那么未來幾年的房價可以這樣預(yù)測：當(dāng)k=7時，X1（k+1）=114459.3435元,x

17、0(k+1)=23418.3435元；當(dāng)k=8時，X1（k+1）=145273.0801元,x0(k+1)=30813.7366元；當(dāng)k=9時，X1（k+1）=183097.7142元,x0(k+1)=37824.6341元；當(dāng)k=10時，X1（k+1）=229528.4006元,x0(k+1)=46430.6864元。總結(jié)可得：2011年房價為23418.3435元/平方米；2012年房價為30813.7366元/平方米；2013年房價為37824.6341元/平方米；2014年房價為46430.6864元/平方米。接著，我們又找到了03-10年的西安房產(chǎn)均價數(shù)據(jù)，如下圖表：年份房價（元/平

18、方米）年份房價（元/平方米）2003176920073599200418002008403220052871200950022006308920105398“西安房價隨時間變化的表格”與預(yù)測北京未來幾年的房價一樣，我們可以記原始數(shù)據(jù)序列x0為：x0=x0(1),x0(2),x0(3),x0(8)=(1769，1800，2871，3089，3599，4032，5002，5398)其相應(yīng)的生成的數(shù)據(jù)序列為：x1=x1(1),x1(2),x1(3),x1(8)=(1769，3569，6440，9529，13128，17160，22162，27560)Z1為x1的緊鄰均值生成序列：Z1=z1(1),z

19、1(2),z1(8)其中：z1(k)=0.5x1(k)+0.5x1(k-1),k=1,2,nZ1=(1769，2669，5004.5，7984.5，11382.5，15144，19661，24861)于是有： 接下來，我們就可以確定模型：x1/t-0.153x1=1791.8以及時間響應(yīng)式：X1（k+1）=（x0（1）-b/a）e a k +b/a=13480.11111*e0.153k-11711.11111那么未來幾年的房價可以這樣預(yù)測：當(dāng)k=7時，X0（k+1）=34131.56032元，x0(k+1)=6571.56034元；當(dāng)k=8時，X0（k+1）=41710.49901元，x0(

20、k+1)=7578.93868元；當(dāng)k=9時，X0（k+1）=50542.42558元，x0(k+1)=8831.92657元；當(dāng)k=10時，X0（k+1）=60834.49022元, x0(k+1)=10292.06464元?？偨Y(jié)可得：2011年房價為6571.56034元/平方米；2012年房價為7578.93868元/平方米；2013年房價為8831.92657元/平方米；2014年房價為10292.06464元/平方米。結(jié)果分析：中國社會的高速發(fā)展，社會財富的迅猛增加，在中國高速發(fā)展的大背景下，導(dǎo)致房價在長期趨勢中的單邊上升是必然的趨勢，道理很簡單，社會財富以每年10%左右的速度增加，

21、單位貨幣就以相同的速度縮水，以該貨幣標(biāo)價的房價自然應(yīng)該上漲。然后國家對貨幣投放量的增加，使社會資金供應(yīng)十分充裕，這就直接導(dǎo)致了房價的上漲。前幾年國家各種鼓勵投資和消費政策出臺，包括二手房的稅收優(yōu)惠，大力支持房貸，甚至對于按揭降低首付款比例、降低利率，這一切都引導(dǎo)著資金流向房地產(chǎn)?？v觀近幾年房價的趨勢，2009年北京、西安地區(qū)總發(fā)展速度高于2008年，2010年北京、西安地區(qū)的各項經(jīng)濟指標(biāo)仍高于2009年，因此上升的大體方向是不變的。但國家經(jīng)濟，近來已減少了貨幣的投放量，取消了對二手房稅收的優(yōu)惠，在一定程度上抑制了炒房，從而抑制了房價上漲速度。從上面的分析我們可以確定的看出，以后幾年北京、西安的

22、房價已讓存在上漲空間，但上漲速度將會變緩。到此，我們可以肯定在本題通過我們模型的建立的求解所預(yù)測的北京與西安未來四年房價走勢是合理的。3-3-1：問題3的模型假設(shè)與符號說明假設(shè)：假設(shè)1：城市封閉，不與外界發(fā)生交流；假設(shè)2：不考慮各個地區(qū)的不同土地價格；符號說明：max：最大特征值；CI：一致性指標(biāo)；CR：一致性比率；W：特征向量；Y：權(quán)重值3-3-2：問題3的模型的建立與求解(1)建立層次模型如下：(2)構(gòu)建判斷矩陣，求出最大特征值、一致性指標(biāo)和隨機一致性比率。O-C判斷矩陣：OC1C2C3WC1C2C31531/511/31/3310.1060.6330.261計算得出最大特征值為max=3

23、.308，一致性指標(biāo)為CI=(3.038-3)/(3-1)=0.019得出一致性比率為CR=0.019/0.58=0.0330.1,因此通過一致性檢驗，可作為一個權(quán)值。C1-P判斷矩陣：C1P2P3WP2P3151/510.1670.833計算得出最大特征值為max=2，CI=0,顯然通過了一致性檢驗。C2-P判斷矩陣：C2P1P3WP1P3131/310.250.75計算得最大特征值為max=2，CI=0,可知其通過一致性檢驗。C3-P判斷矩陣：C3P1P2WP1P211/2210.6670.333計算得最大特征值max=2,CI=0,通過。（3）各方案隊總目標(biāo)的層次總排序：C PC10.1

24、06C20.633C30.261YP10.66700.250.1360P20.3330.16700.1410P300.8330.750.7230 結(jié)果分析：從上面的分析結(jié)果可得：在簡單的探究了幾種對房價合理性進行優(yōu)化的方案中，防止炒房行為的總權(quán)重最大為0.7230，減少土地價格的總權(quán)重為0.1360，提高居民購買力為0.1410。這與我們?nèi)粘８惺芤不痉?，所以國家?yīng)在防止炒房上多下功夫，這其中包括了頒布限購限貸政策，對房貸利率進行合理化改進等，這樣才可以更加合理的抑制住房價。但要想很好的控制住房價，不僅這三個方面，還是有很多方面需要我們認真去考慮斟酌的。 3-4-1：問題4的模型假設(shè)與符號說

25、明假設(shè)：假設(shè)1：在同一地區(qū)房價為銷售均價，沒有街道區(qū)域差異；假設(shè)2：在同一地區(qū)土地交易價格指數(shù)不受其它因素影響，以均值計算。 符號說明：X：房價Y：土地交易價格指數(shù)3-4-2：問題4的模型建立1、根據(jù)題目要求，我們首先找到以下數(shù)據(jù)：年份房價（元）土地交易價格指數(shù)20035300100.620046683102.520056776103.8200610323105.3200711377109.4200813222111.6200915050114.7201022310117.5北京房價與年份根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們擬出的變動曲線和北京的土地交易價格指數(shù)與年份的變動曲線，如下:房價與年份土地交易價格指數(shù)與房價2、由以上數(shù)據(jù)，我們利用matlab軟件對其兩兩進行擬合，找出土地交易價格指數(shù)與房價的關(guān)系。以上數(shù)據(jù)我們可以分別作線性擬合，即對多項式：進行擬合。土地交易價格指數(shù)與年份3-4-3：問題4的模型求解據(jù)以上式子和數(shù)據(jù)，并經(jīng)過多次擬合后，最終得出土地交易價格指數(shù)與房價的關(guān)系，其結(jié)果如下：結(jié)果分析：通過對問題4中的各項數(shù)據(jù)的多次擬合，我們得到了一個不太穩(wěn)定的線性關(guān)系，但整體上走勢還是正相關(guān)。如果房價不能得到有效地控制，瘋狂的上漲，這可能會導(dǎo)致土地交易價格指數(shù)的上漲。而土地交易價格指數(shù)反映的是地價在時間上的平均變動和綜合變動方向及其程度的相