[VIP專享]第十二章

1、2012高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1課導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1. 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等);2. 掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念；3. 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；4. 掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 ；1 .一物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s 1 t t 2, s的單位是 m, t的單位是s ,該物體在3秒末的瞬時(shí)速度是5m / s。5. 在函數(shù)y x3 8x的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是43 .已知 y sin x , x (,),則當(dāng) y'2 時(shí)，x 2。1 cos

2、x3 .4 .已知 f ( x) a x xa ,則 f (1) a In a a 2。5 .已知兩曲線 yx3 ax和y x2 bx c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P ( 1,2 )，且在點(diǎn)P處有公切線，試求 a,b,c 值。例2 .如果曲線y x3 x 10的某一切線與直線y 4x 3平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.分析：本題重在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y f ( x)在給定點(diǎn) P( xo , f (xo )處的切線的斜率k f (xo )，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡(jiǎn)單了。解：切線與直線y 4x 3平行，斜率為4又切線在點(diǎn)xo的斜率為yx xo(x3x1o) |xx3xo2 1o3x。21 4 xo1xo

3、1或xo1yo8yo12二切點(diǎn)為(1,-8 )或(-1 ,-12)切線方程為y84( x1)或y124(x1)即y4x 12 或 y 4x 8點(diǎn)評(píng)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義揭示了導(dǎo)數(shù)知識(shí)與平面解析幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)能解決許多曲線的切線問(wèn)題，其中尋找切點(diǎn)是很關(guān)鍵的地方。變題：求曲線 y 2x x3的過(guò)點(diǎn) A(1,1)的切線方程。答案：x y 20,5 x 4 y 10點(diǎn)評(píng)：本題中“過(guò)點(diǎn)A(1,1)的切線”與“在點(diǎn)A(1,1)的切線”的含義是不同的，后者是以A為切點(diǎn)，只有一條切線，而前者不一定以A為切點(diǎn)，切線也不一定只有一條，所以要先設(shè)切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再解決問(wèn)題。第2課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 A【

4、考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2 .結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的極大(小)值、最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；會(huì)求簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)的極大 (小)值，以及在指定區(qū)間上的最大(小)值?！净A(chǔ)練習(xí)】1 .若函數(shù) f ( X)mx n是R上的單調(diào)函數(shù)，則m,n應(yīng)滿足的條件是m 0, n R 。2 .函數(shù) 2 33 2125在0，3上的最大值、最小值分別是5，- 15y x x x1 (4 .函數(shù)f ( x) sin x x,( x 0, 2 )的最大值是，最小值是 0。2 5 .函數(shù)f ( x) x2 ex的單調(diào)遞增區(qū)

5、間是 (- X ,-2)與(0,+ X) ?！痉独龑?dǎo)析】例1. f ( x)x3 3x2 2在區(qū)間 1,1上的最大值是 一2解：當(dāng)-1 x 0 時(shí)，f(X)0，當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f ( x) 0,0的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)還取決與該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)f (x)x3所以當(dāng)x = 0時(shí)，f ( x)取得最大值為 2。 點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)求極值或最值時(shí)要掌握一般方法，導(dǎo)數(shù)為 為0的點(diǎn)未必都是極值點(diǎn)，如：函數(shù)例2 .求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間：(1) y f (x)x31 x2 2x 5(3) y k 2 x (k 0)x(4) y 2x 2 in x解：(1) V y3x2x 2(3x2)( x 1) x(,2 )

6、(1 ,)時(shí)y03/ 22、2八x (,1) y0(,=)，(1, )(,1)333x21(2) yx 2-(,0),(0,)(3) y 1 x (,k )(k ,) y0 , x ( k , 0) ( 0 , k) y0x 2二(,k) , (k ,)(k , 0)，(0 , k )/c 1/ 1(4) y 4 x 14 x2 1 定義域?yàn)?0,)x(0,) y0x (xx22點(diǎn)評(píng)：熟練掌握單調(diào)性的求法，函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)的極值、最值問(wèn)題的基礎(chǔ)f(x)的極值。例3.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1. (i)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(u)討論0, X2a 1。解：由已

7、知得 f ( X)6x x ( a 1)，令f (x)0，解得1)上單調(diào)遞增;(i)當(dāng) a 1 時(shí)，f ( x) 6x2 , f ( x)在(當(dāng)a 1時(shí)，f ( x) 6x x a1, f (x), f (x)隨x的變化情況如下表:x(,0)0(0, a 1)a 1(a 1,)f ' ( x)+00f ( x)A極大值A(chǔ)極小值A(chǔ)從上表可知，函數(shù)f ( x)在(,0)上單調(diào)遞增；在 (0, a 1)上單調(diào)遞減；在 (a 1,)上單調(diào)遞增(H)由(i)知，當(dāng) a 1時(shí)，函數(shù)f ( x)沒(méi)有極值;當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x)在x 0處取得極大值，在x a 1處取得極小值1 (a 1)3。點(diǎn)評(píng)：

8、本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的 能力?！痉答佈菥殹? .關(guān)于函數(shù)f ( x)2x 3 6x27，下列說(shuō)法不正確的是(4)(1 )在區(qū)間(,0)內(nèi)，f ( x)為增函數(shù)(2)在區(qū)間(0,2)內(nèi)，f (x)為減函數(shù)(3)在區(qū)間(2 ,)內(nèi)，f (x)為增函數(shù)(4)在區(qū)間(,0)(2,)內(nèi)，f (x)為增函數(shù)2 .對(duì)任意x，有f '(x) 4x 3,f (1)1 ,則此函數(shù)為()42。3 函數(shù)y=2x 3-3x 2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是5,-15。4 .下列函數(shù)中， x0是極值點(diǎn)的函數(shù)是 (2) 。32(1) y

9、x3( 2) y cos2 x( 3) y tan x x(4) y =1x5.下列說(shuō)法正確的是(4)。(1)函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值(2)函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值(3)函數(shù)的最值一定是極值(4)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值6 .函數(shù)f ( x) x3 3x2 5的單調(diào)減區(qū)間是一0, 2。7 .求滿足條件的 a的范圍：(1 )使y sin x ax為R上增函數(shù)；(2)使y x3 ax a為R上的增函數(shù)；(3 )使 f ( x)ax3 x 2 x 5為R上的增函數(shù)。解：(11： y cos x a由題意可知： y 0對(duì) x R都成立又當(dāng)a 1時(shí)y sin x x也符合條件1 ,)(2

10、)同上 a 0 ,1)(3)同上 a ,)3第3課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 B【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1.深化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí)。2 .利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的一些問(wèn)題，進(jìn)一步加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解，逐步提高分析問(wèn)題、探索問(wèn)題以及 解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等各種綜合能力。(1)(3)4.把長(zhǎng)為60cm的鐵絲圍成矩形，要使矩形的面積最大，貝V長(zhǎng)為15cm ，寬為15cm ?！净A(chǔ)練習(xí)】1 .若f (x)是在l ,1內(nèi)的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且f (x)不恒為零，則關(guān)于f (x)下列說(shuō)法正確的是(4)(1)必定是l , l內(nèi)的偶函數(shù)(2)必定是,l內(nèi)的奇函數(shù)(3)必定是l ,1內(nèi)的非奇非偶函數(shù)

11、(4 )可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)2 . f (x)是f ( x)的導(dǎo)函數(shù)，f (x)的圖象如右圖所示，則f ( x)的圖象只可能是(4)【范例導(dǎo)析】例1 .函數(shù)f (x)x3 ax2 bx c，過(guò)曲線y f ( x)上的點(diǎn)P(1, f (1)的切線方程為y 3x 1(1 )若y f ( x)在x 2時(shí)有極值，求 f ( x)的表達(dá)式；(2 )在(1 )的條件下，求y f (x)在3 , 1上最大值；(3)若函數(shù)y f ( x)在區(qū)間2,1上單調(diào)遞增，求b的取值范圍解：( 1)由 f ( x) x 3 ax 2 bx c 求導(dǎo)數(shù)得:f ( x ) 3 x 22 ax b過(guò)y f ( x)上點(diǎn)

12、P(1, f (1)的切線方程為:y f (1) f (1)( x 1)即 y ( a b c 1)(3 2a b)( x 1)而過(guò)y f ( x)上P (1, f (1)的切線方程為:y 3x 1故 2a b 3 即 2a b 0(1)a b c 21ab c3(2)y f ( x)在 x2時(shí)有極值,故f (2) 04a b12由(1)( 2)( 3)相聯(lián)立解得a2,b4,c 5f ( x) x 32 x24 x5(2) ( ) 3 223 244 (32)( 2)f xxaxbxxxx3, 2)f ( x) f ( x)f ( x)極大f (1)13(3) y f (x)r/ o3極大極/

13、小4=9 '2) ( 2)1 2( 2/4("2!)5131 41 54 / f (x)在3,1二最大值為 130+A(2,13(2, 2 )3又 f ( x)3x22ax b,由(1)知 2a b 0f ( x) 3x2 bx b依題意f ()在1x在2,1上恒有1f ()x0,在xb16時(shí),f (x)小f(1) 3b在xb2時(shí),f ( x)小f ( 2)126在b時(shí)12bb22 61 , f ( x)小一12綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b > 03 2 bx 即xbxb0 2,1上恒成立在b 0b62b b0b0 則0b6.點(diǎn)評(píng)：本題把導(dǎo)數(shù)的幾何意義與單

14、調(diào)性、極值和最值結(jié)合起來(lái)，屬于函數(shù)的綜合應(yīng)用題。例2 .請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)0到底面中心 01的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大?分析：本題應(yīng)該先建立模型，再求體積的最大值。選擇適當(dāng)?shù)淖兞亢荜P(guān)鍵，設(shè)解：設(shè)°°1 x(m),則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為(單位：m )。于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)：332 ( x 1)2 6A A( 8 2x x 2 )23 3 (8 2x x 2 )3帳篷的體積為(單位：m )：3 N2 1V ( x) 3(8 2x x ) (x3 (1

15、612x x 3 )°°1的長(zhǎng)度會(huì)比較簡(jiǎn)便。232求導(dǎo)數(shù)，得V ( x)3(12 3x2 )；2令V (x)0解得x=-2(不合題意，舍去),x=2當(dāng)1<x<2時(shí)，V ( x) 0 ,V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2vx<4時(shí)，V (x)0 ,V(x)為減函數(shù)。所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大。答：當(dāng)00為2m時(shí)，帳篷的體積最大。1點(diǎn)評(píng)：本題是結(jié)合空間幾何體的體積求最值，加深理解導(dǎo)數(shù)的工具作用，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大 值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！痉答佈菥殹? .設(shè)f ( x)是函數(shù) f (x)的導(dǎo)函數(shù)，將y f ( x)和y f

16、 ( x)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的O2.已知二次函數(shù)f (x)ax bx c的導(dǎo)數(shù)為f的最小值為3。f '(0)2n3 .若0 X，則下列命題正確的是(3)2f '(x) , f '(0)0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有f(X)0，則(1) sin x 2 xn(2) sin x 2 xn(3) sin x 3 xn(4) sin x 3 xn14 .函數(shù)f ( x) x In x(x 0)的單調(diào)遞增區(qū)間是ef ( x)且在點(diǎn)M ( 1 , f (- 1)處的切線方程為6x y 7 0.(I)求函數(shù)y=f(x)的解析式；(H)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.解：(

17、I)由 f(x)的圖象經(jīng)過(guò)P (0, 2)，知 d=2 ,所以 f ( x) x 3bx2 cx 2,f ( x)3x2 2bx c.由在 M(-1,f(-1)處的切線方程是 6x y7 0，知63 2b c 6,即 2b c3,1 b c 2 1b c 0,解得b c3.故所求的解析式是f ( x) x3 3x2 3x2.(H) f ( x) 3x 26x 3.令 3x26 x 30,令 x 22x 1 0.解得 X112, X2jl1 2.jr當(dāng)x 12,或x12 時(shí),f ( x) 0;當(dāng) 12 x 12 時(shí)，f ( x) 0.5.已知函數(shù)f (2)內(nèi)是增函數(shù)，在(1 "2,1

18、v 2)內(nèi)是減函數(shù)，在(1初2,)內(nèi)是增函數(shù). 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.故 f ( x)在(,1x3bx2 cx d的圖象過(guò)點(diǎn)P (0, 2),1)7 0,即 f ( 1)1, f ( 1) 6.鋼板切記I2r6 .如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為 r，計(jì)劃將此割成等腰梯形的形狀，下底 AB是半橢圓的短軸，上底 CD的端點(diǎn)在橢圓上，CD 2x，梯形面積為 S .(I )求面積S以x為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域;(II )求面積S的最大值.解：(I )依題意，以 AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系O xy (如圖)，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x .點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程1( y > 0),r 2 4r 2尸22=