微元法在幾何與物理中的一些應(yīng)用鄧智維

1、微元法在幾何與物理中的一些應(yīng)用摘要：微元法在幾何、物理、力學(xué)和工程技術(shù)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用，是解決定積分應(yīng)用問題的重要思想方法。本文特別闡述了微元法的原理及其過程，對(duì)微元法在幾何問題和物理問題中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。分析了微元法在定積分的應(yīng)用中如何確定所求量的微元，在解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)先將實(shí)際問題合理轉(zhuǎn)化為適合的數(shù)學(xué)模型，設(shè)定積分變量，然后運(yùn)用微元法建立積分表達(dá)式。因此使用微元法的關(guān)鍵是在局部上建立微元表達(dá)式，從而可將討論問題表示為定積分。關(guān)鍵詞：微元法；微元；幾何應(yīng)用；物理應(yīng)用 Micro Element Method In Geometrical And PhysicalAbstract

2、：Micro element method haswidely applicationin geometry, physics, and mechanics and engineering technology, it is an important methodtosolve the definite integral problem.This paper expounds the principle and process of micro element method, to discusesthe application problems of geometrical problems

3、 and physics. It is analyzed that how a solid is divided into some microelements when definite integral is applied to calculating its volume, when solving practical problems, firstlylet the actual problem turn into suitable mathematical model rationally and set the integral variable, and then apply

4、the micro elements method to establish the integral expression. The key point of using micro element is established the micro elements expression in local, thus, to discuss problems expressed as definite integral.Keywords：Micro elementmethod; Micro element; Geometric applications; Physics applicatio

5、n目 錄1引言 (1)2微元法介紹(1)2.1微元法(2)2.2 微元法的步驟(3)2.3 微元法的使用條件(4)3 微元法在幾何中的一些應(yīng)用 (4)3.1 直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(4)3.2 已知平面截面面積的幾何體的體積(6)3.3 直角坐標(biāo)系下平面曲線的弧長(7)3.4 旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積(8) 旋轉(zhuǎn)體的體積(8) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(9)4 微元法在物理中的一些應(yīng)用 (10)4.1 機(jī)械運(yùn)動(dòng)問題 (11)4.2 液體壓力問題 (12)4.3 電學(xué)做功問題 (13)5 結(jié)論 (14)致謝(15)參考文獻(xiàn) (15)微元法在幾何與物理中的一些應(yīng)用07級(jí)信息與計(jì)算科學(xué) 鄧智維指導(dǎo)教師:莊思發(fā)

6、 講師1 引言應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題時(shí)，通常并不是通過定積分定義中的四部曲“分割，取近似，求和，取極限”得到定積分表達(dá)式的。而是利用步驟更簡(jiǎn)單的微元法得到定積分表達(dá)式。1簡(jiǎn)單來說“微元法”就是根據(jù)定積分的定義抽象出來的，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成定積分的一種簡(jiǎn)單直接方法,就是將研究對(duì)象分割成許多微小的單元，或從研究對(duì)象上選取某一“微元”加以分析，從而可以化曲為直，使變量或難以確定的量成為常量、容易確定的量。通俗地說就是把研究對(duì)象分為無限多個(gè)無限小的部分，取出有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再從局部到整體綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法。在處理問題時(shí),從對(duì)事物的極小部分(微元)分析入手,達(dá)到解決事物整體

7、的方法。這是一種深刻的思維方法,是先分割逼近,找到規(guī)律,再累計(jì)求和,達(dá)到了解整體。因而，對(duì)微元法的理論和其在幾何與物理中的應(yīng)用的討論，能提高人們利用微元法解決實(shí)際問題的熟練程度。2 微元法的理論2.1微元法定積分是分布在區(qū)間上的整體量。因?yàn)檎w是由局部組成的，所以將實(shí)際問題抽象為定積分，必須從整體著眼，從局部入手。具體做法是：首先將區(qū)間上的整體量化成區(qū)間上每一點(diǎn)的微分，亦稱微元，這是“化整為零”；其次，對(duì)區(qū)間上每一點(diǎn)的微分無限累加，連續(xù)作和，這是“積零為整”，從而得到了所求的定積分。這種方法稱為微元法。2首先引入曲邊梯形求面積問題，如圖1曲邊梯形由連續(xù)曲線、軸與兩條直線、所圍成。則曲邊梯形面積

8、為。為求上述圖形的面積，可以在上任取一點(diǎn)x，并任給一個(gè)“寬度”(分割)，那么這個(gè)微小的“矩形”的面積為，則(1)abx圖1 微元法的意義 計(jì)算，取近似值：第個(gè)窄曲邊梯形的面積近似等于以為底、以為高的窄矩形面積，即，(2)求和：則曲邊梯形的面積近似等于n個(gè)窄矩形面積的和，即(3)求極限，得的精確值：(4)為簡(jiǎn)便起見，對(duì)單個(gè)矩形作討論，省略下標(biāo)。表示任意小區(qū)間上的窄曲邊梯形的面積，則(5)取的左端點(diǎn)為，則(6)于是(7)則 (8)可簡(jiǎn)化為(9)這些問題可化為定積分來計(jì)算的待求量有兩個(gè)特點(diǎn)：一是對(duì)區(qū)間的可加性；另一特點(diǎn)，即找任一部分量的表達(dá)式：(10)然而，人們往往根據(jù)問題的幾何或物理特征，自然的將

9、注意力集中于找這一項(xiàng)。但這一項(xiàng)與之差在時(shí)，應(yīng)是比高階的無窮小量(即舍棄的部分更微小)，借用微分的記號(hào)，將這一項(xiàng)記為(11)這個(gè)量稱為待求量的元素或微元。用定積分解決實(shí)際問題的關(guān)鍵就在于求出微元。設(shè)在上連續(xù)，則它的變動(dòng)上限定積分(12)是的一個(gè)原函數(shù)，即。于是，(13)這表明連續(xù)函數(shù)的定積分就是(10)的微分的定積分。由理論依據(jù)(11)可知，所求總量就是其微分從到的無限積累(即積分)，這種取微元計(jì)算積分或原函數(shù)的方法稱為微元法。32.2微元法的步驟設(shè)函數(shù)，所求量可以表示為:，然后實(shí)際進(jìn)行以下三步:第一步取，并確定它的變化區(qū)間;第二步設(shè)想把分成許多個(gè)小區(qū)間，取其中任一個(gè)小區(qū)間, 相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的

10、部分量能近似地表示為與的乘積，就把稱為量的微元并記作，即(14)第三步在區(qū)間上積分，得到(15)這里的關(guān)鍵和難點(diǎn)是求,在解決具體問題時(shí)本著是的線性主部的原則, 這樣計(jì)算的為精確值。42.3微元法的使用條件用定積分來解決的確實(shí)際問題中的所求量應(yīng)符合下列條件：4(1)是與一個(gè)變量的變化區(qū)間有關(guān)的量；(2)對(duì)于區(qū)間具有可加性；(3)局部量的近似值可表示為這里是實(shí)際問題選擇的函數(shù)。3 微元法在幾何中的一些應(yīng)用3.1直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(1)曲線，及軸所圍圖形(如圖2所示)的面積的微元，則面積。圖2(2)曲線(有正有負(fù))，及軸所圍圖形(如圖3所示)的面積的微元，則面積。圖3(3)由上下兩條曲線，(

11、)，所圍圖形(如圖4所示)的面積微元，則面積公式。圖4(4)由左右兩條曲線及所圍圖形(如圖5所示)的面積的微元，則面積圖5例 1試求由所圍成的圖形的面積。解：如圖6，這是一個(gè)典型的型圖形，所以面積微元，于是所求面積xyo12圖6例 2 計(jì)算由拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積。解：如圖7，拋物線與直線的交點(diǎn)、。若選坐標(biāo)為積分變量，它的變化范圍是，在其上任取子區(qū)間，則得面積微元，于是面積：若選坐標(biāo)為積分變量，它的變化范圍為，在上，面積微元；在上，面積微元，因而面積：圖7運(yùn)用微元法計(jì)算直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積，首先應(yīng)根據(jù)題目所給的條件畫圖；然后判斷圖形的類型，找出微元；最后根據(jù)公式積分，有時(shí)候要

12、對(duì)圖形進(jìn)行分割。直角坐標(biāo)系下平面圖形的積分，方法比較簡(jiǎn)單，但是定積分的基礎(chǔ)，掌握好積分的方法，對(duì)掌握微積分的內(nèi)容是極為重要。3.2已知平行截面面積的幾何體的體積設(shè)有一物體如圖8，它被垂直于軸的平面所截，截面面積為的已知的連續(xù)函數(shù)，取為積分變量，積分區(qū)間為，在上去取代表性小區(qū)間，相應(yīng)薄片的體積近似等于底面積為、高為的柱體體積，及體積微元，從而，所求立體的體積。圖8abA(x)x例3 一半徑為a的圓柱體，用與底面交角為的平面去截該圓柱體如圖9，并且截面過底圓直徑，求截下部分的幾何體體積。解：建立坐標(biāo)系。在上任取一點(diǎn)為A，那么在這一點(diǎn)垂直軸的截面為一個(gè)直角三角形，其面積為A(x)=AB×B

13、E而；所以，所求的體積圖9xyABEO在九章算術(shù)一書中記載著祖暅（祖沖之之子）原理：夫冪勢(shì)即同，則積不容異。就是說，等高處的截面面積既然相等，則兩立體的體積必相等。這是關(guān)于截面面積相等則體積也相等的原理。因此在完成已知平行截面面積的幾何體的體積的題目時(shí)，在使用的公式，首先要明確A(x)。并且要弄明白體積微元的導(dǎo)出與式子的證明。53.3 直角坐標(biāo)系下平面曲線的弧長設(shè)一曲線在上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)（如圖10所示）。取為積分變量，在微小區(qū)間內(nèi)，用切線段MT近似代替小弧段MN，得弧長微元為因此弧長公式：。圖10例4 求曲線上相應(yīng)從到的一段弧長。解：取為積分變量，并且，利用弧長公式，則所求平面曲線弧長為3

14、.4旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積3.4.1旋轉(zhuǎn)體的體積由連續(xù)曲線與直線及軸圍成的曲邊梯形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體叫做旋轉(zhuǎn)體(如圖11)。現(xiàn)在求它的體積。用垂直于軸的平行平面將旋轉(zhuǎn)體截成幾個(gè)小旋轉(zhuǎn)體，所得截痕都是圓。取為積分變量，。在內(nèi)的任一小區(qū)間上小旋轉(zhuǎn)體的體積近似等于以為底圓半徑，以為高的小圓柱體，即得體積微元于是旋轉(zhuǎn)體體積y x y=f(x)想x)x) 圖11例5求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：設(shè)所求體積為，由方程，解得，于是有。類似可求橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)體所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為，在求一般旋轉(zhuǎn)體的體積時(shí)，應(yīng)注意掌握以下規(guī)律和求解方法：(1)明確旋轉(zhuǎn)軸是軸或是軸，若是軸，則被積表達(dá)式為，若是軸，則被積

15、表達(dá)式為。(2)畫出草圖，以幫助明確積分區(qū)間。(3)在求解時(shí)，注意利用對(duì)稱性，以簡(jiǎn)化求解過程。3.4.2 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，求其繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。在任取小區(qū)間，以左端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為半徑作圓，這圓的周長與小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的弧長的乘積，近似代替該小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面面積。所以，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積元素可表示為；所以旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為。從直觀角度看，扁圓臺(tái)面相比扁圓柱面更接近小旋轉(zhuǎn)曲面，所以用扁圓臺(tái)近似代替。6例6 計(jì)算圓在上的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)所得球帶的面積如圖12。解：對(duì)曲線在區(qū)間上應(yīng)用公式，得到特別當(dāng)，時(shí)，則得球的表面積圖124微元法在物理中的一些應(yīng)用“微元法”是

16、研究物理問題時(shí)所采用的一種特殊的分析方法,它是把研究對(duì)象分割為無限多個(gè)無限小的部分,或把物理過程分解成無限多個(gè)無限小的部分,然后抽取其中的一部分加以研究,通過對(duì)所抽取的這一部分的研究,就可以認(rèn)知整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律,它實(shí)質(zhì)就是“從復(fù)合到單一,再從單一到復(fù)合”的綜合分析思維方法。7在使用微元法處理連續(xù)問題時(shí)，需要將其分解為眾多微小的“元過程”（如時(shí)間元，質(zhì)量元，長度元、面積元），比如：(1)位移對(duì)時(shí)間的變化率瞬時(shí)速度：，求位移：；(2)速度對(duì)時(shí)間的變化率加速度：，求速度；(3)動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率力：，求沖量；(4)功對(duì)時(shí)間的變化率瞬時(shí)功率：，求功；8每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，

17、只需分析這些“元過程”，然后再對(duì)“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而對(duì)問題求解。使用此方法會(huì)加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考，從而達(dá)到鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的目的。力學(xué)是物理中的基本部分，所以我們應(yīng)掌握好微元法在物理力學(xué)中的應(yīng)用，才能更好的掌握微元法在物理其他方面的使用。4.1機(jī)械運(yùn)動(dòng)問題例7 設(shè)某個(gè)物體初速度為，做加速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t，則物體的位移與時(shí)間的關(guān)系式為，試推導(dǎo)這關(guān)系式。解：作物體的v-t圖像，如圖把物體的運(yùn)動(dòng)分割成若干個(gè)小元段，由于每一小元段時(shí)間極短，速度可以看成是不變的，設(shè)為，則在此時(shí)間內(nèi)物體的位移為，物體在時(shí)間t內(nèi)的位移為，在v-t圖像13上則為若

18、干矩形面積之和。當(dāng)把運(yùn)動(dòng)過程分得非常非常細(xì)，若干個(gè)矩形合在一起就成了梯形OABC。圖線與軸所夾的面積，表示在時(shí)間t內(nèi)物體做與變速直線運(yùn)動(dòng)的位移。，所以。又，代入上式可得。例8如圖14所示，長為L的船靜止在平靜的水面上，立于船頭的人質(zhì)量為m，船的質(zhì)量為M，不計(jì)水的阻力，人從船頭走到船尾的過程中，問：船的位移為多大？分析：取人和船整體作為研究系統(tǒng)，人在走動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，可知系統(tǒng)動(dòng)量守恒.設(shè)人在走動(dòng)過程中的t時(shí)間內(nèi)為勻速運(yùn)動(dòng)，則可計(jì)算出船的位移。解： 設(shè)v1、v2分別是人和船在任何一時(shí)刻的速率，則有(16)兩邊同時(shí)乘以一個(gè)極短的時(shí)間t，有 (17)由于時(shí)間極短，可以認(rèn)為在這極短的時(shí)間內(nèi)

19、人和船的速率是不變的，所以人和船位移大小分別為，由此將(17)式化為 (18)把所有的元位移分別相加有 (19)即(20)此式即為質(zhì)心不變?cè)?。其中s1、s2分別為全過程中人和船對(duì)地位移的大小，又因?yàn)?21)由（20）、（21）兩式得船的位移 4.2液體壓力問題例9 有一圓錐形水池，池口半徑10m，深15m，池中盛滿了水，求將池水全部抽干所做的功。解： 這是一個(gè)克服重力做功問題，可將吸水過程看做是從水的表面到容器底部一層一層地吸出。那么提取每薄層水力的大小就是這薄層的重量。如圖15建立直角坐標(biāo)系，錐體母線的方程為，取水深為積分變量，其變化區(qū)間為，在的任意一個(gè)小區(qū)間上，相應(yīng)的一薄層水的重量可以用

20、體積以點(diǎn)處的函數(shù)值為底部半徑，以為高的圓錐體體積的水的重量近似代替，即水的重量近似為，其中為水的密度，為重力加速度。于是將池水抽干所做的功4.3電學(xué)做功問題例10 在原點(diǎn)有一個(gè)帶電量為的點(diǎn)電荷，周圍形成一個(gè)電場(chǎng)，求單位正電荷在該電場(chǎng)中從距原點(diǎn)處沿射線方向移至距原點(diǎn)處時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。解：如圖16，根據(jù)庫倫定律知道：一單位正電荷放在電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為的點(diǎn)處，電場(chǎng)對(duì)它作用力的大小為(為常數(shù))，方向指向原點(diǎn)。因此，在單位正電荷移動(dòng)過程中，電場(chǎng)對(duì)它的作用力是變力，取為積分變量，變化區(qū)間為，在中任取微小區(qū)間上，電場(chǎng)力可近似看作不變，并用在點(diǎn)處單位正電荷受到電場(chǎng)力來代替，于是得到它移動(dòng)所作功的近似值，即功

21、的微元為。所以，電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷在上移動(dòng)所作的功為。若移至無窮遠(yuǎn)處，則做功為此時(shí)，電場(chǎng)力做功稱為電場(chǎng)中該電的點(diǎn)位，于是知電場(chǎng)在處的電位為。圖16總之，“微元法”作為物理的一個(gè)重要物理思想，在被應(yīng)用于物理解題時(shí)，通常化“變”為“恒”，把變化的事物或變化的過程轉(zhuǎn)化為極為簡(jiǎn)單的不變的事物或不變的過程來處理。其常用手段為：通過限制“變化”賴以發(fā)生的“時(shí)間”和“空間”來限制“變化”。由于一切“變化”都必須在一定的時(shí)間和空間范圍內(nèi)才可能得以實(shí)現(xiàn)，因此“微元法”就抓住“變化”的這一本質(zhì)特征，通過限制“變化”所需的時(shí)間或空間來把變化的事物或變化的過程轉(zhuǎn)化為不變的事物或不變的過程。5 結(jié)語微元法是微積分、數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，是微積分學(xué)中的一種極其重要的思想。在使用微元法處理問題時(shí)，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣