微分中值定理及其應(yīng)用1

1、第五章 微分中值定理及其應(yīng)用為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算來(lái)研究函數(shù)與實(shí)際問題，需要一個(gè)聯(lián)系局部與整體的工具，這就是微分中值定理費(fèi)馬定理閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理羅爾中值定理 拉格朗日中值定理柯西中值定理 在數(shù)學(xué)分析中組成一段很漂亮的推理小鏈條應(yīng)用： 求極限的待定型、 函數(shù)作圖、 解極值問題§1 微分中值定理定義5.1 稱在點(diǎn)達(dá)到極大(小)值，如果存在，使得是在的最大(小)值，即 ， (或，)這時(shí)，稱點(diǎn)為的極值點(diǎn).。極大值極小值統(tǒng)稱為極值 定理5.1(費(fèi)馬定理) 設(shè)在點(diǎn)附近有定義若在點(diǎn)達(dá)到極值，且在點(diǎn)可導(dǎo)，則. 定理5.2(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在有最大值與最小值即存在

2、，使得 ， .定理的意義：該定理是說(shuō)函數(shù)的值域 有最大數(shù)與最小數(shù)，這一點(diǎn)只有對(duì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)才保證恒成立.例如，在開區(qū)間連續(xù)，但在函數(shù)無(wú)最大值。在開區(qū)間連續(xù)，但在函數(shù)無(wú)最大值和最小值. 雖然定義在閉區(qū)間，但不連續(xù)，無(wú)最大值證明 用區(qū)間套定理二等分，分點(diǎn)為。則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足性質(zhì)：另一區(qū)間中的每一個(gè)點(diǎn)，在這個(gè)區(qū)間中存在一個(gè)點(diǎn)，使得。事實(shí)上，不妨設(shè)滿足上述性質(zhì)，則，使得。因?yàn)槿舨蝗?，使得，有，即滿足上述性質(zhì)。記，二等分，分點(diǎn)為，則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足上述性質(zhì)，將這個(gè)區(qū)間記為；二等分，分點(diǎn)為，則，兩區(qū)間中至少有一區(qū)間滿足上述性質(zhì)，將這個(gè)區(qū)間記為；，如此繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，由區(qū)間

3、套定理，存在唯一的實(shí)數(shù)。 下證。，使，但。由區(qū)間套的構(gòu)造，使得。對(duì)， ，使，但。于是，使得。，如此繼續(xù)下去，得一數(shù)列，滿足，且。由于以及的連續(xù)性，即。最小值的情形，只需考慮，便化為已證得最大值的情形。定理5.2的證明 先證最大值的情形，用實(shí)數(shù)基本定理證明。不妨設(shè)都不是在的最大值。擴(kuò)充，使它在時(shí)等于，在時(shí)等于，則它在連續(xù)，令 使得， 這時(shí)R的一個(gè)分劃，事實(shí)上，由知不空，顯然，而對(duì)任意，我們來(lái)證，如果不然，設(shè)，由知存在，使任意有，由此推出存在，使得任意，有，因此矛盾，這就證明了構(gòu)成R的一個(gè)分劃，由實(shí)數(shù)基本定理，存在唯一的，使得對(duì)任意，有，下面來(lái)證明 ，先考慮的情形，如果不然，存在，有 ，這時(shí)存在，

4、使得，且任意，有，由，知存在，使得任意有，從而。顯然(否則)，這與對(duì)一切成立矛盾，這就證明了對(duì)任意，有其次考慮的情形，任意，存在使得，因此當(dāng)時(shí)，有 由的定義，知存在，使，若存在，使則由已證的的情形，知，結(jié)果得證；若任意，有，則由，在中令取極限，得。最小值的情形，只需考慮，便化為已證得最大值的情形，定理5.2證完。定理5.3（羅爾（Rolle，16521719）定理） 若在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，且，則在中存在，使得0.注意：定理中的三個(gè)條件缺一不可！如，在連續(xù)，但不存在使0，這是因?yàn)樵?點(diǎn)不可導(dǎo).如 滿足在可導(dǎo)，但沒有使0，這是因?yàn)樵诓贿B續(xù)。如，它在不滿足端點(diǎn)值相等，即，盡管它在 連續(xù)且可導(dǎo)

5、，但顯然定理結(jié)論不成立.證明 由在有，知作輔助函數(shù))，則在連續(xù)，在可導(dǎo)，且由羅爾定理知存在，使得0，即 0，這就是所要證明的，定理55證完定理5.4(微分中值定理，或拉格朗日中值定理) 若在閉區(qū)間連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，則在中存在，使得 （拉格朗日中值公式）定理的幾何意義： 記，上述等式的右邊表示弦的斜率。定理說(shuō)，在內(nèi)總有一點(diǎn)，曲線在處的切線切線平行于弦 當(dāng)時(shí)，定理5.4化為定理5.3. 拉格朗日中值定理中，函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的條件缺一不可！定理5.4的證明 造輔助函數(shù) ，則在連續(xù)，在可導(dǎo)，且0由羅爾定理知存在，使0，即 0，這就是所要證明的，定理54證完 拉格朗日中值公式的其它表示形式 ，令，則公式

6、可寫成 ，令， 則 ， 上述公式中不論或都成立，不論或都成立。與微分近似增量對(duì)比 ，這里不是嚴(yán)格等注意，介于之間，是間的中值，這就是中值定理名稱的由來(lái)雖然，般說(shuō)來(lái)，我們只知它位于之間，并不能確定它的準(zhǔn)確位置，重要的是它的存在性推論5.1 若在有，則在單調(diào)(嚴(yán)格單調(diào))上升；若在有則在單調(diào)(嚴(yán)格單調(diào))下降。 證明 設(shè)在有任意，由微分中值定理知存在，使 ()，故。即在單調(diào)(嚴(yán)格單調(diào))上升。 另一結(jié)論同理可證。推論5.2 若在有0，則在為常數(shù)。證明 對(duì)任意，存在在之間使得()0，這就證明了在的任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，從而在等于常數(shù)。中值定理在證明不等式中的應(yīng)用例1 證明不等式 ，且證明 函數(shù)在或上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，故 ，在0與之間。當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故都有 令，即得 例2 函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在，使得 即 或 對(duì)上式令取極限，這時(shí)有，從而得 請(qǐng)讀者思考，這與不存在矛盾嗎？作為拉格朗日中值定理的推廣，還有下面的定理。定理5.5（柯西中值定理） 定理5.4的證明 造輔助函數(shù) ，則在連續(xù)，在可導(dǎo)，且0由羅爾定理知存在，使0，即 0，這就是所要證明的，定理54證完幾何解釋：設(shè)想曲線用參數(shù)方程 表示，弦的斜率：任一點(diǎn)的斜率：