測量平差中幾種模型之間的關(guān)系朱思林

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上測量平差中幾種模型之間的關(guān)系摘要 各種不同的平差模型方法都有其各自的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)際測量結(jié)果處理時(shí)，為了更簡便的對測量結(jié)果進(jìn)行平差，得到較精確的數(shù)據(jù)，我們在處理測量數(shù)據(jù)時(shí)雖然往往根據(jù)不同的情況選著不同的平差方法，但是無論采用何種方法，其平差的最終結(jié)果是一樣的。因此本文主要通過測量平差公式的理論分析以及已有文獻(xiàn)的論證結(jié)果，論述各種平差模型之間的相互關(guān)系，并且利用一些例題加以直觀說明，得到的結(jié)果有利于更直觀理解各種平差模型，以及更明確的掌握這幾種模型之間的關(guān)系，以便于在面對一個測量問題時(shí)選擇較為合適的測量平差模型，對于測量數(shù)據(jù)處理理論分析和實(shí)際測量應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值

2、。關(guān)鍵詞：測量平差；平差模型；關(guān)系前言 隨著科學(xué)的不斷進(jìn)步與發(fā)展以及人類對生活質(zhì)量要求的提高，測量學(xué)科的理論技術(shù)也不斷得到完善，同時(shí)要求我們測量工作能夠得到更精確的結(jié)果。因此不但要研究更精密的測量儀器，在理論方面還要對測量結(jié)果進(jìn)行平差，由于測量平差的計(jì)算方法以及研究對象也在不斷發(fā)展，這就需要一套完整的測量平差體系，要求更好的掌握和運(yùn)用各種測量平差模型。到目前為止，測量平差的理論模型已逐步接近完善，其中包括條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差、附有限制條件的間接平差以及附有限制條件的條件平差等五種平差模型。實(shí)質(zhì)上，附有限制條件的條件平差模型是前四種平差模型的概括模型。不一樣的平差方法都對應(yīng)著不

3、一樣的函數(shù)模型。對于一個平差問題而言，無論采用何種平差模型，其最后平差結(jié)果（平差值及其精度）都是相同的。因此應(yīng)根據(jù)不同的測量問題選擇不同測量平差模型，以便于方便快捷的得到想要的平差結(jié)果，這就需要能夠更好的理解和掌握測量平差中各種模型之間的關(guān)系。目前我們測量方面對各種平差方法的研究，可以用一個概括模型從總體上來描述各種測量平差模型。其根本上講，各種測量平差方法的函數(shù)模型其實(shí)都是概括平差模型的特例。早在20世紀(jì)80年代末，於宗儔教授就提出了旨在統(tǒng)一四種經(jīng)典平差模型的概括模型附有限制條件的條件平差模型?？梢姕y量平差中幾種模型之間的關(guān)系非常密切。文獻(xiàn)【1】中介紹了各種平差模型原理及其推導(dǎo)過程，其中包含

4、五種測量平差函數(shù)模型的公式、用法以及意義，知識面較為廣泛，內(nèi)容細(xì)膩，比較容易理解，是測量平差學(xué)科的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)【2】中王新州教授推導(dǎo)出了測量平差的概括模型，論證了其他平差方法均為概括模型的特例。文獻(xiàn)【3】中通過對條件平差與間接平差、間接平差與附有參數(shù)的條件平差、條件平差與附有限制條件的間接平差以及附有參數(shù)的條件平差與附有限制條件的間接平差等相互轉(zhuǎn)換關(guān)系的推倒論證，導(dǎo)出測量平差中各種模型之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換關(guān)系。其內(nèi)容主要是詳細(xì)的公式轉(zhuǎn)換推導(dǎo)過程及論證，得到了各種平差方法的等價(jià)性及各種平差方法的內(nèi)在聯(lián)系性，其推導(dǎo)過程非常詳細(xì)，但作者只論證了公式之間可以互相推導(dǎo)與轉(zhuǎn)換。那么怎樣才能更直觀的理解這幾種平差模

5、型之間的關(guān)系呢？在此，我們利用其推導(dǎo)結(jié)果，采用列表、例題解答以及理論分析的方法進(jìn)一步探討測量平差中幾種模型之間的直觀聯(lián)系，得到的結(jié)果對測量平差模型之間關(guān)系的進(jìn)一步探討具有一定的參考價(jià)值。1. 各種平差模型的理論分析（表一）平差模型公式簡介條件平差 以條件方程為函數(shù)模型的平差方法叫做條件平差。多余觀測數(shù)r即為條件方程的個數(shù)，即在能夠列出的條件方程中，只需列出其中r個沒有線性關(guān)系的條件方程進(jìn)行平差，而其他的條件方程都是這些條件方程的線性組合，除了這r個線性無關(guān)的條件方程外，其余條件方程都可由這r個方程導(dǎo)出，因此選擇的r個條件方程符合要求，其余的所有條件方程必然可以得到滿足。在這個基礎(chǔ)上，優(yōu)先選擇形

6、式簡單、容易建立的條件方程以便減少計(jì)算的工作量。附有參數(shù)的條件平差 在平差時(shí)，如果觀測值的個數(shù)為n，其中必要觀測數(shù)是t，那么多余觀測數(shù)r=n-t。如果不增加參數(shù)，列出r個條件方程，此為條件平差法。假如再選u個獨(dú)立量為參數(shù)（0<u<t）參與平差，那么帶有參數(shù)的條件平差模型就建成了，即附有參數(shù)的條件平差模型。顯而易見，條件平差可以看作附有參數(shù)的條件平差的特例，即參數(shù)個數(shù)為零間接平差 間接平差是指在平差時(shí)選擇的獨(dú)立參數(shù)X的個數(shù)等于必要觀測個數(shù)t，并利用每個觀測值來表示成這t個參數(shù)的函數(shù)，列出觀測方程。其中所選參數(shù)必須是獨(dú)立的，因此所選擇的參數(shù)之間不存在函數(shù)關(guān)系。附有限制條件的間接平差 平

7、差時(shí)，多余觀測數(shù)r=n-t,，假如選擇的參數(shù)u>t，其中包含t個獨(dú)立參數(shù)，則參數(shù)之間存在s=u-t個限制條件。在平差時(shí)列出n個觀測方程以及s個限制方程，以這種函數(shù)模型進(jìn)行平差的方法，稱為附有限制條件的間接平差。顯而易見，間接平差可以看作附有限制條件的間接平差的特例，即限制條件的個數(shù)為零。附有限制條件的條件平差 附有限制條件的條件平差模型是綜合以上四種基本平差方法模型的一種概括平差方法模型。2.測量平差概括模型對于測量平差模型而言，如果能在其所有模型中找到一個“通用公式”，這不僅能夠方便人們的日常應(yīng)用，而且更能加深人們對測量平差方法的理解。于一個函數(shù)模型來說，附有限制條件的條件平差模型有著

8、特殊的意義。例如：（1） 當(dāng)表一中和式的系數(shù)陣B=0，C=0，那么它就變成了條件平差的函數(shù)模型；（2） 當(dāng)表一中和式的系數(shù)陣C=0時(shí)，那么它就變成了附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型；（3） 當(dāng)表一中和式的系數(shù)陣A=-I，C=0時(shí)，那么它就變成了間接平差的函數(shù)模型；（4） 當(dāng)表一中和式的系數(shù)陣A=-I時(shí)，那么它就變成了附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型。由上分析可知，條件平差、附有參數(shù)的條件平差、間接平差以及附有限制條件的間接平差都是附有限制條件的條件平差法的一個特例。換句話說，附有限制條件的條件平差的函數(shù)模型概括了所有的函數(shù)模型，因此該方法模型還被稱為“概括平差函數(shù)模型”。3.舉例說明平差結(jié)果的一致

9、性 由表一可知，條件平差是附有參數(shù)的條件平差的特例，間接平差是附有限制條件的間接平差的特例，而這四種模型又是附有限制條件的條件平差的特例。因此只要探究條件平差與間接平差之間有存在著怎樣的關(guān)系，這幾種平差模型的內(nèi)在聯(lián)系就會比較容易理解。文獻(xiàn)【3】中作者已經(jīng)運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法導(dǎo)出了條件平差與間接平差之間的等價(jià)轉(zhuǎn)換關(guān)系，即條件平差模型與間接平差模型的公式之間可以互相推導(dǎo)轉(zhuǎn)換。下面介紹一個例題，運(yùn)用條件平差法以及間接平差法兩種不同的方法來解答，旨在探究兩種方法之間的關(guān)系。 例題，如下圖所示，A、B和C三點(diǎn)在一條直線上，AB、BC以及AC的距離已經(jīng)測出，得到4個獨(dú)立的觀測值：=200.010m，=300

10、.050m，=300.070m，=500.090m。令100m量距的權(quán)為單位權(quán)。（圖一）（表二）條件平差法間接平差法解：本題 n=4,t=2,故而r=n-t=2，即可列出兩個條件方程：以帶入上式，經(jīng)計(jì)算可得條件方程為：令100m量距的權(quán)為單位權(quán)，即又知法方程系數(shù)陣由此得到法方程解得，帶入改正數(shù)方程計(jì)算V，得：觀測量的平差值為，m，經(jīng)驗(yàn)證，上述平差計(jì)算無誤。解：由題意知t=2，選取的平差值為參數(shù)，即、則可以列出n=4個方程：令，并帶入觀測數(shù)據(jù)，得誤差方程為：常數(shù)項(xiàng)單位為cm。令100m量距的權(quán)為單位權(quán)，即，組成的法方程為經(jīng)解算，各段距離的平差值為，m，與條件平差方法結(jié)果相同。 由表二可知一個平差

11、問題，不管采用間接平差或者條件平差，它的最小二乘解釋是一致和唯一的，即與采用何種平差方法無關(guān)。4.綜述各種平差方法的共性與特性以上我們通過表一列出了5種不同的平差模型，并對其進(jìn)行了簡要地分析。這些形式各異的函數(shù)模型都表示者不同的平差方法。這些所有模型中，方程個數(shù)均少于待求未知數(shù)的個數(shù)，而且其系數(shù)矩陣的秩都與其增廣矩陣的秩相同，因此，它們是包含無窮多組解的相容方程組。為了使解的不唯一性問題得到解決，最小二乘法原理得以采用。面對同一個平差問題，不管采用哪種平差模型，其平差結(jié)果都是一樣的。下面通過一個例題來看對于同一問題運(yùn)用不同方法解題的特點(diǎn)。例二，如圖二所示，為確定 ABC的形狀觀測了、和四個角度

12、值。 （圖二）由幾何知識可知，必要觀測數(shù)t=2，多余觀測數(shù)r=2，本例因選擇參數(shù)不同可得到四種不同的平差函數(shù)模型如表三所示：表三條件平差法由于r=2，即多余觀測為兩個，則約束條件有兩個，由平面幾何知識可得條件平差的函數(shù)模型：對于本例來說利用此方法解算比較方便間接平差法由于t=2，增設(shè)兩個獨(dú)立未知參數(shù)，設(shè)，則間接平差的函數(shù)模型為：對于本例來說用此方法進(jìn)行平差也比較方便附有限制條件的間接平差法t=2，在間接平差基礎(chǔ)上如果再增加一個未知參數(shù)（），設(shè)為，這樣之間就不再獨(dú)立，產(chǎn)生了約束條件，則可以列出附有限制條件的間接平差的函數(shù)模型：，本例采用此方法解算起來較為復(fù)雜附有參數(shù)的條件平差法若本例中只增加一個

13、未知參數(shù)（），顯然，現(xiàn)設(shè)，則是帶有附有參數(shù)的條件平差，函數(shù)模型為：本例采用此方法解算起來也較為復(fù)雜 總結(jié)：通過表三對例二四種解法的分析，可知這四種函數(shù)模型的解算結(jié)果相同，說明四種平差方法都可以進(jìn)行平差（表三中只給出了各自的函數(shù)模型，沒有具體解算平差）。對于本例來說，采用條件平差或者間接平差效果較好一些，因?yàn)檫@兩種平差方法的解算比較簡單，這里給出的四種平差方法的函數(shù)模型，只是利用例二加以對比，在實(shí)踐中有些問題則采用后兩種方法較好。在實(shí)際應(yīng)用中，要根據(jù)具體問題具體分析，選擇適當(dāng)?shù)钠讲罘椒ǎf不要無選擇的照搬照套。 不同的平差方法都有其各自的特點(diǎn)，因此我們不能斷言最好的方法是哪一種。但對于實(shí)際問題

14、而言，面對不同問題，還是有不同方法的選擇，目前間接平差和附有限制條件的間接平差被采用較多，因?yàn)椋海?）這些模型中，其誤差方程形式統(tǒng)一，規(guī)律性強(qiáng)，計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)時(shí)比較方便；（2）選擇的參數(shù)一般就是平差后需要的成果，例如在三角網(wǎng)中選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)，水準(zhǔn)網(wǎng)中選擇待定點(diǎn)的高程作為參數(shù)等，這可以說是這兩個平差模型的最大優(yōu)點(diǎn)。但同時(shí)不要忽略了其他平差方法，不是說其他方法沒有用了或者不重要了。例如，求一個三角形的內(nèi)角的平差值，則采用條件平差比較合理與方便。假如對于求的個別非觀測量的平差值及精度的問題，那么采用附有參數(shù)的條件平差法比較合理。但必須強(qiáng)調(diào)的是附有限制條件的條件平差模型有著特殊意義，因?yàn)樗瞧渌姆N模型的概括模型。5.結(jié)論（1） .同一個平差問題，不管采用哪種平差方法，它的最小二乘解釋是一致和唯一的，即與采用哪種平差方法無關(guān)。（2） 不同的平差方法都有各自的特點(diǎn)和有點(diǎn)。任何平差問題都可以用多種平差方法來解，但要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的平差方法，更方便快捷的得到需求的結(jié)果。（3） 附有限制條件的條件平差模型是其他四種平差模型的概括模型，換句話說，其他四種模型是附有限制條件的條件平差模型的特例，均可由其導(dǎo)出。 測量平差是測量學(xué)科的精髓，以上只是簡單敘述了各種平差模型之間的直觀關(guān)系，有許多問題需要進(jìn)一步研究和討論。參考文獻(xiàn)：【1】 武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平