工程電磁場(chǎng)靜電場(chǎng)二

1、第2章 靜電場(chǎng)(二)2.1 靜電場(chǎng)的唯一性定理及其應(yīng)用靜電場(chǎng)中的待求量：電場(chǎng)強(qiáng)度E，靜電力F。靜電場(chǎng)求解方法：(1) 直接由電場(chǎng)強(qiáng)度公式計(jì)算；(2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)電位電場(chǎng)強(qiáng)度E。唯一性定理的重要意義：確定靜電場(chǎng)解的唯一性。2.1.1 唯一性定理 靜電場(chǎng)中，滿足給定邊界條件的電位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。2.1.2 導(dǎo)體邊界時(shí)，邊界條件的分類(1) 自然邊界條件：(相當(dāng)于指定電位參考點(diǎn)的值)(2) 邊界銜接條件：(該條件主要用于求解區(qū)域內(nèi)部)(3) 導(dǎo)體表面邊界條件(a) 給定各導(dǎo)體表面的電位值。(第一類邊界條件)(b) 導(dǎo)體表面為等位面，給定各導(dǎo)體表面的

2、電荷量。 該條件相當(dāng)于給定了第二類邊界條件。在求解過(guò)程中，可通過(guò)積分運(yùn)算確定任意常數(shù)。，(注：n的正方向由介質(zhì)導(dǎo)向?qū)w內(nèi)部)(c) 給定某些導(dǎo)體表面的電位值及其它每一導(dǎo)體表面的電荷量。 相當(dāng)于給定了第三類邊界條件。思考？為什么條件(a),或(c)可唯一確定電位函數(shù)，而條件(b)確定的電位函數(shù)相關(guān)任一常數(shù)？答：邊值問(wèn)題的求解所需的邊界條件有：自然邊界條件、銜接條件和區(qū)域邊界條件。條件(a)，(c)中，同時(shí)給定了邊界條件和自然邊界條件，與條件(2)結(jié)合，可唯一地確定場(chǎng)解；而條件(c)沒(méi)有指定自然邊界條件(電位參考點(diǎn)的值)，因而，其解相差一個(gè)任意常數(shù)。2.1.3 靜電場(chǎng)唯一性定理的意義唯一性定理為靜

3、電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等)提供了思路及理論根據(jù)2.1.4 等位面法1 等位面法：靜電場(chǎng)中，若沿場(chǎng)的等位面的任一側(cè)，填充導(dǎo)電媒質(zhì)，則等位面另側(cè)的電場(chǎng)保持不變。2 等位面法成立的理論解釋：等位面內(nèi)填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，邊界條件沿發(fā)生變化：(1)邊界k的等位性不變；(2)邊界k內(nèi)的總電荷量不變。(相當(dāng)于給定了第二類邊界條件)3 等位面法在解釋靜電屏蔽現(xiàn)象中的應(yīng)用現(xiàn)象一、接地的封閉導(dǎo)體殼內(nèi)的電荷不影響殼外的電場(chǎng)。解釋：邊界上電位值不變(給定的第一類邊界條件不變)。現(xiàn)象二、封閉導(dǎo)體無(wú)論是否接地，則殼內(nèi)電場(chǎng)不受殼外電場(chǎng)的影向。解釋：(注意邊界正方向的取向)邊界S2為等位面；邊界S2上的總電荷

4、量不變。2.2 平行雙電軸法1 問(wèn)題的提出： 以求無(wú)限長(zhǎng)雙圓柱平輸電線周圍的電場(chǎng)分布為例。導(dǎo)體表面的面電荷密度未知，不可能由電場(chǎng)計(jì)算公式計(jì)算；電場(chǎng)分布不具有對(duì)稱性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能給出解析解。本節(jié)從靜電場(chǎng)的唯一性定理出發(fā)，采用其它求解方法(電軸法)。2. 兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)設(shè) 電軸上單位長(zhǎng)度的電荷量為，電位參考點(diǎn)為Q。電場(chǎng)分布為平面場(chǎng)，根據(jù)疊加原理， 說(shuō)明：式中Q表示電位參考點(diǎn)。表示由電荷到P點(diǎn)的矢徑。以y軸為參考點(diǎn), C=0, 則 *確定等位線方程： 等位線方程為圓： 圓心的坐標(biāo)： 圓的半徑為：當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。a、h、b三者之間的關(guān)系滿足: 應(yīng)

5、該注意到: 線電荷所在的兩個(gè)點(diǎn),對(duì)每一個(gè)等位圓的圓心來(lái)說(shuō),互為反演。即- a為等位線的半徑；2b兩電軸間的距離；h為等位圓圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。附：反演 沒(méi)C為一定圓，O為圓心，r 為半徑，對(duì)于平面上任一點(diǎn)M，有一點(diǎn)M與它對(duì)應(yīng)，使得滿足下列兩個(gè)條件：(1) O、M、M共線；(2) OMOM=r2；則點(diǎn)M稱為點(diǎn)M關(guān)于定圓C的反演點(diǎn)，C稱為反演圓，O稱為反演中心，r稱為反演半徑。 M和M的關(guān)系是對(duì)稱的，M也是M的反演點(diǎn)。M與M的對(duì)應(yīng)稱為關(guān)于定圓C的反演。CrOMM *確定電力線方程：根據(jù) 及E線的微分方程為得E線方程為 說(shuō)明：電力線方程表明， E線為圓，其圓心位于y軸上。K1的不同取值確定不同的電

6、力線。3 電軸法的基本思想由三個(gè)思考題，引出電軸法的解題思想。(1)若在任一等位面上放一無(wú)厚度的金屬圓柱殼，是否會(huì)影響電場(chǎng)分布？(2)、感應(yīng)電荷是否均勻分布？(3)、若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問(wèn)。得出電軸法的思想：電軸法：用置于電軸上的等效線電荷，來(lái)代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場(chǎng)的方法，稱為電軸法。電軸法解題的過(guò)程： (1)根據(jù)圓柱導(dǎo)體的半徑a和兩導(dǎo)體間的距離2h求出等效電軸的位置b；(2)設(shè)電軸上電荷線密度等于圓柱導(dǎo)體上單位長(zhǎng)度的電荷量；(3)由電場(chǎng)計(jì)算公式(0電位參考點(diǎn)位于y軸)4 例題例1試求圖示兩帶電長(zhǎng)直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場(chǎng)及電位分布。解：(1)建立體系，取0電位參考

7、點(diǎn)(2)確定電軸的位置，(3)計(jì)算電場(chǎng)和電位分布：例2 已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d 的帶電長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。解：例3 試確定圖示偏心電纜的電軸位置解：例4 已知一對(duì)半徑為a,相距為d的長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體傳輸線之間電壓為U0 ，試求圓柱導(dǎo)體間電位的分布。解：1 確定電軸的位置 2 設(shè)電軸上電荷密度為，任一點(diǎn)的電位為： 注意：式中的2，1分別為負(fù)電軸和正電軸到觀察點(diǎn)P的距離。3 4 場(chǎng)中任一點(diǎn)的電位為：2.3 無(wú)限大導(dǎo)電平面的鏡象一、鏡象法1.平面導(dǎo)體的鏡像 通過(guò)比較兩種邊值問(wèn)題的比較引出無(wú)限大導(dǎo)體平面的鏡象法：(1)點(diǎn)電荷位于無(wú)限大導(dǎo)體平面上方，邊值問(wèn)題： 除 q 所在點(diǎn)外的

8、區(qū)域 導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處 S 為包圍 q 的閉合面(2)點(diǎn)電荷及其鏡象位于兩無(wú)限大平面兩側(cè)，上半空間的邊值問(wèn)題 除 q 所在點(diǎn)外的區(qū)域 對(duì)稱面及無(wú)窮遠(yuǎn)處 S 為包圍q 的閉合面二、無(wú)限大導(dǎo)電平面鏡象法的特點(diǎn)用應(yīng)用無(wú)限大導(dǎo)體平面鏡象法的特點(diǎn)：1 鏡象電荷位于被研究的場(chǎng)域之外，與場(chǎng)源電荷關(guān)于平面對(duì)稱；2 鏡象電荷所帶的電量與邊界面原來(lái)所具有的總電荷量大小相等，符號(hào)相同，與場(chǎng)源電荷量大小相等，符號(hào)相反；3 被研究場(chǎng)域的邊界電位值為0。三、無(wú)限大導(dǎo)電平面的應(yīng)用1 點(diǎn)電荷對(duì)夾角為直角的兩相聯(lián)導(dǎo)電平面的鏡象； 2 點(diǎn)電荷對(duì)夾角為的兩相聯(lián)無(wú)限大導(dǎo)電平面的鏡象； 3 長(zhǎng)直圓柱導(dǎo)體對(duì)于導(dǎo)電平面(或地平面)的鏡象；

9、例2-3 架空地線避雷原理。帶電的云與地面之間形成一均勻向下的電場(chǎng)E0，由于大氣電場(chǎng)的影響將導(dǎo)致高度為l處的高壓輸電線A的電位升高。若在A的上方架設(shè)有架空地線G，半徑為r0，G是經(jīng)過(guò)支架接地的，則在架空地線G上感應(yīng)出負(fù)電荷，地面上感應(yīng)出正電荷。將這些感應(yīng)電荷的電場(chǎng)疊加到大氣電場(chǎng)以后可以降低A處的電位。試求由于架空地線的屏蔽作用而導(dǎo)致A處電位的變化。定性解釋：定量計(jì)算：設(shè):架空地線上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷量為，架空地線的半徑為r0，其等效電軸與地線中心重合。架空地線的電位為： 地線上單位長(zhǎng)度的電荷量: 高壓輸電線上的電位:架設(shè)架空地線前后,架空線電位比:當(dāng)時(shí), 2.4 球形導(dǎo)體表的鏡象2.4.1 接

10、地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡象設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場(chǎng)分布。CD邊值問(wèn)題： (除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)設(shè)勻鏡象電荷q位于球內(nèi)，球面上位一點(diǎn)的電位為0,即：其中由上式或知，球面上的電位只是b和的函數(shù)，位取兩值，(0，180)則：接地導(dǎo)體球外的電場(chǎng)計(jì)算 得： 由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場(chǎng)分別為注意：1 鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷（符號(hào)與數(shù)量均相同），但小于場(chǎng)源電荷量。2 鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場(chǎng)域內(nèi)。2.4.2 不接地導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷的鏡象解: 邊值問(wèn)題在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置在球內(nèi)有兩個(gè)等效鏡象電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對(duì)值相等。 正鏡像電

11、荷只能位于球心。任一點(diǎn)電位及電場(chǎng)強(qiáng)度為：補(bǔ)充題：試確定用鏡像法求解下列問(wèn)題時(shí)，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置?例2-4 空氣中有一內(nèi)外半徑分別為R11和R22的導(dǎo)體球殼原不帶電，其內(nèi)腔介質(zhì)為0，若于殼內(nèi)距球心為b處置點(diǎn)電荷q，求球殼內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位。解:1 計(jì)算球內(nèi)的場(chǎng)，設(shè)球殼的電位為0 2計(jì)算球外的場(chǎng)球外表面的電荷均勻分布，球殼外電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性。 2.5 無(wú)限大介質(zhì)交界面的鏡象邊值問(wèn)題： 上半平面 下半平面 得 討論與引伸1 介質(zhì)1中的電場(chǎng)是由q 與q 共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，q是等效替代極化電荷的影響。2 介質(zhì)2中的電場(chǎng)是由q 決定，其有效區(qū)在下半空間，q是等效替代自由電荷與極化

12、電荷的作用。 思考題？為求解圖示，區(qū)域1與 區(qū)域2的電場(chǎng)，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置？例2-5 離河面高度為h處，有一輸電線經(jīng)過(guò)，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電荷量為，且導(dǎo)線半徑Rh。設(shè)河水的電容率為800，求水中的電場(chǎng)強(qiáng)度。2.6 電容與電容的計(jì)算一、電容1 電容器的電容 單位：法位F， 2 獨(dú)立導(dǎo)體的電容說(shuō)明：電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。二、電容計(jì)算思路：三，電容計(jì)算1 平行板電容的電容2 球形電容器的電容3 單層介質(zhì)圓柱形電容器的電容4 雙層介質(zhì)圓柱形電容器的電容討論：A 總電容相當(dāng)于兩個(gè)電容器串聯(lián)的總電容B 內(nèi)外層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng)最大值的位置，最大場(chǎng)強(qiáng)相等時(shí)有：2.7

13、 雙輸電線的電容 討論： 例2-7 兩根平行細(xì)長(zhǎng)導(dǎo)線位于與地面平行的平面內(nèi)，導(dǎo)線的半徑為R0，軸線間距離為d。當(dāng)導(dǎo)線與地面間的距離不小于多大值時(shí)，忽略地面的影響，導(dǎo)線電容計(jì)算值的誤差才不超過(guò)1%。 考慮大地的影響 不考慮大地的影響2.8 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容靜電獨(dú)立系統(tǒng)：靜電獨(dú)立系統(tǒng) 線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無(wú)任何聯(lián)系。電容的概念1. 已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)電位系數(shù)的計(jì)算方法電位系數(shù)的性質(zhì)2 已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)3 已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容部分電容的性質(zhì)：部分電容的計(jì)算方法

14、：以教材為主講解靜電電容網(wǎng)絡(luò)等效電容的概念： 2.9 帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場(chǎng)能量及其分布平板電容器的電場(chǎng)能量與電場(chǎng)能量密度 在普通物理學(xué)中，已知平行板電容器的電場(chǎng)能量密度計(jì)算式 因而平行板電容器的能量表達(dá)式可寫為 式中：V為電容器兩極板所轄空間的體積。上式說(shuō)明，靜電場(chǎng)的能量，是以能量密度的形式，儲(chǔ)存于整個(gè)電場(chǎng)所遍及的空間，而不是附著于兩極板板面有電荷處。它說(shuō)明有電場(chǎng)處即有能量存在。上式可以推廣到非均勻的電場(chǎng)中去。多個(gè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場(chǎng)能量 為了研究問(wèn)題簡(jiǎn)便，請(qǐng)注意下面三項(xiàng)原則：1.基于場(chǎng)的物質(zhì)性，一定的物質(zhì)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)唯一的能量狀態(tài)，因而電場(chǎng)能量確定于場(chǎng)的最終分布狀態(tài)，而不隨其建立方式與過(guò)程之不同而

15、不同。2.電場(chǎng)所處空間為線性媒質(zhì)，因而各導(dǎo)體電位與各導(dǎo)體電荷具有線性關(guān)系，電場(chǎng)各量( 、 、 、)適用疊加原理。3.不考慮電場(chǎng)建立過(guò)程中媒質(zhì)的熱損耗及諸如輻射等等所帶來(lái)的不可逆能量損耗。例2-9 真空中的孤立帶電導(dǎo)體球帶有電荷q，半徑為R1，計(jì)算電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量。2.10 虛位移法計(jì)算電場(chǎng)力虛位移法： 基于功能守恒原理，電場(chǎng)力作功與電場(chǎng)能量的變化，應(yīng)該平衡于外部電源所作的功： 電場(chǎng)力所作的功電場(chǎng)能量的變化=外部電源所作的功 所謂虛位移法，即是基于功能轉(zhuǎn)換過(guò)程而建立的。假設(shè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的電場(chǎng)中，某一被研究的帶電導(dǎo)體，在電場(chǎng)力的作用下，作一想象的微小位移，電場(chǎng)能量亦相應(yīng)存在想象的微小變化，根據(jù)功能守恒原理，即可求