常見求積分方法總結(jié)

1、Yibin University畢 業(yè) 論 文（設(shè) 計(jì)）題 目 常見求積分方法總結(jié) 系 別 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué)生姓名 羅大宏 學(xué) 號(hào) 120204036 年級 12級4班 指導(dǎo)教師 劉信東 職稱 xxx 2016 年 3 月 10 日常見求積分方法總結(jié)作者：羅大宏單位：宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院12級4班指導(dǎo)教師：劉興東摘要: 微積分是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要基礎(chǔ)學(xué)科，并且微積分中的積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，它是連接微分學(xué)和積分學(xué)的樞紐。因此怎樣求積分就顯得非常重要，本文講解了常見求積分的幾種方法：直接積分法、分部積分法、換元積分法和有理函數(shù)積分的待定系數(shù)法，掌握了這些方法，將對我們迅速求解

2、積分來說非常重要。關(guān)鍵詞：定積分、不定積分、換元積分法、分部積分法、待定系數(shù)法引言數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)必修專業(yè)課，而微積分是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)，又不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，會(huì)影響到后面學(xué)習(xí)其它的積分，特別是定積分的求解。它的目的是形成一定的思維方法和解決問題的能力。并且不定積分的求解要比導(dǎo)數(shù)的求解復(fù)雜很多，運(yùn)用積分的基本公式只能解決一些容易的積分，更多的不定積分要因函數(shù)的差別而采用相應(yīng)的方法。另外，如果我們掌握了求不定積分的方法，那么求解定積分就變得容易。本文我們就對常見求積分方法進(jìn)行總結(jié)，以便幫助我們解決一些實(shí)際問題。1.積分的概念1.1、不定積分若是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則在的所

3、有原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在區(qū)間上的不定積分。記作。其中稱為積分號(hào)，函數(shù)稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為被積表達(dá)式，稱為積分常數(shù)。另外，求已知函數(shù)不定積分的過程就稱作對這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。1.2、定積分 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)： 把區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間 ,， ，, , 各個(gè)小區(qū)間的長度依次為在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作乘積，并作和式記當(dāng)時(shí)，即無限增大時(shí)，的極限如果存在并趨于，且與的分法及的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作.其中符號(hào)叫做積分號(hào)，叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間1.3 定積分與不定積分的聯(lián)系定積分的本質(zhì)是將函數(shù)的圖象在平

4、面直角坐標(biāo)系上用與軸平行的的直線和軸將它分割成很多個(gè)矩形。接著再把某個(gè)區(qū)間上的矩形的面積累加起來，所形成的就是這個(gè)函數(shù)的圖象在區(qū)間的面積。而不定積分的本質(zhì)是求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，它們看起來沒有聯(lián)系，那么為什么定積分寫成積分的形式呢？這主要是由于一個(gè)重要理論：牛頓-萊布尼茲公式，讓它可以計(jì)算積分，它的內(nèi)容是：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，且是的原函數(shù)，即則2.1求不定積分的方法2.1.1直接積分法 直接積分法就是通過積分的基礎(chǔ)性質(zhì)和基本積分公式求解不定積分的方法。該方法是求解不定積分的基本方法，是其它積分方法的根本，應(yīng)熟練地掌握基本積分公式。在記憶基本積分公式時(shí)，一定要把公式的兩邊一起記，這樣就清楚被積函數(shù)變

5、形到怎樣的式子簡便?；痉e分公式： 例1 求解 例2 求解 +C例3 求 例4 求 例5 求由此可得，熟悉基本積分公式是直接積分法的根本。但是，利用積分公式和性質(zhì)，只能求一些簡單的積分，對于比較復(fù)雜的積分，需要設(shè)法把它變形為能利用基本積分公式的形式來求解積分。2.1.2、換元積分法求不定積分 換元積分法是對積分變量進(jìn)行適當(dāng)變換的方法，這是與復(fù)合函數(shù)微分法相對應(yīng)的積分方法。不定積分的換元法可分為兩類：第一換元法，也叫湊微分法和第二換元法。設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，即.若可導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)的微分法則，有 =,故， 又，故 如果右邊的積分容易求出，則左邊的積分就可以通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為右邊的形式來計(jì)算，也就

6、是第一換元法。如果左邊的積分容易求出，則右邊的積分就能通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為左邊的形式來計(jì)算，也就是第二換元法。下面我們來分別介紹這兩類換元方法。1、第一換元法（湊微分法） 設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是的一個(gè)原函數(shù)，即 則為了使用方便，第一換元法能夠?qū)懗珊唵螌?shí)用的形式（1）只有一個(gè)因式的被積函數(shù)，主要看被積函數(shù)與積分基本公式中的哪個(gè)式子的被積函數(shù)相似，其本質(zhì)就是利用積分基本公式。接著再與積分的基本公式的相似形式進(jìn)行湊微分，湊微分的實(shí)質(zhì)就是利用積分基本公式和性質(zhì)求積分。（2）有兩個(gè)因式的被積函數(shù)，先由其中一個(gè)因式找到與其相似的積分基本公式，再將剩下的一個(gè)因式與進(jìn)行湊微分，再由積分基本公式求出結(jié)果。例1 求解 令，得例2 求解 令,得例3 求解 令,得 例4 求 解 例5 求解 例6 求解 2、第二換元法 設(shè)函數(shù)單調(diào)、可導(dǎo)，且的一個(gè)原函數(shù)，即 則 其中的反函數(shù)第二換元法主要分為以下三大類：1、有理化法 2、三角變換法 3、倒代換法 有理化法：若被積函數(shù)中含有因子同時(shí)含有兩個(gè)根式，為了能夠去掉根號(hào)，我們作變換，即，或，即，為與的最小公倍數(shù)，使化簡后的積分式子能夠直接積分或者使用簡單的變形湊微分后可直接