高一寒假 第3講 數(shù)列的小伙伴們 教師版 目標(biāo)班

1、.數(shù)列的小伙伴們第3講滿分晉級(jí) 數(shù)列1級(jí)與數(shù)列的第一次親密接觸數(shù)列3級(jí)等差數(shù)列深化數(shù)列2級(jí)數(shù)列的小伙伴們知識(shí)切片 <老師備案>本講內(nèi)容分成兩部分：31等比數(shù)列的根本量；32等比數(shù)列的性質(zhì)初步本講內(nèi)容較少，可以與上一講進(jìn)展一個(gè)時(shí)間上的平衡本講思路是：先從直觀上認(rèn)識(shí)等比數(shù)列，通過一些詳細(xì)的數(shù)列感受等比數(shù)列并學(xué)習(xí)等比中項(xiàng)，之后再學(xué)習(xí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟悉通項(xiàng)公式以及正確計(jì)算等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)再學(xué)習(xí)等比數(shù)列的求和公式，以及一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)希望把概念分開講解，分別配例題國際象棋的故事在暑期指數(shù)函數(shù)已經(jīng)講過了，此處就盡量不用了，由漢諾塔引入3.1等比數(shù)列基本量計(jì)算等比數(shù)列引入漢諾塔在印度，有這么一

2、個(gè)古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯在印度北部的圣廟里，印度教的主神大梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候做了三根金剛石柱子，在其中一根柱子上從下到上地放著由大到小的64片黃金圓盤，這就是所謂的漢諾塔如以下圖不管白天黑夜，總有一個(gè)僧侶在按照下面的法那么挪動(dòng)這些圓盤：一次只挪動(dòng)一片，不管在哪根柱子上，小圓盤必在大圓盤上面當(dāng)所有的金盤都從梵天放好的那根柱子上移到另外一根上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡故漢諾塔問題又被稱為“世界末日問題要把圓盤挪動(dòng)到另外一根柱子上，至少需要挪動(dòng)多少次呢？設(shè)有個(gè)圓盤，要從挪動(dòng)到，至少需要挪動(dòng)的次數(shù)為易知時(shí)，的時(shí)候，可以考慮先將上面兩個(gè)小的移到上，要次，再將最大

3、的那個(gè)移到上，要次，最后將上的兩個(gè)移到上，要次，總共要次對(duì)于一般的，我們可以類似考慮如以下圖：先將上面?zhèn)€圓盤移到上，要次；然后將最大的那個(gè)盤子移到上，要次挪動(dòng)；最后再將上的那個(gè)圓盤移到上，要次這種方法需要的次數(shù)為下面簡(jiǎn)單說明一下，至少要挪動(dòng)的次數(shù)只需要考慮最大的那個(gè)圓盤挪動(dòng)到上的時(shí)候，此時(shí)，比較小的個(gè)圓盤必定是圖中的擺放方式，這個(gè)圓盤從到要次，然后這個(gè)盤子移到又要次，因此總共至少要次才行綜上可得到數(shù)列的遞推公式，那么也可變形為，于是假設(shè)一秒鐘能挪動(dòng)一次，那完成目的需要的時(shí)間就是秒，大概是億年，地球是遠(yuǎn)撐不到那個(gè)時(shí)候的當(dāng)然，我們不是要討論地球什么時(shí)候消滅，而是要研究像這樣的數(shù)列，比方怎么求和，類

4、似于這樣的數(shù)列就是等比數(shù)列考點(diǎn)1：等比數(shù)列的概念知識(shí)點(diǎn)睛1文字定義：假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2符號(hào)定義：數(shù)列中，假設(shè)為常數(shù)，那么稱為等比數(shù)列<老師備案>對(duì)于等比數(shù)列定義的詳細(xì)理解： 由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可作為分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此也不為0 “從第二項(xiàng)起是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng) 均為同一常數(shù)，即比值相等，由此表達(dá)了公比的意義，同時(shí)還要注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比，防止前后次序顛倒 假如一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)

5、列不是等比數(shù)列這時(shí)可以說此數(shù)列從第2項(xiàng)起或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列 假如一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比盡管是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時(shí)此數(shù)列不是等比數(shù)列 常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列假設(shè)常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí)，是等比數(shù)列經(jīng)典精講【例1】 等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)以下數(shù)列是等比數(shù)列嗎?假如是，求出公比，假如不是說明理由【追問】等比數(shù)列是不是一定是單調(diào)的？【解析】 不是等比數(shù)列，是等比數(shù)列的項(xiàng)中有0，此數(shù)列從第2項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列，【追問】主要是希望學(xué)生通過一些等比數(shù)列的例子探究一下等比數(shù)列的單調(diào)性，不涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，等比數(shù)

6、列是常數(shù)列，不單調(diào)性；時(shí)，等比數(shù)列一定是正負(fù)交替的，這時(shí)數(shù)列一定不單調(diào)，如；，時(shí)數(shù)列單調(diào)增加，如；，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，如；，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，如；，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，如考點(diǎn)2：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知識(shí)點(diǎn)睛等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，第項(xiàng)為，通項(xiàng)公式：第項(xiàng)首項(xiàng)項(xiàng)數(shù)減1<老師備案>等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)：可以直接迭代，根據(jù)等比數(shù)列定義有也可以用疊乘法進(jìn)展推導(dǎo)：根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以得到，把以上個(gè)等式左右兩邊分相乘得即，經(jīng)典精講【例2】 等比數(shù)列的根本量與通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么首項(xiàng)_，公比_等比數(shù)列的第項(xiàng)_，第20項(xiàng)_等比數(shù)列的第項(xiàng)為_，項(xiàng)數(shù)_等比數(shù)列中，那么該數(shù)列的通項(xiàng)_；到共項(xiàng)

7、，或是寫出通項(xiàng)公式知；根據(jù)題意得： 得到，<老師備案>等比數(shù)列的求和中一個(gè)關(guān)鍵的問題是正確確定數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，等比數(shù)列的公比的冪次成等差數(shù)列，故等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求法用到等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)求法，這里的挑戰(zhàn)五分鐘是為了熟悉項(xiàng)數(shù)的求法，防止錯(cuò)誤題目數(shù)量較少，用不到五分鐘【挑戰(zhàn)五分鐘】等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_，共項(xiàng)；，共有項(xiàng)；，共項(xiàng)，共有項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列，那么公比_由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，【點(diǎn)評(píng)】假如目測(cè)的話，很可能會(huì)認(rèn)為公比是，漏掉考點(diǎn)3 ：等比數(shù)列的求和公式知識(shí)點(diǎn)睛是常數(shù)列等比數(shù)

8、列的前項(xiàng)和為，有前項(xiàng)和公式：項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)時(shí)，；時(shí)，非常數(shù)列<老師備案>等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：一般用得多的是前面的求和公式法一：由等比數(shù)列的定義知，將這個(gè)等式的兩邊分別相加得：，即，整理得，當(dāng)時(shí)，顯然此式對(duì)也成立；當(dāng)時(shí)，法二：錯(cuò)位相減法會(huì)在春季同步的求和中再次遇到將上式兩邊同乘以得：，兩式相減得：，以下討論同法一<老師備案>注意等比數(shù)列的求和公式對(duì)的情況需要單獨(dú)討論！當(dāng)時(shí)，將前項(xiàng)和公式整理成，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式一定有的形式，給出等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可以快速看出公比，且前面的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，由此可以快速解決例4例：等比數(shù)列的前項(xiàng)和，那么，；等比數(shù)列的前項(xiàng)和，那么

9、，整理一下得，故；等比數(shù)列的前項(xiàng)和，那么，有，且這個(gè)結(jié)論可以這么理解：；這樣的式子無法算出，故常常出問題，見易錯(cuò)門診；要想不成問題，希望成立，故希望，即得經(jīng)典精講【鋪墊】2019東城一模文11設(shè)是等比數(shù)列，假設(shè)，那么 ，數(shù)列的前項(xiàng)的和 數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和記為，那么_ 等比數(shù)列的和為_ ；此等比數(shù)列的公比為，可直接用公式；也可算出項(xiàng)數(shù)為，得【例3】 等比數(shù)列的前項(xiàng)和等比數(shù)列的和為_設(shè)，那么等于 ABCD數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和記為，假設(shè)，公比，那么使得的項(xiàng)數(shù)_等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么_，_等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么的值為 A B C D目的班專用等比數(shù)列中，求首項(xiàng)和公比 D；構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比

10、的等比數(shù)列，且共有項(xiàng)，故 3；由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，；，故 C；解法一：當(dāng)時(shí)，即，解法二：，由中項(xiàng)公式得，即，解得或舍，解法三：，由定義形式可知，化簡(jiǎn)得，解得或；又，得或，【點(diǎn)評(píng)】一般來說，對(duì)于我們沒必要用求和公式去求，這樣也省去討論的費(fèi)事<老師備案>求時(shí)，不管是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，或者其它數(shù)列，都要注意單獨(dú)討論對(duì)第1題，因?yàn)?，故?shù)列是從第項(xiàng)開場(chǎng)才是等比數(shù)列等比數(shù)列的求和中，注意與時(shí)，公式是大不相同的，需要分別討論1數(shù)列的前項(xiàng)和，求通項(xiàng)【解析】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故2求其中為常數(shù)【解析】 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，<老師備案> 例4介紹較為復(fù)雜的等比數(shù)列根本量的計(jì)算，在同步

11、班中等比數(shù)列的根本量只做課前回憶，不再展開，例4的【追問】會(huì)在春季同步時(shí)作為性質(zhì)展開，此處可作為一個(gè)考慮的問題【例4】 等比數(shù)列的根本量綜合數(shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列的前項(xiàng)和為 ABCD2019年豐臺(tái)區(qū)高三一模數(shù)學(xué)理10等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，假設(shè)成等差數(shù)列，那么數(shù)列的前5項(xiàng)和為_【追問1】數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，那么數(shù)列，中哪些是等比數(shù)列？是等比數(shù)列的，公比為多少？【追問2】數(shù)列，都為等比數(shù)列，公比分別為，那么數(shù)列，是否為等比數(shù)列？是等比數(shù)列的，公比為多少？假如，數(shù)列是否為等比數(shù)列？設(shè)等差數(shù)列的公差不為，假設(shè)是與的等比中項(xiàng)，那么等于 ABCD目的班專用設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為假設(shè)成等差數(shù)列，那么

12、的值為_【解析】 D；由知，故，數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，故它的前項(xiàng)和為設(shè)數(shù)列的公比為，那么，即，解得，所以，前5項(xiàng)的和為追問1：數(shù)列，都為等比數(shù)列，公比分別為；不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，公差為；既不是等比數(shù)列，也不是等比數(shù)列追問2：數(shù)列，是等比數(shù)列，公比分別為；數(shù)列在時(shí)一定不是等比數(shù)列；在時(shí)，可能不是等比數(shù)列，但假如數(shù)列中各項(xiàng)都非零的話，一定是等比數(shù)列，公比為如：不是等比數(shù)列 B；，即由得：，由得：，即，故或負(fù)值舍去解法一：由題意知，即，解法二：由題意知；假設(shè)，有，因?yàn)?，故有，這不可能；假設(shè)，那么有，由可化簡(jiǎn)得：，解得或舍去3.2等比數(shù)列性質(zhì)初步<老師備案>和等差數(shù)列類似，

13、等比數(shù)列的題目只要知道和后，都可以通過這兩個(gè)根本量的各種運(yùn)算來求解同樣的假如總是生搬根本公式的話，計(jì)算量會(huì)很大，準(zhǔn)確率會(huì)降低，因此我們還需要學(xué)習(xí)一些省時(shí)省事的小技巧，即等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)當(dāng)然也不能舍本逐末，等比數(shù)列的根本量的根底運(yùn)算還是最重要的，性質(zhì)只是輔助根本概念明白透徹了，性質(zhì)也會(huì)更容易理解學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)，可以和等差數(shù)列的性質(zhì)對(duì)照引入考點(diǎn)4：等比數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)睛1等比中項(xiàng)：三個(gè)數(shù)，組成等比數(shù)列，叫做，的等比中項(xiàng)假如是和的等比中項(xiàng)，那么2等比數(shù)列的主要性質(zhì)：假設(shè)是等比數(shù)列，那么假設(shè)是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，特別地：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積相等項(xiàng)數(shù)和相等當(dāng)時(shí)，特別地：當(dāng)時(shí)，項(xiàng)數(shù)是等差中項(xiàng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)是等比

14、中項(xiàng)假設(shè)是等比數(shù)列，那么下標(biāo)成等差數(shù)列的子列構(gòu)成等比數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為<老師備案>這一講對(duì)等比數(shù)列的性質(zhì)只學(xué)習(xí)它常用的幾條，其它性質(zhì)我們還會(huì)在春季同步班重點(diǎn)學(xué)習(xí)對(duì)性質(zhì)的簡(jiǎn)單證明如下：當(dāng)時(shí)，特別地：當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，公比為<老師備案>性質(zhì)1是說明求通項(xiàng)時(shí)，可以從任意項(xiàng)開場(chǎng)求，比方，求時(shí)，可以常規(guī)求出，再由通項(xiàng)公式算；也可以直接用來求解在使用中，常常將性質(zhì)和同時(shí)使用，比方在等比數(shù)列中，求可以先利用性質(zhì)說明成等比數(shù)列，然后利用性質(zhì)說明，也可以直接使用性質(zhì)由等比數(shù)列的性質(zhì)知一個(gè)等比數(shù)列隔項(xiàng)取一定是等比數(shù)列，這時(shí)新的等比數(shù)列的公比為，不注意這個(gè)有時(shí)可能會(huì)出錯(cuò)，見易錯(cuò)門診經(jīng)典

15、精講【鋪墊】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，那么_在各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列中，那么_，_，_【解析】 ；，負(fù)值舍去；得：，故，從而；又此數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，故；，故；【例5】 等比數(shù)列的性質(zhì)是的等比中項(xiàng)，那么 ；為等比數(shù)列，那么 等比數(shù)列的各項(xiàng)為正，公比滿足，那么的值為 A B2 C D在等比數(shù)列中， 假設(shè)是方程的兩根，那么 2019年海淀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)理在等比數(shù)列中，那么= AB C D在等比數(shù)列中，那么_目的班專用在等比數(shù)列的前項(xiàng)中，最小，且，前項(xiàng)和，那么_，_D；根據(jù)性質(zhì)2得B；由得，又，因此，；根據(jù)性質(zhì)2得，由性質(zhì)3知下標(biāo)成等差數(shù)列的子列也構(gòu)成等比數(shù)列，即構(gòu)成等比數(shù)列公比，目的班專用；由題意可

16、知，解得，即，故【例6】 等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，那么的通項(xiàng) ，即<老師備案>講完這題可以接著講后面的易錯(cuò)題那道題中可能等于零，容易被無視直接消去【備選】在等比數(shù)列中，假設(shè)數(shù)列的公比大于，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】 由等比數(shù)列的性質(zhì)得 ，所以是方程的兩個(gè)根由公比大于1解得，1數(shù)列是等比數(shù)列，那么_，_，但，故；符號(hào)要驗(yàn)證求等比中項(xiàng)2設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，那么的通項(xiàng) 【解析】 或，即，而由等比數(shù)列的性質(zhì)有：，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又因，所以所以實(shí)戰(zhàn)演練 【演練1】 在等比數(shù)列中，那么公比為 A2B3 C4D8【解析】 A；【演練2】 設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，假

17、設(shè)，那么數(shù)列前7項(xiàng)的和為 A63 B64 C127 D128【解析】 C【演練3】 假設(shè)為等差數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，那么的值為 A1023B1025 C1062 D2047【解析】 A；由題意知于是【演練4】 等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么公比 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，那么 ，即，解得或；【演練5】 在等比數(shù)列中，假設(shè)是方程的兩根，那么的值是_【演練6】 在等比數(shù)列中， 假設(shè)，求； 假設(shè)，求公比解得，代入可得解方程得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故或 由，得，即 ，又由，得，即 得 ，【點(diǎn)評(píng)】 在求得，或，后，由于，因此，公比一定大于0 在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別同號(hào)無論公比大于0或小于0，因此，在求出 后

18、，的值應(yīng)為此外，上題還可以直接將兩式相除得，從而求出概念要點(diǎn)回顧 1等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，那么通項(xiàng)公式為_2等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)，那么前項(xiàng)和公式為_3等比數(shù)列，假設(shè)，那么_填、分牛的傳說古代的印度，有一位老人，他在彌留之際，把三個(gè)兒子叫到床前，對(duì)他們說：“我就要去見真主了，辛苦了一輩子，沒有其它珍貴遺產(chǎn)留給你們，只有19頭牛，你們自己去分吧，老大分總數(shù)的1/2，老二分總數(shù)的1/4，老三分總數(shù)的1/5話音甫落，老人就咽了氣按照印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不準(zhǔn)宰殺，只能整頭的分，而祖先的遺囑必須無條件遵從那么，這19頭牛怎樣分呢？這道題著實(shí)難壞了兄弟三人他們請(qǐng)教了許多有才學(xué)的人，人們總是搖頭，表示愛莫能助三兄弟急得走投無路，卻無計(jì)可施結(jié)局大家估計(jì)也聽過：有一天，一位老農(nóng)牽著一頭牛路過，看到兄弟三人愁眉苦臉，便動(dòng)問原由老農(nóng)聽后思索了片刻說：“這件事好辦，我把自己的一頭牛借給你們，這樣總共就有了20頭牛，老大可分得10頭，老二可分得5頭，老三可分得4頭，你們?nèi)朔秩チ?9頭牛，剩下的一頭再還給我！真是妙極了！一個(gè)曾使多少人費(fèi)盡心機(jī)無法解決的大難題竟這樣干脆利落的解決了，不