數(shù)字信號(hào)處理 (2)

1、第一章第一章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng) 離散時(shí)間信號(hào) 采樣 離散信號(hào)的傅氏變換與Z變換 離散時(shí)間系統(tǒng) 系統(tǒng)函數(shù)1.1 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)（）單位脈沖序列0, 00, 1)(nnn（）單位階躍序列（）單位階躍序列0, 00, 1)(nnnu（）矩形序列（）矩形序列NnnNnnRN, 0, 010, 1)(1 1 N-1 n（）實(shí)指數(shù)序列（）實(shí)指數(shù)序列)()(nuanxn（）正弦序列（）正弦序列x(n) = sin（n0）sin(n0)-1(5)正弦型序列正弦型序列 )cos()(0nAnx為相位為數(shù)字頻率，為幅度，00)cos()(AnAnxn（6）復(fù)指數(shù)序列）復(fù)指數(shù)序列0()

2、00( )(cossin)jnnx nAeAenjn 當(dāng)0時(shí)x(n)的實(shí)部和虛部分別是余弦和正弦序列。 序列的運(yùn)算序列的運(yùn)算 1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)注：以上均為序列對(duì)應(yīng)點(diǎn)相加、相乘注：以上均為序列對(duì)應(yīng)點(diǎn)相加、相乘3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)4、序列的能量nnxS2)(nnx2)(平方可和序列nnx)(絕對(duì)可和序列xBnx )( 有界序列 )()()(mnmxnxm6、序列的單位脈沖序列表示 5、實(shí)序列的偶部和奇部 )()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo1.2 采樣采樣對(duì)

3、信號(hào)進(jìn)行時(shí)間上的離散化，這是對(duì)信號(hào)作數(shù)字化處理的第一個(gè)環(huán)節(jié)。研究?jī)?nèi)容： 信號(hào)經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化） 信號(hào)內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號(hào)、如何不失真地還原信號(hào)） 由離散信號(hào)恢復(fù)連續(xù)信號(hào)的條件采樣的這些性質(zhì)對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析十分重要，要了解這些性質(zhì)，首先分析采樣過(guò)程。1.1.采樣過(guò)程采樣過(guò)程 采樣器一般由電子開(kāi)關(guān)組成，開(kāi)關(guān)每隔秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號(hào)接通，實(shí)現(xiàn)一次采樣。 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣采樣器)(txa)(txpP(t)TTfs1如開(kāi)關(guān)每次閉合秒，則采樣器的輸出是一串重復(fù)周期為T，寬度為的脈沖，(如圖)脈沖的幅度是這段時(shí)間內(nèi)信號(hào)的幅度(如圖)，這一采樣過(guò)程可看作是一個(gè)

4、脈沖調(diào)幅過(guò)程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為的矩形脈沖，以P(t)表示,調(diào)制信號(hào)是輸入的連續(xù)信號(hào)xa(t),則采樣輸出為 一般很小, 越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號(hào)在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。 )()()(tptxtxap2. 理想采樣理想采樣 開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間0時(shí)，為理想采樣。 特點(diǎn)：采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準(zhǔn)確地等于輸入信號(hào)在采樣瞬間的幅度。即：理想采樣可看作是對(duì)沖激脈沖載波的調(diào)幅過(guò)程。我們用M(t)表示這個(gè)沖激載波， nnTttM)()(則有 )()()(tMtxtxaannaanTtnTxnTttx)()()()( 實(shí)際情況下，0達(dá)不到

5、，但(35)max。同時(shí)，為避免高于折疊頻率的噪聲信號(hào)進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器（抗混疊濾波），阻止高于S/2頻率分量進(jìn)入。3）歸一化數(shù)字角頻率=T=/fs s=sT=2表表一一些些典典型型的的數(shù)數(shù)字字信信號(hào)號(hào)處處理理系系統(tǒng)統(tǒng)應(yīng)用系統(tǒng)上限頻率maxf采樣頻率sf地質(zhì)勘探500Hz1-2 kHz生物醫(yī)學(xué)1kHz-kHz機(jī)械振動(dòng)kHz4-10 kHz語(yǔ)音kHz8-16 kHz音樂(lè)kHz40-96 kHz視頻MHz8-10 MHz4采樣的恢復(fù)（恢復(fù)模擬信號(hào)）采樣的恢復(fù)（恢復(fù)模擬信號(hào)）如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即信號(hào)最高頻率譜不超過(guò)折迭頻率 則理想采樣的頻譜就

6、不會(huì)產(chǎn)生混疊，因此有 =0部分）進(jìn)行變換的z變換，其定義為單邊z變換只在少數(shù)情況下與雙邊z變換有所區(qū)別，即序列的起始條件不同，可以把單邊z變換看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。0)()(nnznxzX三、三、 z變換的收斂域變換的收斂域 一般，序列的Z變換 并不一定對(duì)任何z值都收斂，z平面上使上述級(jí)數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。我們知道，級(jí)數(shù)一致收斂的條件是級(jí)數(shù)一致收斂的條件是絕對(duì)值可和絕對(duì)值可和，因此z平面的收斂域應(yīng)滿足 因?yàn)閷?duì)于實(shí)數(shù)序列， 因此，|z| 值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對(duì)可和條件，這個(gè)范圍一般表示為nnznx)(nnznx)(nnnnznxznx)()( Rx

7、-|z|Rx+ 這就是收斂域，一個(gè)以Rx-和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為Rx-等于0，Rx+為無(wú)窮大，這時(shí)圓環(huán)變成圓或空心圓。 z變換的收斂域 jImzRx+Rx-Rez0這里主要討論以下四種序列：a 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列序列 (序列x(n)只在有限長(zhǎng)度n1n2 內(nèi)有值，其余為零)其Z變換X（z）是有限項(xiàng)的級(jí)數(shù)和，只要級(jí)數(shù)每一項(xiàng)有界，有限項(xiàng)和也有界，所以有限長(zhǎng)序列z變換的收斂域取決于|z|-n，n1nn2。 顯然 |z| 在整個(gè)開(kāi)域（0，）都能滿足以上條件，因此有限長(zhǎng)序列的收斂域是除 0 及 n

8、nnnnxnx其它0)()(2121)()(nnnnznxzX 兩個(gè)點(diǎn)（對(duì)應(yīng)n0不收斂）以外的整個(gè) z 平面： 0|z|如果對(duì)n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，則根據(jù)條件|z|-n（n1nn2），收斂域可進(jìn)一步擴(kuò)大為包括0點(diǎn)或點(diǎn)的半開(kāi)域： 0|00021nznz 例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收斂域?yàn)檎麄€(gè)閉域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比級(jí)數(shù)求和 nnzznzX11)()(0nNnNnnNzzzzznRzX10)1(2111)()(|0,11)(1zzzzXNb 右邊序列右邊序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nRx- 為收斂半

9、徑Rx-以外的z平面， 1)()(nnnznxzX右邊序列中最重要的一種序列是 “因果序列” ，即n1 0的右邊序列，因果序列只在n0有值，nn2時(shí)，x（n）=0 收斂域： |Z|Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域: Rx-|z|Rx-如Rx+Rx-，無(wú)公共收斂區(qū)間，X（z）無(wú)收斂域，不收斂. Z變換小結(jié) Z變換收斂域的特點(diǎn)：1）收斂域是一個(gè)圓環(huán)，有時(shí)可向內(nèi)收縮到原點(diǎn)，有時(shí)可向外擴(kuò)展到，只有x（n）=（n）的收斂域是整個(gè)z平面。2）在收斂域內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，X（z）在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)上都是解析函數(shù)。 Z變換表示法：級(jí)數(shù)形式解析表達(dá)式（注意:只表示收斂域上的函數(shù)，要同時(shí)注明收斂域） 已知函數(shù)

10、X(z)及其收斂域，反過(guò)來(lái)求序列x(n)的變換稱為逆z變換，常用Z-1x(z)表示。若 則逆z變換為： 逆z變換是一個(gè)對(duì)X(z)zn-1進(jìn)行的圍線積分，積分路徑C是一條在X（z）收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）以內(nèi)反時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)一周的單圍線。xxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(),(xxRRc四、逆四、逆z變換變換圍線積分路徑證： 設(shè)積分路徑C在半徑為R的圓上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，則 mcmncnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(2111(1)11Re2210,002kkj kjcckjkzdzRejdjjk

11、Redknmk這個(gè)公式稱為柯西積分定理。因此 或 mcmnnxdzzjmx)(21)(1)(),()()(211xxcnRRcnxdzzzXj直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求z反變換，求解逆z變換的常用方法有：l 冪級(jí)數(shù)l 留數(shù)定律法l 部分分式法常用序列z變換（可直接使用）|)(|011)(|11)(1zaazznuazzznRzzznunNN五、五、z變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號(hào)處理中常常要用到 、 六、DTFT與z變換 njnjenxeX)()(njnezjenxzXeXj)()()( )( )nnX zx n z七、七、Parseval定理定理z變換的

12、重要性質(zhì)之一變換的重要性質(zhì)之一 若有兩序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-|z|Rx+ Y（z）=Z y（n） Ry-|z| Ry+ 它們的收斂域滿足條件： Rx- Ry-1則 其中，C 所在收斂域?yàn)?X(v) 和 Y*(1/V*) 兩者收斂區(qū)域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -ncdvvvYvXjnynx1*)/1 (*)(21)(*)(證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性(p21表1.3，第7和第10)：則 由于假設(shè)條件中已規(guī)定收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此， |z|=1 在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1 (又因 因此 證畢1(1)( ) *( )( ) *( )nznnWx n yn zx n yn111( ) *( )( ) *2cnx n ynX v Yv dvvj如果 X（v）、Y（v）在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時(shí) ,Parsev