本科階段固體物理期末重點計算題

1、第一章晶體結(jié)構(gòu)1 .氯化鈉與金剛石型結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子還是布拉維格子，各自的基元為何？寫出這兩種結(jié)構(gòu)的原胞與晶胞基矢，設(shè)品格常數(shù)為a。解：氯化鈉與金剛石型結(jié)構(gòu)都是復(fù)式格子。氯化鈉的基元為一個Na+和一個C廠組成的正負離子對。金剛石的基元是一個面心立方上的C原子和一個體對角線上的C原子組成的C原子對。由于NaCl和金剛石都由面心立方結(jié)構(gòu)套構(gòu)而成，所以，其元胞基矢都為：相應(yīng)的晶胞基矢都為：2 .六角密集結(jié)構(gòu)可取四個原胞基矢aa2,a3與a,，如圖所示。試寫出02人、A1A3B3B1、A2B2B5A5、AA2A3A4A5A6這四個晶面所屬晶面族的晶面指數(shù)hklm。1解：(1).對于OAA3面，其在四個原

2、胞基矢上的截矩分別為：1,1,lo所以，2其晶面指數(shù)為1121。(2) .對于AA3B3B1面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：1,1,-,。所以,2其晶面指數(shù)為1120。(3) .對于A2B2B5A5面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：1,1,。所以,其晶面指數(shù)為1100。(4) .對于AiA2A3A4AA6面，其在四個原胞基矢上的截矩分別為：，1。所以，其晶面指數(shù)為0001。3 .如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球體可能占據(jù)的最大體積與總體積的比為:簡立方：；體心立方：蟲_；面心立方：詆_；六角密集：；金剛石：叵。686616證明：由于晶格常數(shù)為a,所以：(1) .構(gòu)成簡立方時，最大球半

3、徑為Rm-,每個原胞中占有一個原子，2(2) .構(gòu)成體心立方時，體對角線等于4倍的最大球半徑，即：4RmV3a,每個晶胞中占有兩個原子，(3) .構(gòu)成面心立方時，面對角線等于4倍的最大球半徑，即：4RmJ2a,每個晶胞占有4個原子，(4) .構(gòu)成六角密集結(jié)構(gòu)時，中間層的三個原子與底面中心的那個原子恰構(gòu)成一個正四面體，其高則正好是其原胞基矢c的長度的一半，由幾何知識易知c 4 Rm。原胞底面邊長為2Rm。每個晶胞占有兩個原子,2Vm 24 Rm3 Rm,原胞的體積為：V-2 . _o 4 62Rm sin 60 g3Rm82Rm(5) .構(gòu)成金剛石結(jié)構(gòu)時，1的體對角線長度等于兩個最大球半徑，即：

4、2Rm吏a,44每個晶胞包含8個原子，4 .金剛石結(jié)構(gòu)原子間的鍵間角與立方體的體對角線間的夾角相同，試用矢量分析的方法證明這一夾角為109o280如圖所示，沿晶胞基矢的方向建立坐標(biāo)系，并設(shè)品格常數(shù)為 1,1,1 0證明：uuuuuu1。選擇體對角線AB和CD,用坐標(biāo)表示為1,1,1和所以，其夾角的余弦為:5 .試求面心立方結(jié)構(gòu)(110)和(111)晶面族的原子數(shù)面密度，設(shè)晶格常數(shù)為a解:如圖所示，面ABC即(110)面，面CDEW為(111)面。設(shè)該面心立方的晶格常數(shù)為a,AFGD 其為：面積為：在(110)面內(nèi)選取只包含一個原子的面面積為ag叵a2a2,所以其原子數(shù)面密度22在(111)面內(nèi)

5、選取只包含一個原子的面DHIG其所以其原子數(shù)面密度為:6.若在面心立方結(jié)構(gòu)的立方體心位置上也有一原子，試確定此結(jié)構(gòu)的原胞，每個原胞內(nèi)包含幾個原子，設(shè)立方邊長為a。解：這種體心立方結(jié)構(gòu)中有五種不同的原子。頂角、體心上的原子是兩種不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子兩兩一組，是互不相同的原子。故此種結(jié)構(gòu)共有五種不同的原子，整個面心立方就是一個原胞。每個原胞中的原子數(shù)為：11.81325（個）827.底心立方（立方頂角與上、下底心處有原子）、側(cè)心立方（立方頂角與四個側(cè)面的中心處有原子）與邊心立方（立方頂角與十二條棱的中點有原子）各屬何種布拉維格子？每個原胞包含幾個原子？解：這三種結(jié)構(gòu)

6、都屬于簡立方結(jié)構(gòu)，原胞包含的原子數(shù)分別為：底心立方：1邊心乂方：- 812 4818,一，、11側(cè)心立方：一84382晶體的每對離子內(nèi)聚能幺。（已知馬德隆常數(shù)M=1.7476,Na和Cl的原子量分別為23和35.45）N解：NaCl晶體中Na和Cl-的最近距離為r0晶胞基矢長為2 r0,一個晶胞中含有四對正負離子對一個原胞（一個NaCl分子）的體積為:3_ m (23 35.45) 10 6v 2r0 2FN 2.16 6.02 10NaCl晶體中的正負離子的平衡間距為:由晶體體積彈性模量的公式:(n 1)Me2Bm TT 4 ,36 0 r0并且由于NaCl晶體為面心立方結(jié)構(gòu)，參數(shù) =2,故

7、由上式可得:_ _ _ 12_ _ 9 4363.148.85102(0.282 10 )1.7476 (1.619、210 )2.41 1010=7.82由平衡時離子晶體的內(nèi)聚能公式:NMe2Uc E1一）， n將n=7.82代入得NaCl晶體的每對離子的內(nèi)聚能為:19 21.7476 (1.6 10 )2124 3.14 8.85 10 12 0.282 10布（17.822. LiF晶體具有NaCl結(jié)構(gòu)，已由實驗測得正負離子間的最近距離r=0.2014nm（1摩爾的內(nèi)聚能Uc = 1012.8kJ/mol,以孤立離子系統(tǒng)的內(nèi)能為能量的零點）。試計算該晶體的體積彈性模量Bm,并與它的實驗植

8、6.71 1010N/m2進行比較。解： 由平衡時離子晶體的內(nèi)聚能公式：UNMe24 0 r01 ，一(1 ),其中 M=1.784 n計算1mol的內(nèi)聚能時，N=Na=6.02X1023,且r0=0.2014,計算得:n=(140r0UC) 1NMe21LiF晶體具有NaCl結(jié)構(gòu)，將模量Bm若對Xe晶體施加壓力P6108N/m2。試在近似假定體積彈性模量不變的情況下,計算這些晶體的晶格常數(shù)a將變?yōu)槎嗌伲坎⑶筮@時的內(nèi)聚能匕將變?yōu)槎嗌?？N解：原子間的平衡間距為：r01.091.090.398nm0.434nm因結(jié)構(gòu)為立方晶體，則晶格常數(shù)為:2ra 0.614nm:2每個原子的內(nèi)聚能為:匕 8.6

9、N8.6 0.020.172eV體積彈性模量：Bm753 75930.02 (0.398 10 )1.61910=3.81x109N/m2由體積彈性模量的定義式可知：BmV()tVBmVdVBmlnVV。因為：V N r3r故P3Bmln%晶格常數(shù)a-、2r0.583nm/-1.09內(nèi)聚能UDA8.6Bm?0.149N2A275AfV*弟二早1. 一維單原子晶格，在簡諧近似下，考慮每一原子與其余所有原子都有作用，求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)第n個原子的勢能函數(shù)為其中，m為與第n個原子的相距ma的原子間的恢復(fù)力常數(shù)，a為晶格常數(shù)。則，第n個原子的受力為其中，利用了mm。第n個原子的運動方程為令其試解

10、為代入運動方程得故，2. 聚乙烯鏈LCHCHCHCHL的伸張振動，可以采用一維雙原子鏈模型來描述，原胞兩原子質(zhì)量均為M，但每個原子與左右的力常數(shù)分別為1和2，原子鏈的周期為a。證明振動頻率為解：單鍵及雙鍵的長分別為b1和b2，而原子（n,1）與（n,2）的運動方程分別為令這兩個方程的試解為把試解代入運動方程得有非零解的條件為解得利用b1b2a,方程的解為晶體中的衍射1 .試證明面心立方與體心立方互為正倒格子。方法1：a-(j k)2a(k i)2a-(i j)2面心立方：ai(Da2a3由正格子和倒格子的轉(zhuǎn)換關(guān)系山? u a.7 7 7 WJLrqLIlE 山常飛; /k /k /k 2 2

11、2rk .) .) r k r k在體心立方中由（2）式可得uraiarrr2(ijk)uurarrra22(ijk)urarrrb2(ijk)(4)(5)UT2ttb1(jk)auu2tta2-(ki)auu2tta3-(ij)a比較（1）與（5）,（3）與（4）便可得面心立方與體心立方互為正，倒格子。方法2:由方法一中的（1）可知正格子與倒格子之間存在如下關(guān)系:ur2rrrbi(ijk)auu2rrr由此可得面心立方的倒格子基矢：b2(ijk)aur2rrrb3(ijk)alt2rrbi一(jk)auu2rr同理可得體心立方的倒格子基矢:a2一(ki)auu2rra3一。j)a比較可得面心

12、立方和體心立方互為正倒格子。rrr2 .a,b,c為簡單正交格子的基矢，試證明晶面族（hki）的晶面間距為r r ra?(b c) abcrrrrrur解：aai,bbj,cck,由Pi9(2.2.7)知可得:再由P22中uurkh和dhki的關(guān)系:uurkh2/dhkl可得:dhkl22luu、j（a）2（k）2（c）2（a）2（4）2g）2得證uruu3 .設(shè)一二維格子的基矢a10.125nm,a20.250nm,a1與電夾角a=l20。，試畫出第一與第uruu二布里淵區(qū)。二維倒格子基矢片,4與正格子基矢間有如下關(guān)系：解:ur令a1ur ra,貝必1aiuur a2r ai3aj中間矩形為

13、第一布里淵區(qū)，陰影部分為第二布里淵區(qū)。品格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)1,求一維單原子鏈的振動模式密度g，若格波的色散可以忽略，其g具有什么形式，比較這兩者的g曲線。解：1一維單原子鏈的晶格振動的色散關(guān)系為cqasin2其中,m此函數(shù)為偶函數(shù)，只考慮q0的情況，下式右邊乘2。:d區(qū)間振動模式數(shù)目為其中，grad一dqqaa2mcosm22故色散關(guān)系為其中，l為單鏈總長a為晶格常數(shù)，因此N為原子個數(shù)。2若格波沒有色散，既只有一個e(愛因斯坦模型)。而且振動模式密度函g數(shù)滿足下面關(guān)系故，g為函數(shù)IIg()=2N(m2)-1/2/g()g()=N(E)IJJI-Tl;Ifr.)12色散關(guān)系的曲線圖如下：4.

14、金剛石(碳原子量為12)的楊氏模量為1012Nm2,密度3.5gcm3。試估算它的彳惠拜溫度d解：德拜溫度為1_將D6-N-3Vs,Vs口,代入上式5.試用德拜模型求晶體中各聲頻支格波的零點振動能。1一，一,62N弓，解：在德拜模型中，縱波與橫波的最大振動頻率均為d6Vs，其中1112V33V3VT。縱波的零點振動能為同理，兩支橫波的零點振動能均為故，總的零點振動能為7.Na和Cl的原子量分別為23和37。氯化鈉立方晶胞邊長為0.56nm,在100方向可以看作是一組平行的離子鏈。離子間距d0.28nm。NaCl晶體的楊氏模量為51010Nm2,如果全放射的光頻率與q0的光頻模頻率相等，求對應(yīng)的

15、光波波長（實驗值為61m）0解：在一維雙原子鏈模型中，q0時，光頻模頻率為楊氏模量為故，光波波長為金屬電子論1.導(dǎo)出一維和二維自由電子氣的能態(tài)密度解：一維情形由電子的Schr?dinger方程:得自由電子波函數(shù)解：dz2dk-dkL，2mdE2九冗冗h2正且有：Eh2k22m由周期性邊界條件：(x L) (x)得:在k amE/h到k dk區(qū)間:那么：dZ Lgi(E)dE,其中:gi(E)、2m 2E2曲維情形同上，由電子的Schr?dinger方程:得自由電子波函數(shù)解:(r)1 ik r2忑,，S L日h2k2且：E(k)右h2由周期性邊界條件:得：kx2x,ky在k，2mE/h到kdk區(qū)

16、間:那么：dZSg2(E)dE其中：g2（E）m2.He3是費米子，液體He3在絕對零度附近的密度為0.081g/cm3。計算它的費米能Ef和費米溫度Tf。解：He3的數(shù)密度：其中m是單個He3粒子的質(zhì)量?？傻茫捍霐?shù)據(jù)，可以算得：&=6.8577X1023J=4.28X104eV.則：TFEF=4.97K.k5.銀是一價金屬，在T=295K時，銀的電阻率p=1.61X106Q-cm,在T=20K時，電阻率p=0.038X108。-cm。求在低溫和室溫時電子的自由程。銀的原子量為107.87,密度為10.5g/cmt解：由1%可得：l牛nelne又：其中Na為阿伏加德羅常數(shù)，Ms為Ag的原子量，0為Ag的密度。將上式代入l的表達式，并代入數(shù)據(jù)可得：當(dāng)T=295K時，l=3.7X104m,當(dāng)T=20K時，l=1.6m.在計算過程中，已取VF=106m.84弟早1.由實驗測得N