完全平方數 - E度教育論壇

1、第9講 完全平方數第一部分 基本知識點這是重中之重一個自然數平方后所得到的數叫完全平方數，也叫平方數。0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，都是完全平方數，同學們要數記前20個完全平方數。觀察這些完全平方數，可以得到完全平方數的一些常用性質： 性質1：完全平方數的末位數字只能是0，1，4，5，6，9。 推論：個位數是2，3，7，8的整數一定不是完全平方數；性質2：如果一個自然數介于兩個連續(xù)的完全平方數之間，則它不是完全平方數。性質3：完全平方數除以3余0或1；完全平方數除以4余

2、0或1；。 性質4：如果一個完全平方數的個位數字是6，則是位數字是奇數。性質5：完全平方數分解質因數后，每個質因數的次數都是偶數。性質6：一個正整數如果是完全平方數，那么它有奇數個約數(包括1和它本身)。 一個正整數如果它有奇數個約數(包括1和它本身)，那么它是完全平方數。 約數個數為3的自然數一定是某個質數的平方。性質7：平方差公式A2B2（AB）（AB），其中AB與AB的奇偶性相同。第二部分 學 案 學案1 完全平方數的個位數字只能是0、1、4、5、6、9，可是個位數字是0、1、4、5、6、9的不一定都是完全平方數，那么我們定義：個位數字是0、1、4、5、6、9且不是完全平方數的自然數為“

3、偽平方數”，那么在兩位數中，偶數與偽平方數那個多？分析： 兩位數從10到99共90個，其中偶數90÷245（個）。 兩位數中個位數字是“0、1、4、5、6、9”的有6×954（個），其中完全平方數有16、25、36、49、64、81這6個，偽平方數有54648個。 兩位數中偶數45個，偽平方數48個，偽平方數比偶數多。學案2 將16分解成若干個質數（可以相同）相加的形式，如果這些質數的乘積正好是平方數，那么這個平方數可能是幾？分析： 要使這些質數的乘積是完全平方數，那么質數必須成對出現，我們把16分成88的兩組，每組用相同的方式分解成一些質數相加的形式即可。 8222223

4、335 16（2222）（2222）（233）（233）（35）（35） （2×2×2×2）×（2×2×2×2）162256 （2×3×3）×（2×3×3）182324 （3×5）×（3×5）152225 答：這個平方數可能是256、324、225學案3 一個房間里有100盞燈，用自然數1、2、3、4、100編號，每盞燈各有一個開關，開始時，所有的燈都不亮。有100個人輪流進入房間，第一個人進入房間后，將編號為1的倍數的燈的開關按一下，然后離去。

5、第二個人進入房間后，將編號為2的倍數的燈的開關按一下，然后離去；如此下去，直到第100個人進入房間，將編號為100的倍數的燈的開關按一下，然后離去。問：第100個人離開房間后，房間里那些燈還亮著？分析：對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，開關被按奇數次時燈是亮著的，開關被按偶數次時燈是滅著的?！耙槐K燈的開關被按的次數，恰等于這盞燈編號的約數個數”。求哪些燈還亮著，就是求哪些燈編號的約數個數是奇數個。顯然，完全平方數有奇數個約數，所以用完全平方數編號的燈是亮著的。 在1100這100個數中，完全平方數有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，所以當第100個人離開房間后，房間里

6、還亮著的燈的編號是：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。學案4 兩個完全平方數的差為51，且這兩個完全平方數之間沒有其他完全平方數，求這兩個數。分析： 設這兩個完全平方數分別為A2、B2 ，且AB1。 A2B251（AB）（AB）51 得到 AB 51 AB 1 解得A26；B25 A2 262676 ；B2252625第三部分 課后訓練，鞏固知識點1、1×22×33×44×55×66×77×88×99×1010×1111×12的結果是不是完全平方數？為什么？分析：

7、不是！ 我們把每一項的個位數字相加：2620026200222，相加和的個位數字是2。完全平方數的個位數字只能是0、1、4、5、6、9，個位是2的自然數不可能是完全平方數。2、1×23×45×67×89×10的結果是不是完全平方數？為什么？分析：不是！ 我們首先考慮和的個位數字，2206010，個位數字是0，有可能是完全平方數；另一方面，我們看總和除以4的余數：202026，6除以4余2，也就是說總和除以4余2，而完全平方數除以4的余數只能是0或1，余2的必然不是完全平方數。分析：1×23×45×67×8

8、9×10最后的結果是190，190介于132169和142196之間，而132169和142196是兩個相鄰的完全平方數，因此190不是完全平方數。3、240乘以一個非零自然數，或者除以一個非零自然數b，結果都是一個完全平方數，那么的最小值是 。b的最小值是 。分析：24024×3×5， 240×結果是完全平方數，完全平方數的質因數必須成對出現，所以最小值是3×515。 240÷b結果是完全平方數，完全平方數的質因數必須成對出現，所以b最小值是3×515。4、400以內，有奇數個因數（約數）的自然數有哪些？這些自然數中因數（

9、約數）最多的有多少個因數？分析：一個正整數如果是完全平方數，那么它有奇數個約數(包括1和它本身)。 一個正整數如果它有奇數個約數(包括1和它本身)，那么它是完全平方數。 400以內有奇數個因數（約數）的自然數有：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400，共20個，其中約數最多的是形如（2b）2形式的自然數，有122144，182324，202400，它們各有15個約數。5、是否存在一個自然數，使得13，13都是完全平方數？分析：假設存在一個自然數，使得13，13都是完全平方數。并且設13A2，13B2

10、。 A2B2（13）（13）26（AB）（AB）262×13AB與AB的奇偶性相同，AB與AB要么都是奇數，要么都是偶數，而它們的乘積26是偶數，說明AB與AB都是偶數，而兩個偶數的乘積必然是4的倍數，但是26除以4余2，自相矛盾，說明最開始的假設錯誤。因此得出結論，不存在這樣的自然數，使得13，13都是完全平方數。第四部分 補充題目，開闊視野1、一個整數，它的一半是一個完全平方數，且它的三分之一是一個完全立方數，則這個整數最小是多少？解： 設這個整數為6。 6÷23是完全平方數，可以表示為3A2 6÷32是完全立方數，可以表示為22×B3。 3A222

11、×B3 B是3的倍數，B至少是3。至少是22×B34×33108， 所求整數最小是66×108648。648÷2324182 ， 648÷321663 答：所求的整數最小是648。2、從1到2008的所有自然數中，乘以72后是完全平方數的數共有多少個？解： 完全平方數，分解質因數后質因數必成對出現。 722×22×322×62 乘以72后是完全平方數的數必是某個平方數的2倍。 2×3121922 1922符合要求，且19222008 2×3222048 2048符合要求，但204820

12、08 符合要求的數共有31個：分別是2×12、2×22、2×32、2×42、2×312。3、一個數減去100后是一個平方數，減去63也是一個平方數，問這個數是多少？解： 設這個數為，這個數減去63后的差為A2，這個數減去100的差為B2。根據題意 63A2 100B2 A2 B2（AB）（AB） （63）（100）631001006337 （AB）（AB）37×1 AB37 AB1 解得：A19 B18 100B2 100B2100182424 答：這個數是424。4、已知3528a恰是自然數b的平方數，a的最小值是 。解：平方數分解質因數后質因數必成對出現。 3528ab2 3528a 23×32×72 a2×422 a b