可靠性數(shù)學(xué)理論

1、可靠性數(shù)學(xué)理論運用概率統(tǒng)計和運籌學(xué)的理論和方法對產(chǎn)品（單元或系統(tǒng)）的可靠性作定量研究。它是可靠性理論的基礎(chǔ)之一。可靠性是指產(chǎn)品在一定條件下完成其預(yù)定功能的能力，喪失功能稱為失效?？煽啃岳碚撌且援a(chǎn)品的壽命特征為研究對象的。運用概率統(tǒng)計和運籌學(xué)的理論和方法，對單元或系統(tǒng)的可靠性作定量研究。它是可靠性理論的基礎(chǔ)之一。所謂可靠性，是指單元或由單元組成的系統(tǒng)在一定條件下完成其預(yù)定功能的能力。單元是元件、器件、部件、設(shè)備等的泛稱。單元或系統(tǒng)的功能喪失，無論其能否修復(fù)，都稱之為失效?？煽啃岳碚摷匆允КF(xiàn)象為其研究對象，因而涉及工程設(shè)計、失效機(jī)理的物理和化學(xué)分析、失效數(shù)據(jù)的收集和處理、可靠性的定量評定以及使用

2、、維修和管理等范圍。 可靠性問題的提出，是由于大工業(yè)生產(chǎn)及第二次世界大戰(zhàn)中研制和使用復(fù)雜的軍事裝備的需要。雖然單元的可靠性不斷有很大的提高，但是由于大型系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，要求其完成的功能也越來越廣泛，因此定量評定和改善系統(tǒng)可靠性已成為一個重要課題。 通過數(shù)學(xué)模型定量研究系統(tǒng)的可靠性，并探討它與系統(tǒng)性能、經(jīng)濟(jì)效益之間的關(guān)系，是可靠性數(shù)學(xué)理論的主要方法之一。 可靠性的數(shù)量指標(biāo)假定系統(tǒng)只有正常和失效兩種狀態(tài)。系統(tǒng)在失效前的一段正常工作時間稱為壽命。由于失效是隨機(jī)現(xiàn)象，因此，壽命可用非負(fù)隨機(jī)變量X 及其分布函數(shù)F(t=PX t（見概率分布）來描述。 對失效后不加修復(fù)的單元，其可靠性用可靠度來刻畫。

3、單元在時刻t的可靠度R(t定義為:在一定的工作條件下在規(guī)定的時間【0，t】中完成其預(yù)定功能的概率。因此,若單元的壽命為X，相應(yīng)的壽命（或失效）分布函數(shù)為F(t，則R(t=Px>t=1-F(t,其中t0。根據(jù)上式的概率含義，可靠度R(t又稱為生存函數(shù)。 一個生存到時刻t的單元，稱之為有年齡t。在其后長度為x的區(qū)間中失效的條件概率為    1若    2存在,則r(t稱為時刻t的(條件失效率。當(dāng)t很小時,r(tt可解釋為單元生存到t時刻的條件下,在(t,t+t】中失效的概率。當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，即F(t=(t存在時,則有r(t=(t/R(t，R(t&

4、gt;0,此時r(t與R(t之間有如下的基本關(guān)系R(t    3因此，F(xiàn)(t、R(t或r(t中任意一個都可用來描述不可修復(fù)單元的壽命特征。 對失效后可修復(fù)的系統(tǒng)，其狀態(tài)隨時間的進(jìn)程是正常與失效相交替的一個隨機(jī)過程。它的可靠性由不同的指標(biāo)來描述:系統(tǒng)首次失效前的時間T的概率分布及均值；任一時刻t系統(tǒng)正常的概率，即可用度；(0,t】中系統(tǒng)失效次數(shù)的分布和均值等。 壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析、壽命分布及分布類、結(jié)構(gòu)函數(shù)、網(wǎng)絡(luò)可靠性、故障樹分析、復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析以及可靠性中的最優(yōu)化等，是可靠性數(shù)學(xué)理論的主要研究內(nèi)容。 壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析壽命數(shù)據(jù)的收集和分析是可靠性定量評定的基礎(chǔ)。主要討論壽命

5、分布類型的確定及其參數(shù)估計。由于壽命試驗費錢、費時，試驗常常不能等到所有受試樣本都失效時才結(jié)束，此外，現(xiàn)場數(shù)據(jù)中可能有中途失去觀察的情形，因此獲得的壽命數(shù)據(jù)往往是不完全的樣本。對于這類不完全樣本的參數(shù)估計和分布類型檢驗，在數(shù)理統(tǒng)計中有專門的方法來處理，其中以壽命分布是指數(shù)時，結(jié)果最簡單(見壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。 壽命分布及分布類在實際中以下的壽命分布最常使用： 指數(shù)分布    4式中t0，而>0為參數(shù)。指數(shù)分布的失效率是常數(shù),適用于描述某些電子元器件使用期的壽命。 韋布爾分布    5   6當(dāng) <1時，r(t是單調(diào)遞減的；當(dāng)

6、>1時，r(t是單調(diào)遞增的；當(dāng)1時，r(t。由于韋布爾分布的參數(shù)適應(yīng)范圍大，已廣泛用于描述金屬疲勞、真空管、軸承等的壽命。 研究壽命分布的共同性質(zhì)，需要引入壽命分布類的概念。若對任意固定的x0,F(x|t是t0的遞增函數(shù)，即在同樣長的時間間隔x中，單元失效的概率隨年齡t增加，則F稱為屬于失效率遞增類,記為FIFR。當(dāng)r(t存在時，F(xiàn)IFR等價于r(t遞增。相仿地，可定義失效率遞減類，以及失效率平均遞增或遞減的類等。 壽命分布類研究中的典型問題有：由屬于同一分布類的單元所組成的系統(tǒng)，其壽命是否屬于相同的類，以及考察其可靠度界等。 結(jié)構(gòu)函數(shù)反映單元的狀態(tài)及由這些單元組成的系統(tǒng)的狀態(tài)之間的關(guān)系

7、。假定系統(tǒng)由n個單元組成,單元與系統(tǒng)都只有兩個狀態(tài):正常和失效,分別用1和0表示。用變量xi(取值0或1表示單元i的狀態(tài),尣=(x1,x2,xn是單元的狀態(tài)向量，用函數(shù)(尣表示系統(tǒng)的狀態(tài)，其定義為：    7(尣稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。 通常的系統(tǒng)具有如下的性質(zhì)：任一單元的失效不會使系統(tǒng)性能改善；系統(tǒng)中不包含多余的對其性能不發(fā)生影響的單元。這種系統(tǒng)稱為關(guān)聯(lián)系統(tǒng)。這一性質(zhì)可用結(jié)構(gòu)函數(shù)來表達(dá)：設(shè)(尣是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)。對任意的狀態(tài)向量尣，有(尣(,其中尣表示各xiyi；對任意的i（1in）,存在狀態(tài)向量尣使（0i,尣）=0，(1i, 尣=1,其中(0i,尣及(1i,尣表示尣的第i個分

8、量分別以0和1代替后所得的向量。 典型的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)有：串聯(lián)系統(tǒng)，即其中任一單元失效則系統(tǒng)失效；并聯(lián)系統(tǒng)，即當(dāng)所有單元失效時，則系統(tǒng)失效；k-out-of-n(F系統(tǒng),即當(dāng)其中k或k個以上的單元失效時系統(tǒng)就失效，它是串聯(lián)或并聯(lián)系統(tǒng)的推廣。在實際中,常用的2-out-of-3(F系統(tǒng)是由三個單元組成而按多數(shù)單元的狀態(tài)進(jìn)行表決的系統(tǒng)。這三種系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)分別為    8   9關(guān)聯(lián)系統(tǒng)研究的問題是復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的表達(dá)式、系統(tǒng)可靠度的求法及其上下界等。為了反映單元和系統(tǒng)功能的漸變性，多狀態(tài)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的研究已得到重視。 網(wǎng)絡(luò)可靠性 許多實際系統(tǒng)都可抽象成網(wǎng)絡(luò)。例如計

9、算機(jī)互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、輸油輸氣網(wǎng)絡(luò)等。假定一個網(wǎng)絡(luò)的頂點和邊（見圖論）只有正常和失效兩種狀態(tài)，而失效是互相獨立的，且已知每個頂點和邊正常的概率。從某一頂點能把信息發(fā)送到另一個（或 k個）指定的頂點的概率，稱為網(wǎng)絡(luò)的可靠度。在網(wǎng)絡(luò)可靠度的計算中，因其結(jié)構(gòu)復(fù)雜而必須尋找簡化網(wǎng)絡(luò)的方法以及有效的算法，并比較不同算法的優(yōu)劣。近年來已出現(xiàn)了不少較好的算法，關(guān)于計算的復(fù)雜性問題也有進(jìn)展。 故障樹分析 簡稱 FTA。用演繹法按事件發(fā)生的前后邏輯關(guān)系，找出引起系統(tǒng)失效或某個不希望出現(xiàn)的事件（稱作頂端事件）發(fā)生的所有事件的可能組合。例如，研究鍋爐爆炸事件T。造成爆炸的原因有諸如壓力過大等種種事件A,B,D。若

10、A，B，D之一發(fā)生就會引起T發(fā)生，則T與這些事件之間的關(guān)系就由邏輯門“或”來表示；若A、B同時發(fā)生才引起T發(fā)生,則T與A、B之間的關(guān)系就由邏輯門“與”來表示;循此下去,對A，B，D諸事件逐一分析,直到找出最基本的失效原因（基本事件）為止。其中    10表示“或”門;    11表示 “與”門; 表示事件；表示基本事件。 對一個頂端事件T 進(jìn)行故障樹分析時，其基本步驟是:建立故障樹；定性評定,即找出引起T發(fā)生的所有可能的基本事件的組合；定量評定，即根據(jù)基本事件發(fā)生的概率求T發(fā)生的概率。    12FTA起源于20世紀(jì)60年代初,已用于

11、宇宙航行、核電站安全分析等產(chǎn)業(yè)部門。由于這種方法形象直觀，便于工程和管理人員使用。這一方法的弱點是建立故障樹頗費時間和人力，對于復(fù)雜的系統(tǒng)，還難免會漏掉一些重要的失效原因。此外，評定復(fù)雜的故障樹必須借助于計算機(jī)來進(jìn)行。 對于包含有“非”門及其他邏輯門的故障樹的評定方法以及利用計算機(jī)輔助建立故障樹等,都是目前FTA研究的中心。 復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析 一個由1000個單元組成的系統(tǒng)是常見的，若每個單元的可靠度為0.999,單元間彼此獨立，任一單元失效均使系統(tǒng)失效，則系統(tǒng)的可靠度為    13可見相當(dāng)之低。因此為提高系統(tǒng)的可靠度（可用度）,可采用備件并聯(lián)工作等手段,或者在系統(tǒng)中引入修理和更換。討論的問題有：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、單元的壽命和修復(fù)（或更換）時間分布、系統(tǒng)中修理工數(shù)目和修理規(guī)則等，研究系統(tǒng)可靠性的定量指標(biāo)或者探討如何合理確定修理工數(shù)目或修理規(guī)則，使某個目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。通過數(shù)學(xué)模型，使用馬爾可夫過程、更新過程、馬爾科夫更新過程、補充變量法等分析方