第4章射影變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(1)VIP

1、第4章 射影變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(1)學(xué)習(xí)方法引薦本章內(nèi)容是在仿射變換的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究射影變換和在射影變換下的不變問(wèn)題.首先對(duì)點(diǎn)列和線束引入基本射影不變量交比.即從介紹交比概念，引入共線四點(diǎn)的交比和調(diào)和比，共點(diǎn)四線形的交比和調(diào)和比.在此基礎(chǔ)上討論兩個(gè)同類一維基本形的射影對(duì)應(yīng)，射影變換及其特殊情況對(duì)合，主要研究點(diǎn)列到點(diǎn)列的射影對(duì)應(yīng).在本章內(nèi)容中，交比是重要的概念，它是射影變換的基本不變量.一維基本形的射影對(duì)應(yīng)（變換）是平面射影幾何的基礎(chǔ).作為調(diào)和比的幾何背景本章還介紹了完全四點(diǎn)形及對(duì)偶圖形完全四線形的調(diào)和性，這兩個(gè)圖形的調(diào)和性也是射影幾何的重要不變性，它們?cè)谏溆皫缀沃幸簿哂兄匾匚?學(xué)習(xí)本章時(shí)要抓住

2、以下幾點(diǎn)：1.點(diǎn)列與線束的交比與調(diào)和比；2.完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性質(zhì)；3.一維基本形的射影對(duì)應(yīng)；4.一維基本形的對(duì)合.它們的基本內(nèi)容包括如下：1.點(diǎn)列與線束的交比和調(diào)和比（1）點(diǎn)列的四點(diǎn)的交比.我們知道，單比是仿射變換的基本不變量，但對(duì)于中心投影來(lái)說(shuō)，單比不是不變量.這樣就發(fā)生如何建立中心投影的基本不變量的問(wèn)題，這個(gè)基本不變量就是交比.交比是兩個(gè)單比的比，它有許多基本性質(zhì)，見(jiàn)教材中的定理.由這些定理知，共線四點(diǎn)A，B，C，D共有24種排列，即有24個(gè)交比，分為6類，每類的四個(gè)交比值相等.當(dāng)（AB，CD）=1時(shí)，CD調(diào)和分割線段AB，由調(diào)和分割的關(guān)系是對(duì)等的，因此A，B，C，D稱為調(diào)和點(diǎn)

3、列.（AB，CD）=（CD，AB）=1（2）交比的代數(shù)表示設(shè)點(diǎn)P1，P2，P的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），單比（P1P2P）=，則 （1）P的齊次坐標(biāo)（，），當(dāng)=1時(shí)，（1）式無(wú)意義.但當(dāng)1時(shí)，可得到P1，P2所在直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).所以（P1P2P）=1即一直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分其上任何兩點(diǎn)的單比等于1，也就是（P1P2，P3P）=（P1P2P3）如果四點(diǎn)P1，P2，P3，P4中，P1或P2為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則上式可作為交比的定義.設(shè)四個(gè)不同的共線點(diǎn)P1（A+1B），P2（A+2B），P3 (A+3B)，P4 (A+4B)，則其中i（i=1，2，3，4）彼此不相等.設(shè)四個(gè)不

4、同的共線點(diǎn)的三點(diǎn)及其交比k（k1，k0）為已知，則第四點(diǎn)必唯一確定.（3）線束的四直線的交比與調(diào)和比與點(diǎn)列的四點(diǎn)的交比類似，線束中四直線的的交比是利用三條直線的單比定義的.（AB，CD）=應(yīng)該注意，四直線的交比值與直線的取法無(wú)關(guān).如果線束S的四直線A，B，C，D被任何一條直線S截于四點(diǎn)A，B，C，D，則（AB，CD）=（AB，CD）由這個(gè)結(jié)論可以推出與點(diǎn)列交比性質(zhì)相類似的關(guān)于線束交比的性質(zhì)，因此也可知四條直線所構(gòu)成的24個(gè)交比值分為6類，每類的四個(gè)交比值相等.交比經(jīng)中心投影后不變，即交比為射影性質(zhì).2.完全四點(diǎn)形與完全四線形調(diào)和性利用完全四點(diǎn)形的性質(zhì)，可以解決“已知共線三點(diǎn)，求作第四調(diào)和點(diǎn)”的

5、作圖方法.設(shè)S，S'是完全四點(diǎn)形ABCD的一對(duì)對(duì)邊，它們的交點(diǎn)是對(duì)邊點(diǎn)X，X與其它二對(duì)邊點(diǎn)的連線是l，l'，圖4-1.則必有（SS'，ll'）=1 X S l' D l S' M Q C Y L A B E圖4-1設(shè)S，S'是完全四線形ABCD的一對(duì)對(duì)頂點(diǎn)，它們的連線是對(duì)頂線x，x與其它兩對(duì)頂線交點(diǎn)T，T'，圖4-2.則（SS'，TT'）=1. T S y A x D T' C A S' 圖4-23.一維基本形的射影對(duì)應(yīng)（1）透視對(duì)應(yīng)如果一個(gè)點(diǎn)列和一個(gè)線束的元素之間建立了一一對(duì)應(yīng)且對(duì)應(yīng)元素是結(jié)合的，

6、則這個(gè)對(duì)應(yīng)叫做透視對(duì)應(yīng)，點(diǎn)列和線束叫做透視的.顯然，點(diǎn)列與線束的透視關(guān)系具有對(duì)稱性.點(diǎn)列與點(diǎn)列或線束與線束的透視關(guān)系都具有對(duì)稱性.交比在透視對(duì)應(yīng)下不變.（2）射影對(duì)應(yīng)兩個(gè)一維基本圖形之間的射影對(duì)應(yīng)的性質(zhì)：是一一對(duì)應(yīng)的AB則BA具有傳遞性，即若AB，BC，則AC兩個(gè)點(diǎn)列間的一一對(duì)應(yīng)是射影對(duì)應(yīng)任何四點(diǎn)的交比與其對(duì)應(yīng)四點(diǎn)的交比相等.已知兩個(gè)一維圖形的三對(duì)對(duì)應(yīng)元素，那么可以確定唯一一個(gè)射影對(duì)應(yīng).兩個(gè)點(diǎn)列間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)它們底的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng).兩個(gè)線束間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)它們頂點(diǎn)的連線自對(duì)應(yīng).4.一維基本形的對(duì)合對(duì)合是射影變換的一種特殊的情況，在對(duì)合里每對(duì)對(duì)應(yīng)元素的每個(gè)元素歸入哪個(gè)基本形都可以.射影

7、變換成為對(duì)合對(duì)應(yīng)的充分必要條件.重點(diǎn)、難點(diǎn)解析1.交比和調(diào)和比仿射變換（對(duì)應(yīng)）是對(duì)平行射影而言的，單比是仿射幾何中最重要的概念，它又是仿射變換的基本不變量.在研究中心射影時(shí)，我們引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)元素.可以證明，在中心射影下，共線三點(diǎn)的單比不是不變量.由此引入交比概念，首先研究共線四點(diǎn)的交比（1）關(guān)于交比的定義定義（4.2）把交比定義為兩個(gè)單比的比，即共線四點(diǎn)A，B，C，D的交比定義為兩個(gè)單比（ABC）和（ABD）的比，表為(AB,CD)=.交比也稱復(fù)比，即兩個(gè)單比之比的意思.這種定義可稱為幾何定義.交比還有另一種定義，即代數(shù)法定義：設(shè)四個(gè)不同的共線點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)順次為A，B，A+1B，A+

8、2B，則 (AB，CD)=以上兩種定義方法是不同的.用第一種方法定義(AB，CD)=，所用坐標(biāo)的非齊坐標(biāo)，AC，BD，BC，AD都指有向線段的代數(shù)長(zhǎng)度；第二種定義方法(AB，CD)=,用齊次坐標(biāo).例如，共線四點(diǎn)A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5，-5），求（AB，CD）時(shí)，可把A和B作為基礎(chǔ)點(diǎn)對(duì)，則C=A + B，1=1，D= 2A-3B，2 =所求交比 = 注意，第二種定義方法采用齊次點(diǎn)坐標(biāo)，可以不限制這四個(gè)點(diǎn)中是否有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).所以，定義(AB，CD)=，還屬于歐氏平面上的定義，不能解決無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的問(wèn)題，在射影平面，應(yīng)使用(AB，CD)=的定義方法.關(guān)于交比的

9、定義，要注意以下問(wèn)題： A，B，C，D四點(diǎn)必須共線，而且要考慮順序，順序不同則交比不同； AC，BD，BC，AD都是有向線段的代數(shù)長(zhǎng)，因而交比（AB，CD）是個(gè)數(shù)值.（2）交比的性質(zhì)由于A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的編排順序不同，所得的交比也不同，共線四點(diǎn)可以組成24種編排順序，因而可以有24個(gè)交比值.由交比的性質(zhì)原理可知，對(duì)于每個(gè)排列，還有另三種排列，它們的交比等于已知排列的交比，因此，這24種排列所產(chǎn)生的交比值，實(shí)際上只有6類，并且在24個(gè)排列中，只要求出1個(gè)交比值，就可求出其它23個(gè)交比值.例如，已知（AB，CD）=3，則可知（DC，BA）=（BA，DC）=（AB，CD）=3.而（AC，BD）=

10、1（AB，CD）= 2（3）幾個(gè)特殊的交比共線四點(diǎn)A，B，C，D中，設(shè)A，B，C是固定點(diǎn)，第四點(diǎn)D沿直線移動(dòng).可以證明，點(diǎn)D在直線上的每個(gè)位置都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的交比（AB，CD）的值.點(diǎn)D的不同位置對(duì)應(yīng)不同的交比值，不然的話，假設(shè)點(diǎn)D和D'在兩個(gè)不同的位置，且有（AB，CD）=（AB，CD'）則，因而（ABD）=（ABD'）這只有在D = D'時(shí)，等式才成立，因此，（AB，CD）的每個(gè)值，對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的一個(gè)確定的位置.當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)中有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，還可以用其他方法證明這個(gè)結(jié)論.證明如下：設(shè)已知三點(diǎn)的坐標(biāo)是AB，AB，AB則由 （其中k為定值，且k0，1）可以求出，確定第四

11、點(diǎn).因此第四點(diǎn)AB唯一確定.下面討論交比的幾個(gè)特殊情況D與C重合時(shí)，則有（AB，CD）= 1當(dāng)D與B重合時(shí)，則有（AB，CD）=（AB，CB）= = 0當(dāng)D與A重合時(shí)，（AB，CD）=（AB，CA）= D為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，則有（AB，CD）=（AB，CD）=（ABC）可以看出，若第四點(diǎn)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則其交比等于前三個(gè)點(diǎn)的單比（ABC），利用這個(gè)性質(zhì)若無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不在第四個(gè)點(diǎn)的位置，可以交換到第四個(gè)點(diǎn)的位置，以求其交比.（4）點(diǎn)列中四點(diǎn)的調(diào)和比調(diào)和比是交比的重要特例.當(dāng)（AB，CD）=1時(shí)，稱為C，D調(diào)和分割A(yù)，B.或稱點(diǎn)偶A，B與點(diǎn)偶C，D調(diào)和共軛.D叫做A，B，C的第四調(diào)和點(diǎn).應(yīng)當(dāng)注意，在調(diào)和分割中，

12、兩對(duì)點(diǎn)的關(guān)系是完全對(duì)等的.點(diǎn)列中四點(diǎn)A，B，C，D所組成的交比可以有六個(gè)交比值，在一般情況下，這六個(gè)交比值是不等的，但當(dāng)且僅當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)適當(dāng)?shù)鼐幣彭樞?，可以組成調(diào)和共軛的兩對(duì)點(diǎn)偶時(shí)，（注意排除兩點(diǎn)重合和虛點(diǎn)不考慮），那么這六個(gè)交比值才有相同的.（5）線束的交比和調(diào)和比由定義知，四直線A，B，C，D的交比為=，注意這個(gè)定義中數(shù)目的排列.要注意定理4.7：如果線束S的四線A，B，C，D被任何一條直線S截于四點(diǎn)A，B，C，D，則（AB，CD）=（AB，CD）的證明.在上述定理中，若點(diǎn)S，A，B，C，D都是有窮遠(yuǎn)元素時(shí)，或者，當(dāng)S為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或S為無(wú)窮遠(yuǎn)直線時(shí)（即A，B，C，D都是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)），此定理仍成立

13、.即（AB，CD）的值與直線S的取法無(wú)關(guān)，所以仍可?。ˋB，CD）=（AB，CD）定理4.7是一個(gè)非常重要的定理，由于定理可以證明“兩點(diǎn)列同時(shí)截一線束，則此點(diǎn)列上對(duì)應(yīng)四點(diǎn)的交比相等.”還可以推廣證明投影于同一點(diǎn)列的兩線束的四條對(duì)應(yīng)直線的交比相等.可以知道，此定理使點(diǎn)列和線束的問(wèn)題溝通了，為研究交比是中心射影下的不變量打下基礎(chǔ)，同時(shí)點(diǎn)列和線束的問(wèn)題可以對(duì)偶地進(jìn)行研究.（6）有關(guān)交比的作圖問(wèn)題 有關(guān)交比的作圖可以根據(jù)共線四點(diǎn)的交比的定義，借助初等幾何作圖來(lái)完成，需要用相應(yīng)例題來(lái)理解. 第四調(diào)和點(diǎn)的作圖l 用“一角兩條邊和這個(gè)角內(nèi)外平分線調(diào)和共軛”作第四調(diào)和點(diǎn).l 利用相似三角形作第四調(diào)和點(diǎn).（7）

14、利用交比的調(diào)和共軛解初等幾何問(wèn)題 交比和調(diào)和共軛是幾何學(xué)中的重要概念，它們?cè)趲缀蔚难芯恐杏兄匾淖饔?，運(yùn)用這些概念和有關(guān)性質(zhì)，可以解決一些初等幾何問(wèn)題主要在以下三個(gè)方面： 角平分線的調(diào)和性. 利用交比證明有關(guān)圓的問(wèn)題. 與圖有關(guān)的調(diào)和共軛問(wèn)題. 2.完全四點(diǎn)形和完全四線形的調(diào)和性 完全四點(diǎn)形和完全四線形是射影幾何中的重要圖形，由于這兩個(gè)圖形具有調(diào)和性，而交比又是射影變換的不變量，所以對(duì)完全四點(diǎn)形的性質(zhì)的研究在射影幾何中占有重要地位. 值得注意的是，在前面調(diào)和比是用交比來(lái)定義的，而交比之定義為單比之比，所以定義調(diào)和比此時(shí)用了變量概念.對(duì)完全四點(diǎn)形的性質(zhì)的研究，可以使我們完全不用度量概念，而使用下

15、列方法來(lái)定義調(diào)和比或調(diào)和共軛.即“一直線S上的點(diǎn)偶A，B與C，D，A，B是一個(gè)完全四點(diǎn)形的對(duì)邊點(diǎn)，C，D是通過(guò)第三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)的兩條對(duì)邊與S的交點(diǎn)，則A，B與C，D成調(diào)和共軛”.這種定義是綜合地純射影的定義，這種定義方法只與直線和直線相交的作圖有關(guān)，與度量無(wú)關(guān).由于完全四點(diǎn)形的調(diào)和性是射影性質(zhì)，所以它的對(duì)偶圖形完全四線形也有調(diào)和性.學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容時(shí)還應(yīng)注意以下問(wèn)題：（1）注意完全四點(diǎn)形與中學(xué)所熟悉的四邊形的區(qū)別.四邊形指簡(jiǎn)單四邊形，由頂點(diǎn)依次連接而成，頂點(diǎn)數(shù)等于邊數(shù)，均為4，如圖4-3.ABCD為簡(jiǎn)單四邊形.而完全四點(diǎn)形是平面內(nèi)無(wú)三點(diǎn)共線的四點(diǎn)及其兩兩連線所構(gòu)成的圖形，如圖4-4.完全四點(diǎn)形ABC

16、D有四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D，有六條邊（即任何兩頂點(diǎn)的連線都是邊），通過(guò)同一頂點(diǎn)的邊叫鄰邊，不通過(guò)同一頂點(diǎn)的邊叫對(duì)邊，因此有三對(duì)對(duì)邊：AB與CD；AC與BD；AD與BC，對(duì)邊交點(diǎn)叫對(duì)邊點(diǎn)，共三個(gè)，即AB×CD=X，AC×BD=Y，AD×BC=Z.三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)組成對(duì)邊三點(diǎn)形XYZ. B CD A Y C D X Z A B圖4-3 圖4-4完全四點(diǎn)形的一對(duì)對(duì)邊被通過(guò)這兩個(gè)邊交點(diǎn)的對(duì)邊三點(diǎn)形的兩邊調(diào)和分割.完全四線形的一對(duì)對(duì)頂點(diǎn)被連接這兩個(gè)點(diǎn)的對(duì)角三角形的兩邊調(diào)和分割.（2）利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性作第四調(diào)和點(diǎn)我們知道，一直線l上的點(diǎn)偶P1，P2，Q1，Q2成為調(diào)和共軛的充

17、要條件是：“P1和P2是一個(gè)完全四點(diǎn)形的對(duì)邊點(diǎn)，Q1和Q2是通過(guò)第三個(gè)對(duì)邊點(diǎn)的兩條對(duì)邊與l的交點(diǎn)”，根據(jù)這個(gè)道理，可以通過(guò)完全四點(diǎn)形的作圖來(lái)作第四調(diào)和點(diǎn).如圖4-5，已知直線l上有三點(diǎn)P1，P2，P3，求作點(diǎn)P4，使（P1P2，P3P4）=-1.作法如下：過(guò)P1P2若任作一直線交于點(diǎn)A，在P2A上任取一點(diǎn)B，連BP3，過(guò)P1A于點(diǎn)C，再連P2C，P1B，交于點(diǎn)D.連AD與L交于P4，則P4為所求第四調(diào)和點(diǎn). A C B D l P1 P4 P2 P3圖4-5應(yīng)當(dāng)指出，以上作圖是只用一根直尺完成的.而且過(guò)P1，P2的直線是任意作的，但P4點(diǎn)是唯一的，這由笛沙格定理保證.在圖4-5中，根據(jù)定理，若

18、P4為P1P2中點(diǎn)，則P為l上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是利用直尺可以作出CB / P1P2，反之，如果知道 CB / P1P2，也可以用一根直尺求P1P2中點(diǎn).（3）應(yīng)用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性解初等幾何問(wèn)題.利用完全四點(diǎn)形的調(diào)和性，可以比較簡(jiǎn)捷地解決一些初等幾何中的共點(diǎn)和共線問(wèn)題.例如，三角形三個(gè)頂角的外角平分線交其對(duì)邊的三點(diǎn)共線.3.一維基本形的射影對(duì)應(yīng)（1）什么叫一維基本形基本形，指以點(diǎn)、直線、平面為元素所形成的某些無(wú)窮集合，一維基本形指點(diǎn)列和線束.什么叫一維呢？關(guān)于維的概念，要注意幾何學(xué)的維與空間的維是有區(qū)別的.幾何學(xué)中的維數(shù)，指幾何元素活動(dòng)的自由度，也就是幾何元素的坐標(biāo)或參數(shù)必不可少的數(shù)目，這個(gè)數(shù)就是

19、幾何學(xué)的維數(shù).此如平面內(nèi)的點(diǎn)和直線應(yīng)該有兩個(gè)坐標(biāo)，但在點(diǎn)列中以A，B為基點(diǎn)的任一點(diǎn)坐標(biāo)可以表為A，B的坐標(biāo)的線性組合，即C = A + B，其中為參數(shù)，所以點(diǎn)列中的點(diǎn)可以用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示（對(duì)于線束也有類似結(jié)論）.也就是說(shuō)，點(diǎn)列的每個(gè)點(diǎn)（或線束中的每一直線）都可以用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示，點(diǎn)列和線束就叫一維圖形.點(diǎn)列和線束就是一維幾何研究的對(duì)象.關(guān)于空間的維數(shù)，是指把直線，平面或空間都看成四點(diǎn)構(gòu)成，空間的維數(shù)是點(diǎn)活動(dòng)的自由度，所以直線叫一維空間.平面叫二維空間，我們生活的空間叫三維空間.由于幾何學(xué)研究的元素不限于點(diǎn)，所以幾何學(xué)中的維與所處空間的維不同.比如，平面上的直線幾何應(yīng)該叫二維幾何學(xué)，這是由于

20、把直線看作基本元素，平面上決定直線需要兩個(gè)比值，即必不可少的參數(shù)為2.（2）一維基本形的透視對(duì)應(yīng)與射影對(duì)應(yīng)的關(guān)系在前幾章所討論的透視仿射對(duì)應(yīng)是對(duì)平行射影而言，本章所論的透視對(duì)應(yīng)則對(duì)中心投影而言，透視對(duì)應(yīng)包括點(diǎn)列和線束之間的透視對(duì)應(yīng)；點(diǎn)列與點(diǎn)列之間的透視對(duì)應(yīng).在定義中可以將點(diǎn)列換成線束，或把線束換成點(diǎn)列.所以點(diǎn)列與線束的透視對(duì)應(yīng)具有對(duì)稱性.由透視對(duì)應(yīng)的定義還可以看出，透視對(duì)應(yīng)保持四元素的交比不變.但透視關(guān)系不滿足傳遞性.需要注意，透視對(duì)應(yīng)一定是射影對(duì)應(yīng)，但射影不一定成透視對(duì)應(yīng)，因此，透視對(duì)應(yīng)與射影對(duì)應(yīng)是特殊與一般的關(guān)系.射影對(duì)應(yīng)必是一一對(duì)應(yīng)，且具有傳遞性、對(duì)稱性、反身性，即具有等價(jià)關(guān)系.透視對(duì)應(yīng)

21、在什么條件下才成為射影對(duì)應(yīng)呢？由定理知，兩個(gè)點(diǎn)列間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充要條件是它們的底的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng)也就是它們的公共元素自對(duì)應(yīng).兩個(gè)點(diǎn)列成射影對(duì)應(yīng)時(shí)，把它們的公共點(diǎn)看作是第一個(gè)點(diǎn)列的點(diǎn)時(shí)，它在第二個(gè)點(diǎn)列上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，一般情況下不是它本身，只有當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)列成透視對(duì)應(yīng)時(shí)，其公共元素才自對(duì)應(yīng).應(yīng)該注意，如果一維射影對(duì)應(yīng)使無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則該對(duì)應(yīng)一定是仿射對(duì)應(yīng)，要證明這個(gè)結(jié)論，只需證明這種對(duì)應(yīng)保持單比不變.由于射影對(duì)應(yīng)保持交比不變.所以，仿射對(duì)應(yīng)可看作特殊的射影對(duì)應(yīng).4.一維基本形的對(duì)合（1）關(guān)于對(duì)合概念對(duì)合對(duì)應(yīng)是重要的，特殊的射影變換.在兩個(gè)重疊的射影對(duì)應(yīng)的一維基本形中，第一個(gè)基本形的元素P對(duì)應(yīng)

22、第二個(gè)基本形的元素P'，但如果把P'看作第一個(gè)基本形的元素，那么它在第二個(gè)基本形里不一定對(duì)應(yīng)P.但如果這個(gè)對(duì)應(yīng)為對(duì)合對(duì)應(yīng)，則根據(jù)對(duì)合定義“在兩個(gè)重疊而且射影對(duì)應(yīng)的一維基本形里，如果對(duì)于任何元素，無(wú)論看作屬于第一個(gè)基本形或第二基本形，它的對(duì)應(yīng)元素是一樣的，那么這種非恒等的射影變換叫做對(duì)合（對(duì)應(yīng)）”.那么P'就一定對(duì)應(yīng)P.若兩個(gè)重疊一維基形成射影對(duì)應(yīng)，可假設(shè)兩個(gè)重疊點(diǎn)列成射影對(duì)應(yīng)，在什么條件下才成為對(duì)合呢？實(shí)際上只要有一對(duì)對(duì)應(yīng)元素符合對(duì)合條件，則這種射影變換一定是對(duì)合.（2）對(duì)合的代數(shù)表示和確定對(duì)合是特殊的射影變換，從對(duì)合的代數(shù)表示，也可以看出射影變換成為對(duì)合的條件，即在射

23、影變換式，中，若是對(duì)合，則有B = C，反之也成立.上式說(shuō)明射影變換范圍比對(duì)合大.我們知道，三對(duì)對(duì)應(yīng)元素決定唯一一個(gè)射影變換，如果是對(duì)合，則只要有不重合的兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)便可決定唯一一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng).判定一個(gè)射影變換是否為對(duì)合對(duì)應(yīng)，也可用如下事實(shí)：對(duì)合對(duì)應(yīng)存在兩個(gè)二重元素，射影變換是對(duì)合的充要條件是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)元素與兩個(gè)二重元素調(diào)和共軛.例如，求由兩個(gè)二重點(diǎn)1，2所確定的對(duì)合方程，可有兩種解法.解法1 設(shè)對(duì)合方程為將1，2代入，得A+2B+D= 0 4A+4B+D= 0代入對(duì)合方程，得2'-3（+'）+ 4 = 0解法2 利用（12，x x'）= -1其中x，x'為一對(duì)對(duì)

24、合點(diǎn)的坐標(biāo)則即2xx'3（x+x'）+ 4 = 0典型例題例1 填空題（1）兩線束間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充分必要條件為 .（2）兩點(diǎn)列間射影對(duì)應(yīng)由 對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.（3）共線四點(diǎn)的交比是 不變量.（4）兩個(gè)點(diǎn)列經(jīng)過(guò)中心投影， 不變.（5）不重合的 對(duì)應(yīng)元素，可以確定唯一一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng).解 （1）由定理知，兩線束間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充分必要條件是：兩個(gè)線束的公共線自對(duì)應(yīng).（2）已知射影對(duì)應(yīng)被其三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所唯一確定，因此兩個(gè)點(diǎn)列間的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)可以決定唯一一個(gè)射影對(duì)應(yīng).（3）共線四點(diǎn)的交比是射影不變量.（4）兩個(gè)點(diǎn)列經(jīng)過(guò)中心投影，交比不變.（5）不重合的兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素，可以確定唯

25、一一個(gè)對(duì)合對(duì)應(yīng).例2 單選題（1）若（AB,CD）=r，則（DB，AC）=（ ）A. B. C. D.（2）設(shè)A，B，A +1B，A +2B是四條不同的有窮遠(yuǎn)共點(diǎn)直線l1，l2，l3，l4的齊次坐標(biāo)，則（l1l2，l3l4）=（ ）A.1 B.2 C. D.12 （3）設(shè)1，2，3，4是四個(gè)不同的共線點(diǎn)，如果（12，34）=（23，41）則（13，24）=（ ）A.1 B.1 C.0 D.解 由交比的運(yùn)算定理，（1）選D；（2）選C（3）選A例3 求證P1（3，1），P2（7，5）與P3（6，4），P4（9，7）成調(diào)和共軛.分析 可以采用非齊次坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)兩種方法進(jìn)行證明解法1 (P1P2，

26、P3P4)=-1解法2 將P1，P2，P3，P4寫(xiě)成齊次坐標(biāo)，則P1（3，1，1），P2（7，5，1），P3（6，4，1），P4（9，7，1）可以寫(xiě)作P3（24，16，4），P4（-18，-14，-2）于是 P3 =P1 +3P2 P4 =P1 -3P2(P1P2，P3P4)=-1例4 求證：一角的兩條邊與這個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和共軛.證法1 利用共點(diǎn)直線成調(diào)和共軛的定義進(jìn)行證明.如圖4-6所示，角的兩邊為A，B，其內(nèi)外角平分線分別為l1，l2(AB，l1l2)= （ABl1）=1（ABl2）= -1 (AB，l1l2) = -1 S A B l2 l1 A B 圖4-6證法2 用代數(shù)法設(shè)取原

27、點(diǎn)在三角形SAB內(nèi)部，A×B分別在A，B直線上.設(shè)SA的法線方程為，設(shè)SB的法線方程為，為了求內(nèi)角分線l1和外角分線l2方程，利用角平分線的幾何特性，設(shè)P（x，y）為角平分線l1上的任一點(diǎn)，則它們到A，B的距離相離，即=或或取l1為即，即 l2為即，即( AB，l1l2)=證法3 根據(jù)定理，如圖4-7，若用直線l1 / l2求截角的兩邊A，B分別交A，B于A，B，交l1于T1，交l2于T，則由l1和l2互相垂直，可知ST1l1，又l1為角平分線，由初等幾何定理，可知SAB為等腰三角形，且有AT1=T1B，即T1為AB中點(diǎn)，根據(jù)定理知 (AB，T1T)=-1 (AB，l1l2 )=-1

28、 S A T1 B l A l1 B圖4-7例5 若A，B，C，D為共線四點(diǎn)，且（AB，CD）=-1，CD中點(diǎn)為O，求證OC2=OA·OB證明 (AB，CD)= 即AC·BD+BC·AD= 0把AC，BD，BC，AD都以0為原點(diǎn)表示，則有（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）= 0整理得 2（OA·OB+OC·OD）=(OA+OB)(OC+OD)而 OD=-OC 2(OA·OB-OC2)=(OA+OB)(OD-OC)=0即 OC2=OA·OB例6 設(shè)三直線 求證以p1= 0，p2= 0，p3= 0為三邊的

29、三角形的重心由方程給出. A l3 p1 p2 E q3 q1 B O p3 C圖4-8分析 如圖4-8，ABC三邊AB，AC，BC的方程分別為p1= 0，p2= 0，p3= 0.設(shè)BC邊上中線AO的方程q3=0.過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線l3，則l3的斜率為.由于l3過(guò)p1和p2的交點(diǎn)A，所以l3可由p1和p2線性表示，即l3的方程為l3的斜率為 l3的方程為由于l3與BC平行，所以l3與BC交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)L，又D為BC中點(diǎn)，（BC，DL）= -1兩條直線截同一線束，所得對(duì)應(yīng)四點(diǎn)的交比不變，可得（p1p2，q3l3）=-1 q3的方程為同理q1的方程為則q1與q3的交點(diǎn)為例7 已知A，B，C三直線交

30、于點(diǎn)P，試用直尺作出第四條直線和它們成調(diào)和共軛.作法：如圖4-9. A，B，C三直線交于點(diǎn)P，任作不通過(guò)P點(diǎn)的直線l，l與直線A，B，C分別交于A，B，C三點(diǎn)，在PA上任取一點(diǎn)M，連BM交PC于N.連AN交PB于K，連MK交l于P，則有（AB，CD）=-1.連PD，即為所求第四調(diào)和線D，即（AB，CD）= -1 P M B C D A N K l A C B D如圖4-9例8 已知三點(diǎn)形ABC及平面上一點(diǎn)P（P不在ABC的任一邊上）.AP，BP，CP與對(duì)邊交于A'，B'，C'，且BC與B'C'交于A1，CA與C'A'交于B1，AB與A&#

31、39;B'交于C1. 如圖4-10.求證：（1）（BC，AA'）= -1，（CA，B1B'）= -1（2）A1，B1，C1三點(diǎn)共線.證明（1）由完全四點(diǎn)形C'AB'P的調(diào)和性，可知（BC，A1A'）= -1又（B，C，A1，A'）（A，C，B'，B1）（CA，B1B'）=（AC，B'B1）=（BC，A1A'）= -1（2）由三點(diǎn)形ABC和A'B'C'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)P，由笛沙格定理可知，對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)A1，B1，C1共線. C B1 P A C B' A' B A1 C&

32、#39;圖4-10例9 巴卜斯命題：設(shè)A1，B1，C1與A2，B2，C2為同一平面內(nèi)兩直線上的兩組共線點(diǎn)，B1C2與B2C1交于L，C1A2與C2A1交于M，A1B2與A2B1交于N.如圖4-11.求證L，M，N共線.證明 A1 B1 N D C1 M E L A2 B2 C2 O圖4-11（B1，D，N，A2）（O，C2，B2，A2） （B1，C2，L，E）（B1，D，N，A2）（B1，C2，L，E）由于兩點(diǎn)列底的交點(diǎn)B1自對(duì)應(yīng)，有（B1，D，N，A2）（B1，C2，L，E）因此DC2，NL，A2E三直線共點(diǎn)M.即L，M，N共線. 例10 如果三角形中一個(gè)角平分線過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是

33、等腰三角形.證明 如圖4-12，由于M為AB中點(diǎn)，CN為外角平分線，則有（AB，CN）= -1（ABM）= -1，（ABN）= 1即 而 從而，AC=BC. C N A M B N圖4-12自測(cè)練習(xí)1.填空題（1）兩點(diǎn)列間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充分必要條件是 .（2）共線四點(diǎn)的調(diào)和比為 .（3）四個(gè)共線點(diǎn)A，B，C，D，如果（AB，CD）=r，則（DA，BC）= .（4）一維基本形的射影變換的不變?cè)氐膫€(gè)數(shù) .（5）射影變換有 對(duì)對(duì)應(yīng)元素滿足對(duì)合對(duì)應(yīng)的要求，則一定是對(duì)合.2.單選題（1）A，B，C，D為共線四點(diǎn)，且（CD，BA）= k，則（BD，AC）=（ ）.A. B.C. D.k（2）（

34、）對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素，確定唯一一個(gè)射影對(duì)應(yīng).A.1 B.2C.3 D.4（3）兩個(gè)一維基本形成射影對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)四元素的交比（ ）.A.相等 B.不等C.1 D.-1（4）線束S的四直線A，B，C，D被任何一條直線S截于四點(diǎn)A，B，C，D，若（AB，CD）=k，則（AB，CD）=（ ）A. B.1-kC. D.k3.A，B，C，D為共線四點(diǎn)，如圖4-13所示，相鄰兩點(diǎn)距離相等，計(jì)算這四點(diǎn)形成的各交比值. A B C D · · · ·圖4-134.設(shè)A，B，C，D，E為直線上五點(diǎn)，求證：（AB，CD）·(AB，DE)·(AB，EC) = 15.已知點(diǎn)A=（1，1，1），B=（1，-1，1），C=（1，O，1）且（AB，CD）= 2，求C點(diǎn)坐標(biāo).6.若直線l1，l2，l3，l4的方程為（1），（2），求（l1l2，l3l4）.7.設(shè)P1，P2分別是坐標(biāo)軸上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，P3是斜率為1的直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，又（P1P2，P3P4）= m，求P4的坐