機(jī)械振動(dòng)復(fù)習(xí)題及解答

1、1、某測(cè)量低頻振動(dòng)用的測(cè)振儀（倒置擺）如下圖所示。試根據(jù)能量原理推導(dǎo)系統(tǒng)靜平衡穩(wěn)定條件。若已知整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，彈簧剛度，小球質(zhì)量，直角折桿的一邊。另一邊。試求固有頻率。解：彈性勢(shì)能 ,重力勢(shì)能 總勢(shì)能 代入可得可求得滿足上式。再根據(jù)公式判別位置是否穩(wěn)定及其條件：即滿足條件時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)方可在位置附近作微幅振動(dòng)。系統(tǒng)的動(dòng)能為 代入可得由為穩(wěn)定位置，則在微振動(dòng)時(shí)，可得線性振動(dòng)方程為：固有頻率代入已知數(shù)據(jù)，可得2、用能量法解此題：一個(gè)質(zhì)量為均勻半圓柱體在水平面上做無(wú)滑動(dòng)的往復(fù)滾動(dòng)，如上圖所示，設(shè)圓柱體半徑為R，重心在c點(diǎn),oc=r,，物體對(duì)重心的回轉(zhuǎn)體半徑為L(zhǎng)，試導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)微分方程。解：如圖所示，在

2、任意角度（t）時(shí)，重心c的升高量為=r（1cos）=2rsin取重心c的最低位置為勢(shì)能零點(diǎn)，并進(jìn)行線性化處理，則柱體勢(shì)能為 V=mg=2mg r sin mgr （a）Ib=Ic+m2=m(L2+2) （b）2=r2+R2-2rRcos(t) （c）而柱體的動(dòng)能為 T=I 把（b）式，（c）式兩式代入，并線性化有T=mL（Rr） （d）根據(jù)能量守恒定理，有mL（Rr）mgr=E=const 對(duì)上式求導(dǎo)并化簡(jiǎn)，得運(yùn)動(dòng)微分方程為 L（Rr）gr=0 （e）3、一質(zhì)量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的圓柱體作自由純滾動(dòng)，圓心受到一彈簧約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，逆時(shí)針為正，靜平衡位置時(shí)

3、，則當(dāng)有轉(zhuǎn)角時(shí)，系統(tǒng)有： 由可知： 解得 （rad/s）4、圖中，半徑為r的圓柱在半徑為R的槽內(nèi)作無(wú)滑滾動(dòng)，試寫(xiě)出系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí)的微分方程 解 1）建立廣義坐標(biāo)。設(shè)槽圓心O與圓柱軸線O1的連線偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?）寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。圓柱的動(dòng)能由兩部分組成，即它跟隨質(zhì)心的移動(dòng)動(dòng)能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能，而質(zhì)心的速度為，圓柱相對(duì)于質(zhì)心的角速度，因此系統(tǒng)的動(dòng)能為 若取系統(tǒng)靜平衡時(shí)的勢(shì)能為零，則在一般位置系統(tǒng)的勢(shì)能為 U=mg(R-r)(1-cos)3）利用能量守恒原理得到當(dāng)系統(tǒng)作微小振動(dòng)時(shí) 很小，sin，不恒等于零，方程就簡(jiǎn)化為。5、單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子如圖（a）所示，可化簡(jiǎn)為圖

4、（b）所示的簡(jiǎn)支梁系統(tǒng)，求其在跨度中點(diǎn)垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。解：當(dāng)忽略軸的質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖（b）的模型，這是一個(gè)彎曲變形振動(dòng)問(wèn)題。為了求其剛度，按照材料力學(xué)中的公式，其跨度中點(diǎn)在集中力P的作用下，產(chǎn)生的撓度y為則由k=P/y得到 系統(tǒng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為“m-k”系統(tǒng)，則單自由度系統(tǒng)的自然頻率為 6、機(jī)械式振動(dòng)儀原理圖如圖所示。支承于水平軸的擺連接一個(gè)剛度為的螺線彈簧，在重力作用下擺的平衡位置偏離水平線成角。設(shè)擺在水平線上方成角處，螺線彈簧不受力。擺的質(zhì)量為，它繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，擺重心至軸的距離為,擺可圍繞平衡位置作微幅振動(dòng)，求其固有頻率。振動(dòng)儀原理圖解：方法一：當(dāng)擺處于平衡位置時(shí)，有

5、擺的微振動(dòng)角位移記為，由動(dòng)量矩定理，可得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程為考慮到式，并精確到一階小量，上式可線性化為因此，擺的振動(dòng)固有頻率為方法二：能量法由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。這時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能可以分別表示為由,可得因此，擺的振動(dòng)固有頻率為7、例： 重物落下，與簡(jiǎn)支梁做完全非彈性碰撞,梁長(zhǎng) L，抗彎剛度 EJ 其中給出由材料力學(xué) ：求：梁的自由振動(dòng)頻率和最大撓度mh0l/2l/2mh0l/2l/2x靜平衡位置解：取平衡位置以梁承受重物時(shí)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系靜變形：自由振動(dòng)頻率為 ：撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻，則 t=0 時(shí)，有： 則自由振動(dòng)振幅為 ： 梁的最大擾度： 8、質(zhì)量m=0.5Kg

6、的物塊，沿光滑斜面無(wú)初速度滑下，如上圖所示。當(dāng)物塊從高度h=0.1m時(shí)撞于彈簧上并不在分離。彈簧的剛度系數(shù)為k=0.8KN/m,傾角=30°，求此系統(tǒng)的固有頻率和振幅，并寫(xiě)出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。解：物塊平衡時(shí)，彈簧的變形為 (1)以物塊平衡位置O為原點(diǎn)，建立圖示x坐標(biāo)。物塊受力如圖所示，其運(yùn)動(dòng)微分方程為 將式（1）帶入上式，化簡(jiǎn)后得 系統(tǒng)的固有頻率為 當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間t=0,作為振動(dòng)的起點(diǎn)。則運(yùn)動(dòng)的的初始條件為： 初位移： 初速度： 代入式 和 得 則物塊的運(yùn)動(dòng)方程為 （mm)9、今有離心式自動(dòng)脫水洗衣機(jī)，質(zhì)量為M=2000kg，有四個(gè)垂直的螺旋彈簧支撐，每個(gè)彈簧的剛度由試驗(yàn)測(cè)定為k=830N/cm，另有四個(gè)阻尼器，總的相對(duì)阻尼系數(shù)為=0.15。簡(jiǎn)化如圖所示。洗衣機(jī)在初次脫水時(shí)以n=300r/min運(yùn)行。此時(shí)衣物的偏心質(zhì)量為m=13kg，偏心距為e=50cm。試計(jì)算其垂直振幅。由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，在計(jì)算其垂直方向振幅時(shí)，可作為單自由度系統(tǒng)來(lái)處理。Mxkk解 偏心質(zhì)量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機(jī)機(jī)體在垂直方向上的受迫運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程為：式中右邊分子上的為離心慣性力，為激振力頻率：系統(tǒng)的四個(gè)彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm，固有頻率為頻率比為這說(shuō)明此時(shí)超過(guò)共振點(diǎn)較遠(yuǎn)，不會(huì)發(fā)生共振。振幅為：10、為了估計(jì)機(jī)器基座的阻尼比，用激振器使機(jī)器上下振