無窮級數(shù)習(xí)題解答

1、無窮級數(shù)一、 判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，求出其和1、解：因為 所以故2、解：因為，所以發(fā)散。3、解：因為，所以發(fā)散。4、解：注：常用極限及公式： ，二、 用比較判別法判斷下列正項級數(shù)的斂散性1、解： 因為 而級數(shù) 收斂，故收斂。2、解：因為 而級數(shù)收斂，故收斂。3、解：因為 而級數(shù)收斂，故收斂。4、解：因為 而級數(shù)收斂，故收斂。5、，其中、為關(guān)于的最高階系數(shù)為正的多項式，且階分別為和。解：令則 ，且，（1）， ，此時級數(shù)發(fā)散；（2），此時級數(shù)發(fā)散；（3）由 知對當(dāng) 時， 成立 故 當(dāng) 時 成立當(dāng)時，由右端不等式可知級數(shù)收斂，當(dāng)時，由左端不等式可知級數(shù)發(fā)散。綜上：時，級數(shù)收斂，時，級數(shù)發(fā)散。

2、簡化解法：令則 ，且由 知對當(dāng) 時，成立 故當(dāng)時，成立據(jù)此不等式，由正項級數(shù)的比較定理得與同斂散。故 時，級數(shù)收斂，時，級數(shù)發(fā)散。注：利用下面習(xí)題三的結(jié)論：直接由可知，與 同斂散。 6、解：由不等式 可知左端不等式說明該級數(shù)是正項級數(shù)，因收斂，所以右端不等式說明該級數(shù)收斂。 注：1. 放縮不等式常用技巧：放大分子縮小分母；：縮小分子放大分母 （放到最大，縮到最小）例：； 。2. 常用不等式 ：3. 常用比較級數(shù)：幾何級數(shù)和級數(shù)。三、 若有，則與的斂散性有何關(guān)系？ 解：由可知，對 當(dāng)時，成立 ，即 ，故由該不等式和正項級數(shù)的比較判別法可知，與同斂散。注：該結(jié)論稱為正項級數(shù)比較判別法的極限形式。四

3、、 證明：若正項級數(shù)發(fā)散，則發(fā)散，但收斂。證明：反證：假定收斂，令，則 從而，故由上題結(jié)論可知收斂，矛盾。又，而級數(shù)收斂，故收斂。補充：Cauchy準則 級數(shù)收斂的充要條件是： 否定形式 級數(shù)發(fā)散的充要條件是：及某自然數(shù)，使得 五、 設(shè)正項級數(shù)發(fā)散，而，試證明：（1）發(fā)散；（2）收斂證明：（1）因，所以 因為，故當(dāng)充分大時，有，從而所以發(fā)散。注: 對的發(fā)散性可利用不等式： 級數(shù)發(fā)散因其部分和序列：發(fā)散。（2）由題意知單調(diào)遞增，且又，而級數(shù) 收斂。故 收斂。六、 用比值判別法分析下列正項級數(shù)的斂散性1. 解：，故級數(shù)收斂。2. 解：，故級數(shù)收斂。3. 解：，故級數(shù)收斂。4. 解：由于 ，而級數(shù)滿

4、足，因此它收斂，故原級數(shù)收斂。七、 正項級數(shù)根式判別法（Cauchy判別法）及其應(yīng)用定理： 對于正項級數(shù)，若，則時，級數(shù)收斂；時級數(shù)發(fā)散；時，此法失效。 例：1. 解：，故級數(shù)收斂。2. 解：，故級數(shù)收斂。八、 判斷下列交錯級數(shù)的斂散性1. 解：，而為單增函數(shù), 故，又。所以級數(shù)收斂。2. 解：，而當(dāng)時為單減函數(shù), 故，又。所以級數(shù)收斂。當(dāng)時為單減函數(shù)證明如下：， ，為單增函數(shù)，故因此， 當(dāng)時，。九、 判定下列級數(shù)哪些是絕對收斂，哪些是條件收斂1. 解：，而發(fā)散, 故發(fā)散。又，以及。所以級數(shù)條件收斂。2. 解：，而收斂, 故級數(shù)絕對收斂。3. 解：， 故級數(shù)絕對收斂。4. 解：，. 故由發(fā)散，知發(fā)散。而當(dāng)時，為單減函數(shù), 故，又。所以級數(shù)條件收斂。只需證明： 當(dāng)時，單增 ，故。十、 設(shè)收斂，證明：絕對收斂。證明：由不等式及和 的收斂性可知結(jié)論成立。類似的題目：設(shè)收斂，且，則當(dāng)時收斂。十一、證明：。 證