數(shù)學(xué)建模城市幸福指數(shù)

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名

2、號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：目 錄摘要11 問題重述22 問題分析23 模型假設(shè)34 符號(hào)約定35 模型的建立和求解35.1 問題一35.1.1 模型建立 35.1.2 模型求解 65.2 問

3、題二85.2.1 模型建立 85.2.2 模型求解 96 模型的評(píng)價(jià)與推廣157 寫給學(xué)校管理管理部門的一封信8 參考文獻(xiàn)附錄A 17 表A-1 17 表A-2 18附錄B 18摘 要幸福感是一種心理體驗(yàn)，它既是對(duì)生活的客觀條件和所處狀態(tài)的一種事實(shí)判斷，又是對(duì)于生活的主觀意義和滿足程度的一種價(jià)值判斷，而對(duì)于幸福指數(shù)的評(píng)價(jià)則是一個(gè)定量的評(píng)價(jià)。通過調(diào)查大量的文獻(xiàn)，參考權(quán)威人士的研究，對(duì)問題一建立了貝葉斯估計(jì)模型，采用百分制，量表設(shè)計(jì)采用李克特“五點(diǎn)”量表，受測(cè)者每個(gè)回答的指標(biāo)都是肯定的，通過matlab編程計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值十分貼近。在問題二中，嘗試構(gòu)建了新的層次分析法和熵值法的綜合評(píng)價(jià)模型。首先我

4、們搜集了師生的調(diào)查問卷數(shù)據(jù)，構(gòu)建了幸福指數(shù)的二級(jí)指標(biāo)體系。由于一級(jí)隱性指標(biāo)沒有相關(guān)數(shù)據(jù)，我們采用層次分析法確定權(quán)重并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。對(duì)于二級(jí)數(shù)據(jù)齊全的顯性指標(biāo)，選擇熵值法可以更加客觀的給出各指標(biāo)的權(quán)重。最后運(yùn)用加權(quán)評(píng)價(jià)法得出幸福指數(shù)，教師和學(xué)生的幸福指數(shù)都在69-70之間，通過模型顯示結(jié)果找到了影響幸福感的主要因素。問題三，以模型的適用范圍、幸福指數(shù)的可信度、算法特點(diǎn)與結(jié)果檢驗(yàn)等方面對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和推廣。論文的最后根據(jù)調(diào)查分析結(jié)果給學(xué)校的管理部門寫了封短信。關(guān)鍵詞：貝葉斯估計(jì) 層次分析法 熵值法 加權(quán)評(píng)價(jià)法 matlab1問題重述改革開放三十多年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)取得了巨大成就，人們物質(zhì)生活得到了

5、極大改善。但也有越來越多的人開始思考：我們大力發(fā)展經(jīng)濟(jì)，最終目的是為了什么？溫家寶總理近年來多次強(qiáng)調(diào)：我們所做的一切，都是為了讓人民生活得更加幸福。在今年的全國(guó)兩會(huì)期間，“幸福感”也成為最熱門詞語之一。幸福感是一種心理體驗(yàn)，它既是對(duì)生活的客觀條件和所處狀態(tài)的一種事實(shí)判斷，又是對(duì)于生活的主觀意義和滿足程度的一種價(jià)值判斷。它表現(xiàn)為在生活滿意度基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種積極心理體驗(yàn)。而幸福指數(shù)，就是衡量這種感受具體程度的主觀指標(biāo)數(shù)值。美國(guó)、英國(guó)、荷蘭、日本等發(fā)達(dá)國(guó)家都開始了幸福指數(shù)的研究，并創(chuàng)設(shè)了不同模式的幸福指數(shù)。如果說GDP、GNP是衡量國(guó)富、民富的標(biāo)準(zhǔn)，那么，百姓幸福指數(shù)就可以成為一個(gè)衡量百姓幸福感的標(biāo)

6、準(zhǔn)。百姓幸福指數(shù)與GDP一樣重要，一方面，它可以監(jiān)控經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)行態(tài)勢(shì)；另一方面，它可以了解民眾的生活滿意度。可以說,作為最重要的非經(jīng)濟(jì)因素，它是社會(huì)運(yùn)行狀況和民眾生活狀態(tài)的“晴雨表”，也是社會(huì)發(fā)展和民心向背的“風(fēng)向標(biāo)”。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)幸福感指數(shù)進(jìn)行了研究，試圖建立衡量人們幸福感的量化模型，可參看附件的參考論文。根據(jù)你自己對(duì)幸福感的理解，要求完成以下工作：1、附表給出了網(wǎng)上調(diào)查的一系列數(shù)據(jù)，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，試建立網(wǎng)民幸福感的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，并利用這些指標(biāo)建立衡量幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)模型。2、試查找相關(guān)資料，分別建立某一地區(qū)或某一學(xué)校教師和學(xué)生的幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并找出影響他們幸福感的主要因素。3、你所建立

7、的評(píng)價(jià)體系和模型，能否推廣到更加普遍的人群，試討論之。4、根據(jù)你所建模型得出的結(jié)論，給相關(guān)部門(例如政府、或?qū)W校管理部門等)寫一封短信(1000字以內(nèi))，闡明你對(duì)幸福的理解和建議。2 問題分析 2.1問題一分析對(duì)于幸福感的評(píng)價(jià)是一個(gè)定性的評(píng)價(jià)，而對(duì)于幸福指數(shù)的評(píng)價(jià)則是一個(gè)定量的評(píng)價(jià)。材料中給出了網(wǎng)民幸福指數(shù)的調(diào)查結(jié)果，可以默認(rèn)為廣大網(wǎng)民幸福指數(shù)的樣本。在建立模型過程中，量表設(shè)計(jì)采用李克特“五點(diǎn)”量表，受測(cè)者每個(gè)回答的指標(biāo)都是肯定的。評(píng)分規(guī)則由有利提高幸福指數(shù)依次升高，指標(biāo)得分為20、40、60、80、100。貝葉斯統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)在于利用先驗(yàn)信息形成的先驗(yàn)分布，參與統(tǒng)計(jì)的推斷。本模型中考慮到網(wǎng)民的幸

8、福指數(shù)本質(zhì)上是一種主觀多級(jí)量化評(píng)分的貝葉斯模型。由此，我們建立評(píng)價(jià)幸福感的指標(biāo)體系并根據(jù)指標(biāo)建立衡量幸福感的貝葉斯估計(jì)模型。2.2問題二分析問題一所建立的模型沒有考慮到各指標(biāo)對(duì)幸福指數(shù)的權(quán)重大小，在客觀評(píng)價(jià)上有所欠缺。我們通過網(wǎng)上查找資料和分析，對(duì)評(píng)價(jià)幸福指數(shù)的建立了新的數(shù)學(xué)模。幸福指數(shù)可以由一級(jí)隱性指標(biāo)和二級(jí)顯性指標(biāo)來進(jìn)行評(píng)判，第一級(jí)的隱性指標(biāo)由身體狀況、人際關(guān)系、生活環(huán)境、物質(zhì)條件、自身價(jià)值（學(xué)生幸福感第一級(jí)指標(biāo)：環(huán)境、校園生活、自我實(shí)現(xiàn)、學(xué)習(xí)狀況）組成。建立的層次分析結(jié)構(gòu)如圖3、4所示。對(duì)于一級(jí)隱形指標(biāo)，由于沒有相關(guān)數(shù)據(jù)，我們采用層次分析法對(duì)一級(jí)指標(biāo)的權(quán)重進(jìn)行賦值。然后根據(jù)第二級(jí)指標(biāo)數(shù)據(jù)

9、量齊全，采用了更加客觀的熵值法對(duì)二級(jí)指標(biāo)賦權(quán)，得出二級(jí)指標(biāo)和一級(jí)指標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)第一級(jí)與幸福指數(shù)的關(guān)系運(yùn)用加權(quán)平均法得出對(duì)幸福指數(shù)的量化值。3 模型假設(shè)1） 被調(diào)查對(duì)象所反映的思想都是內(nèi)心的真實(shí)想法2） 調(diào)查范圍足夠廣3） 所抽取的樣本忽略社會(huì)各個(gè)階層的差異4） 對(duì)上下級(jí)指標(biāo)量化相對(duì)關(guān)系的權(quán)重時(shí)，忽略主觀因素的影響5） 調(diào)查問卷是隨機(jī)的，網(wǎng)民分布均勻6） 提取主成分的過程中，不考慮信息量損失對(duì)模型結(jié)果的影響4 符號(hào)約定符號(hào)含義Zij第j個(gè)指標(biāo)分?jǐn)?shù)序號(hào)為i的票數(shù)Z分?jǐn)?shù)序號(hào)為i的所有指標(biāo)的總投票數(shù)Xi貝葉斯估計(jì)值P實(shí)際幸福指數(shù)P*模型計(jì)算幸福指數(shù)值殘差A(yù)對(duì)比矩陣Wi第i個(gè)指標(biāo)對(duì)上級(jí)指標(biāo)的權(quán)重Vi

10、調(diào)查問卷中第i個(gè)一級(jí)指標(biāo)Vij調(diào)查問卷中屬i個(gè)一級(jí)指標(biāo)下第j個(gè)二級(jí)指標(biāo)fij第i個(gè)一級(jí)指標(biāo)下第j個(gè)二級(jí)指標(biāo)的分?jǐn)?shù)Fi第i個(gè)指標(biāo)的分?jǐn)?shù)CR一致性指標(biāo)CIA的一致性指標(biāo)RI平均一致性指標(biāo)5 模型的建立與求解與檢驗(yàn)5.1問題一5.1.1模型建立在建立此模型前，首先對(duì)網(wǎng)民調(diào)查指標(biāo)量化處理，如下表：表1 幸福程度量化值序號(hào)內(nèi)容量化值（分?jǐn)?shù)）1很不幸福202不太幸福403一般604比較幸福805非常幸福100而對(duì)網(wǎng)民各指標(biāo)的設(shè)定，有,其中n為指標(biāo)個(gè)數(shù)，（其量化分析見附表A-1）。由貝葉斯估計(jì)法，。 , ,其中為貝葉斯估計(jì)值。由貝葉斯估計(jì)（原理見北京市幸福指數(shù)的貝葉斯估計(jì)），得出幸福指數(shù)模型 化簡(jiǎn)公式，可得

11、網(wǎng)民幸福指數(shù)模型為: 5.1.2模型求解與檢驗(yàn)將附表1為z矩陣，帶入matlab運(yùn)行（程序見附錄A），結(jié)果如下:n = 18m = 5 Z = 2005 4435 12306 12243 4597k = 1977P = 0.05634 0.12462 0.34578 0.34401 0.12917 與附表中題一的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，比較結(jié)果為：表 2 幸福指數(shù)計(jì)算值與實(shí)際值的比較量化值20406080100實(shí)際幸福指數(shù)0.056650.124430.345980.343960.12898模型幸福指數(shù)0.056340.124620.345780.344010.12917殘差0.000310.00019

12、0.00020.000050.00019運(yùn)用excel作圖，可以看出，附表中的總體幸福感指數(shù)與模型計(jì)算幸福指數(shù)差距甚微，擬合度高。圖1幸福指數(shù)實(shí)際值與計(jì)算值比較通過對(duì)殘差的考察來判斷模型的精度，利用相對(duì)誤差檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)來檢驗(yàn)幸福指數(shù)的貝葉斯模型。相對(duì)誤差序列 平均相對(duì)誤差 , 模擬誤差幸福指數(shù)貝葉斯模型的平均相對(duì)誤差，模擬誤差，貝葉斯幸福指數(shù)模型為一級(jí)模型?？煽闯鲈撃Ｐ偷挠?jì)算結(jié)果與附表中網(wǎng)民總幸福感的統(tǒng)計(jì)值幾乎一致，由此證明本模型用貝葉斯模型的可行性與準(zhǔn)確度因此也用于預(yù)測(cè)網(wǎng)民的幸福指數(shù)。圖2 網(wǎng)民幸福感比重網(wǎng)民幸福感的比重，可以看出大部分人覺得現(xiàn)在自己是幸福的，但是那些覺得不幸福的群體更應(yīng)該引起關(guān)

13、注。通過計(jì)算得到網(wǎng)民幸福感總分為67.4042，可見整體網(wǎng)民的幸福感屬于一般程度。社會(huì)以及政府更應(yīng)該加大力度，創(chuàng)造一個(gè)更加祥和幸福的環(huán)境。5.1.2模型求解5.2問題二 5.2.1模型建立1、 建立幸福指標(biāo)體系表我們通過網(wǎng)絡(luò)等工具查詢到一份關(guān)于幸福指數(shù)的調(diào)查報(bào)告，并根據(jù)結(jié)果整合得到如下圖。幸福指數(shù)身體健康人際關(guān)系生活環(huán)境物質(zhì)條件自身價(jià)值身體狀況業(yè)余生活工作壓力生活態(tài)度師生關(guān)系朋友同事關(guān)系家人關(guān)系工作環(huán)境發(fā)揮才能平臺(tái)社會(huì)公平程度薪資狀況社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展住房條件了解職責(zé)所在社會(huì)形象學(xué)校發(fā)展前景圖3 教師幸福感層次分析幸福指數(shù)V環(huán)境校園生活自我實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)狀況社會(huì)公平學(xué)習(xí)生活環(huán)境周邊治安經(jīng)濟(jì)發(fā)展大學(xué)生活師生

14、關(guān)系朋友關(guān)系業(yè)余生活認(rèn)識(shí)目標(biāo)專業(yè)前景做什么樣的人學(xué)習(xí)壓力學(xué)習(xí)成績(jī)學(xué)習(xí)條件學(xué)業(yè)成就感圖4 學(xué)生幸福感層次分析2、 層次分析法求一級(jí)權(quán)重（1）構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣。設(shè)要對(duì)比n個(gè)因素對(duì)目標(biāo)z的影響。 （1） 其中， （）（i,j=1,2,.n) (2)由（1）（2）構(gòu)成的矩陣為正反比較判斷矩陣，其中根據(jù)saaty等人提出用1-9尺度作為尺度，見表3。表3 1-9尺度Aij的含義尺度含義1Ai與Aj的影響相同3Ai比Aj的影響稍強(qiáng)5Ai比Aj的影響強(qiáng)7Ai比Aj的影響明顯的強(qiáng)9Ai與Aj的影響絕對(duì)的強(qiáng)2,4,6,8Ai與Aj比的影響在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間1,1/2,.1/9Ai與Aj的影響之比為Aij

15、上面的互反數(shù)心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過9個(gè)。用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)， 19尺度較優(yōu)用matlab軟件得出一級(jí)指標(biāo)對(duì)幸福指數(shù)的權(quán)重向量。（matlab代碼見附錄B）由此可得出影響教師幸福感的主要因素。（2） 層次分析法的一致性檢驗(yàn)。首先計(jì)算A的最大特征值，再計(jì)算一致性指標(biāo)CI，定義 （3）式中，n為A的階數(shù)，當(dāng)CI=0，即=n時(shí)，A有完全一致性，CI越大，A的一致性越差。將CI 于平均隨機(jī)一致指標(biāo)RI進(jìn)行比較，令,稱RI為隨機(jī)性一致性比率。當(dāng)

16、CR 0.10 時(shí)，A具有滿意的一致性，否則要對(duì)A重新調(diào)整，知道具有滿意的一致性。表4 RI隨機(jī)一致性指標(biāo)值n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.513、 熵值法求二級(jí)權(quán)重（1） 對(duì)二級(jí)指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，消除量綱的影響。公式如下： (4)（2） 計(jì)算第i項(xiàng)指標(biāo)下第j項(xiàng)因素的比重 （5）（3） 計(jì)算第i項(xiàng)指標(biāo)下第j想因素的熵值 ， 其中 （6）（4） 計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的差異系數(shù)。對(duì)于第j項(xiàng)指標(biāo)，指標(biāo)值的差異越大，對(duì)方案評(píng)價(jià)的作用就越大，墑值就越小。定義差異系數(shù)： （7）（5） 計(jì)算第i項(xiàng)指標(biāo)下第j項(xiàng)因素的權(quán)重 （8）此過程可用ma

17、tlab編程求解，代碼見附錄C。4、 加權(quán)平均法求幸福指數(shù)我們采用百分制體系對(duì)調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行量化，得到加權(quán)分。其評(píng)分表如下：表5 評(píng)分表等級(jí)非常滿意滿意一般不滿意很不滿意100分制10080604020量化計(jì)算方法如下： （9）即通過每一個(gè)選項(xiàng)的票數(shù)在總票數(shù)中的百分比與其他相應(yīng)分值相乘所得乘積并相加。最后通過加權(quán)平均法算出第一層各項(xiàng)得分情況： i=1,2 3. （10）最后，幸福指數(shù)H=F*W。 5.2.2模型求解 1、教師幸福指數(shù)求解一級(jí)指標(biāo)兩兩的比較判斷矩陣為： 用matlab編程求解得一級(jí)權(quán)W=(0.4891,0.1384,0.0852,0.2304,0.0569)一致性比例CR=0.0

18、0120.1通過檢驗(yàn)，w可作為一級(jí)權(quán)重。圖5 教師幸福感各指數(shù)比重用熵值法編程求的的二級(jí)指標(biāo)的權(quán)重如下：=（0.2118 0.2327 0.3916 0.1638)=(0.4158 0.2131 0.3711)=(0.3741 0.4011 0.2247）=（0.2799 0.4608 0.2593）=（0.3277 0.4634 0.2090）對(duì)教師調(diào)查問卷數(shù)據(jù)100分制量化得f1=(69.85,71.71,73.46,59.1)f2=(59.94,78.66,83.66)f3=(69.9125,72.14,56.7)f4=(61.96,64.5,65.16)f5=(77.66,77.64,75.43)通過加權(quán)平均法算出第一級(jí)指標(biāo)層的評(píng)價(jià)得分情況如下：F1F2F3F4F569.9372.7367.8363.9685.30幸福指數(shù)：H=F*W=69.64 2、學(xué)生幸福指數(shù)求解一級(jí)指標(biāo)兩兩的比較判斷矩陣為： 用m