數學建模輸油管的鋪設

1、2010高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置

2、報名號的話）： C2904 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?泉州理工職業(yè)學院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 樂美芳 2. 高陳沖 3. 沈標安 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 劉秀梅 日期： 2010 年 9 月 12 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：輸油管的布置摘 要論文對輸油管建設的布置進行了研究,力求以最短距離敷設管線,使

3、管線建設費用最小.運用線性規(guī)劃中常用的圖解法與單純形法來解決管線布置方案及相應費用的目標規(guī)劃.用MATLAB計算出具體數值,從而確定出最優(yōu)的方案.針對問題一所要求的設計方案，根據兩點之間線段最短以及中垂線定理，借助圖解法求出設計的方案.針對問題二所要設計的管線布置方案及相應的費用，借助圖解法來求解出滿足問題二條件的最優(yōu)方案是車站必須建在兩點之間使得相應的費用最省,具體位置在點右邊4.902千米處.用解決問題二的方法來求解出問題三所要解答的問題是車站必須建在兩點之間,具體位置在點右邊7.0213千米處.通過對此問題的解決,用同樣的方法來解決排水管的布置.天然氣的運輸有著現實可行的意義.可以把此問

4、題推廣開來.【關鍵詞】中垂線定理 圖解法 優(yōu)化設計 MATLAB 一 問題重述某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠,同時在鐵路線上增建一個車站,用來運送成品油.由于這種模式具有一定的普遍性,油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數學模型與方法.1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形,提出你的設計方案.在方案設計時,若有共用管線,應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形.2. 設計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設計.兩煉油廠的具體位置由附圖所示,其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域）, 廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域）,兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示.圖中各字母表

5、示的距離（單位:千米）分別為, 8, , . 若所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元. 鋪設在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用,為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質,公司二和公司三具有乙級資質）進行了估算.估算結果如下表所示:工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）212420請為設計院給出管線布置方案及相應的費用.3. 在該實際問題中,為進一步節(jié)省費用,可以根據煉油廠的生產能力,選用相適應的油管.這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元,輸送B廠成品油的每千米6.0萬元,共用管線費用為每千米7.2萬元,拆遷等附加

6、費用同上.請給出管線最佳布置方案及相應的費用.二 符號假設: 廠到車站的距離,單位:千米;: 廠到共用管線起點的距離,單位:千米;: 是 、兩廠的中點;: 點到共用管線起點的距離,單位:千米;: 共用管線起點到車站的距離,單位:千米;: 車站與分界線的距離,單位:千米;: 每千米、兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用,單位:萬元;: 每千米、兩廠用共用管道鋪設到車站的費用,單位:萬元;: 、兩廠之間距離的一半,單位:千米; : 、兩廠共用管線的距離,單位:千米;: 、兩產共用管線的總費用,單位:萬元;: 輸送廠成品油每千米的費用,單位:萬元;: 輸送廠成品油每千米的費用,單位:萬元;: 輸送、兩廠共

7、用管線的費用,單位:萬元;: 第個工程咨詢公司評估出來每千米的費用,單位:萬元, ;三 模型假設1.兩煉油廠建在安全的距離范圍之內,如果其中一個廠爆炸的話并不會影響到另一個廠.2. 、兩煉油廠鋪設管道之前所花的代價忽略不計.3.在建立模型時把煉油廠和車站都看作一個點4.鋪設管道的過程中,鋪設管道的方向不受任何因素的影響5.鋪設管道的水平高度都一樣三 問題的分析問題一: 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形再加上若有共用管線,應考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形.根據兩點之間線段最短的原理來分析出其中的一種情況是、兩廠垂直于鐵路,垂足為車站,這是一種最理想最優(yōu)的方

8、案,然而現實生活中很難存在這樣的情況.所以應該認為所有點都為動點,根據中垂線定理來解決出這個問題的一般情況.問題二:如果車站建立在點的右邊,在城市建車站所需的附加費用比車站建在點與點的費用多.如果車站建在點的左邊,增加兩廠離車站的距離,會增大鋪設管道的費用且比建在點與點的費用多,最合理的方式就是把車站建在之間.因為涉及到拆遷和工程補償等附加費用,為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司進行了估算.為了在鋪設管道后的幾十年管道不出問題，應采取有優(yōu)勢的公司來對在鋪設管線還需拆遷和工程補償等的附加費用的估算,在這三家公司由于公司一的資質為甲級,所以選擇公司一估算的21萬元.再通過各種幾何關系及

9、角度的大小,來得出各個量之間的關系.利用MATLAB來求出具體的數值,得出最優(yōu)方案及相應的費用.問題三:同問題二的分析,在該實際問題中,為進一步節(jié)省費用,根據煉油廠不同的生產能力,就會有、兩廠不同的運輸費用. 最合理的方式就是把車站建在之間.因為涉及到拆遷和工程補償等附加費用,為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司進行了估算.為了在鋪設管道后的幾十年管道不出問題，應采取有優(yōu)勢的公司來對鋪設管線還需拆遷和工程補償等的附加費用的估算,在這三家公司由于公司一的資質為甲級,所以選擇公司一估算的21萬元.再通過各種幾何關系及角度的大小,來得出各個量之間的關系.利用MATLAB來求出具體的數值,得

10、出最優(yōu)方案及相應的費用.五 模型的建立（一） 問題一:根據垂直平分線的定理,任取兩點分別作為廠和廠.作、兩點中點的垂直平分線交鐵路于點, 點即為鐵路線上的車站.如要用到共用管線,那么共用管線的起點必在這條垂直平分線上.但也同樣存在、都垂直于鐵路相交與點.1 方案一(如圖一所示):圖一1) 當共用管線費用相同，即時,兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用為: 其中：，表示每千米、兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用，表示每千米、兩廠用共用管道鋪設到車站的費用兩廠用共用管道鋪設到車站的費用為: 由得,因此采用鋪設共用管道的方案所需的費用更省,所以選用鋪設共用管道的方案.2) 當共用管道費用不相同，即時,兩廠單獨

11、鋪設輸油管到車站的費用為: 兩廠用共用管道鋪設到車站的費用為: 當0時,解得因此當時,采用有鋪設共用管道的方案.反之采用單用鋪設管道的方案.2 方案二(如圖二所示):圖二1）當共用管線費用相同,即時，兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用為: 兩廠用共用管道鋪設到車站的費用為: 其中：，表示每千米、兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用，表示每千米、兩廠用共用管道鋪設到車站的費用若,則兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用比較多,所以采用有鋪設共用管道的方案所需的費用更省.若,則兩廠用共用管道鋪設到車站的費用比較多,所以采用單獨鋪設輸油管的方案所需的費用更省2) 當共用管道費用不相同，即時,兩廠單獨鋪設輸油管到車站的

12、費用為: 兩廠用共用管道鋪設到車站的費用為: 若,則兩廠單獨鋪設輸油管到車站的費用比較多,所以采用有鋪設共用管道的方案所需的費用更省.若,則兩廠用共用管道鋪設到車站的費用比較多,所以采用單獨鋪設輸油管的方案所需的費用更省.（二）問題二:由第二個問題中所給的圖形再根據根據兩點之間線段最短的原理可得下圖（根據兩點之間線段最短的原理圖中廠和廠的共用管線垂直于鐵路線,垂足為車站的所在點）,如圖三所示： 圖三為了使附加費用最省,所以在城區(qū)的范圍內作廠垂直于分界線的線段,垂足為.共用管道的長度不能高于廠到車站的距離.建立如下模型: 其中：表示、兩產共用管線的總費用表示輸送廠成品油每千米的費用;表示輸送廠成

13、品油每千米的費用;表示輸送、兩廠共用管線的費用;第個工程咨詢公司評估出來每千米的費用，；（三）問題三如圖四所示:圖四建立如下模型: 其中：表示、兩產共用管線的總費用表示輸送廠成品油每千米的費用;表示輸送廠成品油每千米的費用;表示輸送、兩廠共用管線的費用;第個工程咨詢公司評估出來每千米的費用，；六 模型的求解利用上面的分析,根據各個管道不同的費用來解決出具體的數值.由問題二的已知條件可以確定出x的取值范圍在0到15之間,y的的取值范圍在0到8之間.為對此項附加費用進行估計,聘請三家工程咨詢公司進行了估算.由于公司一的資質為甲級,所以選擇公司一估算的21萬元.1、對問題二進行求解用MATLAB進行

14、曲線擬合（見附錄程序一）得如圖五所示圖五把已知的數據代入上述模型，從而得到以下模型:約束條件利用MATLAB軟件進行編程（見附錄程序四），求得，當=10.098(千米). =2.16989(千米)時,即把車站建在C點右邊4.902千米處鋪設管道的總費用最省,此時的總費用為281.3307(萬元).2 對問題三進行求解用MATLAB進行曲線擬合（見附錄程序三）得如圖六所示圖六把已知的數據代入上述模型，從而得到以下模型:約束條件為利用MATLAB軟件進行編程（見附錄程序四），求得當=7.9787(千米). =0.3303(千米), 即把車站建在C點右邊7.0213千米處鋪設管道總費用最省,此時總費

15、用為250.8742(萬元).七. 模型的評價和推廣模型很好的描述出了兩煉油廠管線到車站的路徑是變化的，在鋪設的過程中可分為有共用管線與無共用管線，不同的鋪設方案能夠較為準確的預算出總費用,并且可以算出具體的費用.對鋪設管線的不同方式有較好的指導作用.能盡可能的把鋪設管線的費用降到最低.模型的不足之處在于很多現實生活中存在的客觀因素并沒有很全面的考慮在內。編程現實簡單,可操作性強,易于推廣.可以推廣到污水排放,天然氣的運輸,電線鋪設等情況.參考文獻1 周勤學等.數學規(guī)劃及其運用.廣州:中山大學出版社,19902 姜啟源.數學模型.第2版.北京:高等教育出版社,19933 徐永仁.運籌學試題精選

16、與答題技巧.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,20014 劉則毅主編.科學計算技術與MATLAB.北京:科學出版社,20015 附 錄程序一%畫圖syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x.2+(8-y).2)+7.2*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序二%對函數求導syms x y ;W=5*7.2+5*21+7.2*sqrt(x2+(8-y)2)+7.2*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+y*7.2;B=diff(W,x)C=diff

17、(W,y)%求函數的極值點x,y=solve(36/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*x+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-30+2*x),.18/5/(x2+64-16*y+y2)(1/2)*(-16+2*y)+18/5/(250-30*x+x2-10*y+y2)(1/2)*(-10+2*y)+36/5,x,y);a=vpa(x,5)b=vpa(y,5)%求函數的最值W=inline(7.2*5+5*21+7.2*sqrt(x(1)2+(8-x(2)2)+7.2*sqrt(15-x(1)2+(5-x(2)2)+x(2)*7.2);x0=10.1,0;x,fval=fminsearch(z,x0)程序三%畫圖syms X Y;X=0:2:20;Y=0:2:8;x,y=meshgrid(X,Y);w=5.6*sqrt(15-x).2+(5-y).2)+6*sqrt(x.2+(8-y).2)+135+y*7.2;mesh(x,y,w)grid on;程序四%對函數求導syms x y;W=5.6*sqrt(15-x)2+(5-y)2)+6*sqrt(x2+(8-y)2)+135+y*7.2;B=diff(W,x)A=diff(W,y)%