拋物線典型例題12例含標(biāo)準(zhǔn)答案解析

1、拋物線典型例題12例典型例題一例1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） （2）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì)a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程解：（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：（2）原拋物線方程為：，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：當(dāng)時(shí)，拋物線開口向左，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：綜合上述，當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是：典型例題二例2 若直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解另

2、由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法”求k解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交，且，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，解得：或（舍去）故所求直線方程為：解法二：設(shè)、，則有兩式作差解：，即，故或（舍去）則所求直線方程為：典型例題三例3 求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切分析：可設(shè)拋物線方程為如圖所示，只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切證明：作于于M為AB中點(diǎn)，作于，則由拋物線的定義可知：在直角梯形中：，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切說明：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交典型例題四例4（

3、1）設(shè)拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求k值（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)分析：（1）題可利用弦長(zhǎng)公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）由得：設(shè)直線與拋物線交于與兩點(diǎn)則有： ，即（2），底邊長(zhǎng)為，三角形高點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是則點(diǎn)P到直線的距離就等于h，即或，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）或（5，0）典型例題五例5 已知定直線l及定點(diǎn)A（A不在l上），n為過A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點(diǎn)，AN的垂直平分線交n于B，點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P，求證P的軌跡為拋物線分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個(gè)途徑，一個(gè)

4、證明P點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點(diǎn)，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明且即可證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為PAN也垂直平分PB則四邊形PABN為菱形即有則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn)A的距離與到定直線的距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線典型例題六例6 若線段為拋物線的一條焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，求證：分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點(diǎn)間的距離表示出來，其計(jì)算量是很大的我們可以用拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識(shí)，把結(jié)論

5、證明出來證法一：，若過F的直線即線段所在直線斜率不存在時(shí)，則有,若線段所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則此直線為：，且設(shè)由得： 根據(jù)拋物線定義有：則請(qǐng)將代入并化簡(jiǎn)得：證法二：如圖所示，設(shè)、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是、，且不妨設(shè)，又設(shè)點(diǎn)在、上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線定義知，又，即故原命題成立典型例題七例7 設(shè)拋物線方程為，過焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題證法一：拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：由方程組消去y得：設(shè)，則又即證法二：如圖所示，分別作、垂直于準(zhǔn)線l由拋物線定義有：于是可得出：故原命題成立典型

6、例題八例8 已知圓錐曲線C經(jīng)過定點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），對(duì)應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長(zhǎng)度不超過8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，求（1）AB的傾斜角的取值范圍（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其斜率為k，弦AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可解：（1）由已知得故P到的距離，從而曲線C是拋物線，其方程為設(shè)直線AB的斜率為k，若k不存在，則直線AB與無交點(diǎn)k存在設(shè)A

7、B的方程為由可得：設(shè)A、B坐標(biāo)分別為、，則：弦AB的長(zhǎng)度不超過8，即由得：AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，由和可得：或故或又，所求的取值范圍是：或（2）設(shè)CD中點(diǎn)、由得：則即化簡(jiǎn)得：所求軌跡方程為：典型例題九例9定長(zhǎng)為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求的中點(diǎn)到軸的距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)分析：線段中點(diǎn)到軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題，因此只要研究、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可解：如圖，設(shè)是的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、，又到準(zhǔn)線的垂線為，、和是垂足，則設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則等式成立的條件是過點(diǎn)當(dāng)時(shí)，故，所以，此時(shí)到軸的距離的最小值為說明：本題從分析圖形

8、性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡(jiǎn)典型例題十例10過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，求的最小值分析：本題可分和兩種情況討論當(dāng)時(shí)，先寫出的表達(dá)式，再求范圍解：(1)若，此時(shí)(2)若，因有兩交點(diǎn)，所以，即代入拋物線方程，有故，故所以因，所以這里不能取“=”綜合(1)(2)，當(dāng)時(shí)，說明：(1)此題須對(duì)分和兩種情況進(jìn)行討論；(2)從解題過程可知，拋物線點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為；(3)當(dāng)時(shí)，叫做拋物線的通徑通徑是最短的焦點(diǎn)弦典型例題十一例11過拋物線的焦點(diǎn)作弦，為準(zhǔn)線，過、作的垂線，垂足分別為、，則為（），為（）A大于等于B小于等于C等于D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識(shí)，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切解：點(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義，則，又軸，同理，而，選C過中點(diǎn)作，垂中為，則以為直徑的圓與直線相切，切點(diǎn)為又在圓的外部，特別地，當(dāng)軸時(shí)，與重合，即，選B典型例題十二例