數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題突破策略

1、數(shù)學(xué)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題突破策略【題1】等比數(shù)列an的公比q1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1a2an恒成立的正整數(shù)n的范圍.【題2】設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn已知a1a，an+1Sn3n，nN*(1)設(shè)bnSn3n，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）若an+1an，nN*，求a的取值范圍【題3】數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a37，S424(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)p、q都是正整數(shù)，且pq，證明：Sp+q(S2pS2q)【題4】已知數(shù)列中，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和【題5】已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)

2、若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.【題6】已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項(xiàng). 求函數(shù)的表達(dá)式； 求證：； 求證：【題7】已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，證明：是等差數(shù)列；（3）證明：【題8】數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為求證：對(duì)任意的，【題9】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，恒有，設(shè)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；（3）若，證明：【題10】等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a12002，公比q(1)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(2)當(dāng)n取何值時(shí)，f(n)有最大值【題11】已知an的前n

3、項(xiàng)和為Sn，且anSn4.(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)是否存在正整數(shù)k，使2成立.【題12】已知數(shù)列an和bn滿(mǎn)足：a1，an+1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)0ab,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【題13】設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足 ，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由.數(shù)列與不等式綜合解答與評(píng)析類(lèi)

4、型1：求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問(wèn)題求數(shù)列與不等式相結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問(wèn)題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)xD時(shí)，有f(x)M恒成立Ûf(x)minM；f(x)M恒成立Ûf(x)maxM；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過(guò)解不等式解得.【題1】利用條件中兩項(xiàng)間的關(guān)系，尋求數(shù)列首項(xiàng)a1與公比q之間的關(guān)系，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)公式和及所得的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式，進(jìn)而通過(guò)估算求得正整數(shù)n的取值范圍.【解】由題意得：(a1q16)2a1q23，a1q91.由等比數(shù)列的性質(zhì)知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，要使不等式成立，則須，把

5、aq-18代入上式并整理，得q-18(qn1)q(1)，qnq19，q1，n19，故所求正整數(shù)的取值范圍是n20.【點(diǎn)評(píng)】本題解答數(shù)列與不等式兩方面的知識(shí)都用到了，主要體現(xiàn)為用數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)，用不等式知識(shí)求得最后的結(jié)果.本題解答體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想、方程思想及估算思想的應(yīng)用.【題2】第（1）小題利用Sn與an的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（）小題將條件an+1an轉(zhuǎn)化為關(guān)于n與a的關(guān)系，再利用af(n)恒成立等價(jià)于af(n)min求解【解】(1)依題意，Sn+1Snan+1Sn3n，即Sn+12Sn3n，由此得Sn+13 n+12(Sn3n)因此，所求通項(xiàng)公式為bnSn3n(a3)2 n-1，nN*,

6、 (2)由知Sn3n(a3)2 n-1，nN*，于是，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn-13n(a3)2 n-13n-1(a3)2 n-22×3n-1(a3)2 n-2，an+1an4×3 n-1(a3)2 n-22 n-2·12·()n-2a3，當(dāng)n2時(shí)，an+1an，即2 n-2·12·()n-2a30，12·()n-2a30，a9，綜上，所求的a的取值范圍是9，)【點(diǎn)評(píng)】一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解.本題求參數(shù)取值范圍的方法也一種常用的方法，應(yīng)當(dāng)引起重視.類(lèi)型2：數(shù)列參與的不等式

7、的證明問(wèn)題此類(lèi)不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過(guò)分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【題3】根據(jù)條件首先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)公式和建立方程組即可解決第(1)小題；第(2)小題利用差值比較法就可順利解決.【解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，依題意得，解得，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n1.（2）證明：an2n1，Snn22n2Sp+q(S2pS2q)2(pq)22(pq)(4p24p)(4q24q)2(pq)2，pq，2Sp+q

8、(S2pS2q)0，Sp+q(S2pS2q)【點(diǎn)評(píng)】利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【題4】（1）由得到，即2分【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于數(shù)列求和與不等式相結(jié)合的問(wèn)題，常結(jié)合裂項(xiàng)相消或錯(cuò)位相減法放縮求和.【題5】（1），又，是公比為的等比數(shù)列，（2）， 得：， 【題6】 又為銳角 都大于0 , , 又 【題7】（1），2分故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。3分，4分（2），5分得，即8分得，即9分所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）11分設(shè)，則 13分14分【題8】（1

9、），3分又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列5分，即. 6分（2） 9分（3）， 10分當(dāng)時(shí)，則， 對(duì)任意的， 14分【題9】（1）當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，兩式相減得：，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）得，（3），由為正項(xiàng)數(shù)列，所以也為正項(xiàng)數(shù)列，從而，所以數(shù)列遞減所以另證：由，所以 類(lèi)型3：求數(shù)列中的最大值問(wèn)題求解數(shù)列中的某些最值問(wèn)題，有時(shí)須結(jié)合不等式來(lái)解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【題10】第(1)小題首先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列an的通項(xiàng)，再求得f

10、(n)的表達(dá)式；第(2)小題通過(guò)商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性，再通過(guò)比較求得最值.【解】(1)an2002·()n-1，f(n)2002n·()(2)由(1)，得，則當(dāng)n10時(shí)，1，|f(11)|f(10)|f(1)|，當(dāng)n11時(shí)，1，|f(11)|f(12)|f(13)|，f(11)0，f(10)0，f(9)0，f(12)0，f(n)的最大值為f(9)或f(12)中的最大者20023·()30()31，當(dāng)n12時(shí)，f(n)有最大值為f(12)200212·()66【點(diǎn)評(píng)】本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)利用商值比較法確定數(shù)列的單調(diào)性；(2)注意比較f(12)與

11、f(9)的大小.整個(gè)解答過(guò)程還須注意f(n)中各項(xiàng)的符號(hào)變化情況.類(lèi)型4：求解探索性問(wèn)題數(shù)列與不等式中的探索性問(wèn)題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【題11】第(1)小題通過(guò)代數(shù)變換確定數(shù)列an+1與an的關(guān)系，結(jié)合定義判斷數(shù)列an為等比數(shù)列；而第(2)小題先假設(shè)條件中的不等式成立，再由此進(jìn)行推理，確定此不等式成立的合理性.【解】()由題意，Snan4，Sn+1an+14，由兩式相

12、減，得(Sn+1an+1)(Snan)0，即2an+1an0，an+1an，又2a1S1a14，a12，數(shù)列an是以首項(xiàng)a12，公比為q的等比數(shù)列.()由()，得Sn422-n.又由2，得2，整理，得21-k1，即12 k -1，kN*，2k-1N*，這與2k-1(1，)相矛盾，故不存在這樣的k，使不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】本題解答的整個(gè)過(guò)程屬于常規(guī)解法，但在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“kN*”，這是在解答數(shù)列問(wèn)題中易忽視的一個(gè)陷阱.【題12】第(1)小題利用反證法證明；第(2)小題利用等比數(shù)列的定義證明；第(3)小題屬于存在型問(wèn)題，解答時(shí)就假設(shè)aSnb成立，由此看是否能推導(dǎo)出存在存在實(shí)數(shù).【解】（1）證

13、明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22a1a3，即(3)2(4)Û24924Û90，矛盾，所以an不是等比數(shù)列.(2)解：因?yàn)閎n+1(1)n+1a n+13(n1)21(1)n+1(a n2n14)(a n3n21)b n，20090318又b1(18)，所以當(dāng)18時(shí)，bn0(nN*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，b1(18)0，由上可知bn0，(nN*).故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.(3)由（2）知，當(dāng)18，bn0(nN*)，Sn0，不滿(mǎn)足題目要求；.18，故知bn(18)×()n-1，于是S n(18)·1()n要使aSnb對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a(18)·1()nb，(nN*).得(18)，(nN*) 令f(n)1()n，則當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1f(n)，當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)f(n)1；f(n)的最大值為f(1)，f(n)的最小值為f(2),于是，由式得a(18)b，b183a18，(必須b3a，即b3a).當(dāng)ab3a時(shí)，由b183a18，不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題目要求；當(dāng)b3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb,且的取值范圍是(b18，3a18).【點(diǎn)評(píng)】存在性問(wèn)