探索勾股定理（2）

1、1.1 探索勾股定理（2）1.經(jīng)歷運(yùn)用拼圖的方法說明勾股定理的過程，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)和合作交流的習(xí)慣。2.掌握勾股定理和他的簡(jiǎn)單應(yīng)用學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能熟練運(yùn)用拼圖的方法證明勾股定理學(xué)習(xí)難點(diǎn)：用面積法證勾股定理 教法及學(xué)法指導(dǎo)：針對(duì)八年級(jí)學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課選擇引導(dǎo)探索法，由淺入深，由特殊到一般地提出問題。引導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流。并利用教具與多媒體進(jìn)行教學(xué)。在教師的組織引導(dǎo)下，采用自主探索、合作交流方式，讓學(xué)生思考問題，獲取知識(shí)，掌握方法，借此培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦的能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。 課前準(zhǔn)備：制作課件，學(xué)生課前進(jìn)行相關(guān)調(diào)查及預(yù)習(xí)工作.教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)

2、情境，導(dǎo)入新課師我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過整式的運(yùn)算，其中平方差公式（a+b）（ab）=a2b2；完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是非常重要的內(nèi)容誰(shuí)還能記得當(dāng)時(shí)這兩個(gè)公式是如何推出的？生利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則從公式的左邊就可以推出右邊例如（a+b）（ab）=a2ab+abb2=a2b2，所以平方差公式是成立的生還可以用拼圖的方法來推出例如：（a+b）2=a2+2ab+b2我們可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形，兩個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a和b的長(zhǎng)方形可拼成如下圖所示的邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，那么這個(gè)大的正方形的面積可以表示為（a+b）2；又可以表示為a2+2ab+b

3、2所以（a+b）2=a2+2ab+b2 師由此我們可以看出用拼圖的方法推證數(shù)學(xué)中的結(jié)論非常直觀上一節(jié)課我們已經(jīng)通過數(shù)格子通過一些特例大膽地猜想出了勾股定理同時(shí)又利用一些特例驗(yàn)證了勾股定理，但我們注意到我們不可能拿所有的直角三角形一一驗(yàn)證，靠一些特例歸納、猜想出來的結(jié)論不一定正確因此我們需要用另一種方法說明直角三角形三邊的關(guān)系 二、性質(zhì)探究1拼一拼（1）在一張硬紙板上畫4個(gè)如下圖所示全等的直角三角形并把它們剪下來 （2）用這4個(gè)直角三角形拼一拼，擺一擺，看能否得到一個(gè)含有以斜邊c為邊長(zhǎng)的正方形，你能利用它說明勾股定理嗎？（對(duì)于上面2個(gè)問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，將形與數(shù)的問題聯(lián)系起來鼓勵(lì)學(xué)生大

4、膽的拼擺，只要符合要求，教師都應(yīng)予以鼓勵(lì)，然后在小組內(nèi)交流，同時(shí)提示學(xué)生根據(jù)自己拼出的圖形，聯(lián)系（a+b）2=a2+2ab+b2的拼圖推證方法說明勾股定理）生我拼出了如下圖所示的圖形，中間是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形觀察圖形我們不難發(fā)現(xiàn)，大的正方形的邊長(zhǎng)是（a+b）要利用這個(gè)圖說明勾股定理，我們只要用兩種方法表示這個(gè)大正方形的面積即可 大正方形面積可以表示為：（a+b）2，又可以表示為：ab×4+（ba）對(duì)比這兩種表示方法，可得出c2=ab×4+（ba）化簡(jiǎn)、整理得c2=a2+b2因此我們得到了勾股定理生我拼出了和這個(gè)同學(xué)不一樣的圖，如下圖所示，大正方形的邊長(zhǎng)是c，小正方形的邊長(zhǎng)

5、為ba，利用這個(gè)圖形也可以說明勾股定理因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e也有兩種表示方法，既可以表示為c2，又可以表示為ab×4+（ba）2對(duì)比兩種表示方法可得c2=ab×4+（ba）2化簡(jiǎn)得c2=a2+b2同樣得到了勾股定理 師真棒！同學(xué)們用拼圖的方法，大膽地驗(yàn)證了勾股定理利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的偉大貢獻(xiàn)在后面的課題學(xué)習(xí)中，我們還要繼續(xù)研究它在所有的幾何定理中，勾股定理的證明方法也許是最多的了有人做過統(tǒng)計(jì)，說有五百余種1940年，國(guó)外有人收集了勾股定理的365種證法，編了一本書其實(shí)，勾股定理的證法不止這些，作者之所以選用了365種，也許他是幽默地想讓人注意，勾股定理

6、的證明簡(jiǎn)直到了每天一種的地步生老師，我在查資料時(shí)，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國(guó)的一個(gè)總統(tǒng)有關(guān)系，是這樣嗎？師是的1876年4月1日，美國(guó)俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，頗有興趣地在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他提出的一個(gè)勾股定理的證明據(jù)他說，這是一種思想體操，并且還調(diào)皮地聲稱，他的這個(gè)證明是得到兩黨議員“一致贊同的”由于1881年加菲爾德當(dāng)上了美國(guó)第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個(gè)證明也就成了數(shù)學(xué)史上的一段佳話生能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎？師可以如下圖所示這就是這位總統(tǒng)用兩個(gè)全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個(gè)同學(xué)用全等的四個(gè)直角三角形拼出來的圖形對(duì)比一下，有聯(lián)系 生總統(tǒng)拼出的圖形恰好是第一

7、個(gè)同學(xué)拼出的大正方形的一半師同學(xué)們不妨自己從上圖中推導(dǎo)出勾股定理生上面的圖形整體上拼成一個(gè)直角梯形所以它的面積有兩種表示方法既可以表示為（a+b）·（a+b），又可以表示為ab×2+c2對(duì)比兩種表示方法可得（a+b）·（a+b）= ab×2+c2化簡(jiǎn)，可得a2+b2=c2師很好同學(xué)們?nèi)绻信d趣的話，不妨自己也去尋找?guī)追N證明勾股定理的方法2議一議師前面我們討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？ 觀察上圖，用數(shù)格子的方法判斷圖中兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系是否滿足a2+b2=c2師上圖中的ABC和ABC是什么三角形？生A

8、BC，ABC在小方格紙上，不難看出ABC中，BCA90°；ABC中，ABC，BCA，BAC都是銳角，所以ABC是鈍角三角形，ABC是銳角三角形師ABC的三邊上“長(zhǎng)”出三個(gè)正方形誰(shuí)來幫我數(shù)一下每個(gè)正方形含有幾個(gè)小格子生以b為邊長(zhǎng)的正方形含有9個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積b2=9個(gè)單位面積；以a為邊長(zhǎng)的正方形中含有8個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積a2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形中含有29個(gè)小格子，所以這個(gè)正方形的面積c2=29個(gè)單位面積a2+b2=9+7=16個(gè)單位面積，c2=29個(gè)單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2+b2c2師銳角三角形ABC中，如何呢？生以a為邊長(zhǎng)的正方形

9、含5個(gè)小格子，所以a2=5個(gè)單位面積；以b為邊長(zhǎng)的正方形含有8個(gè)小格子，所以b2=8個(gè)單位面積；以c為邊長(zhǎng)的正方形含9個(gè)小格子，所以c2=9個(gè)單位面積由此我們可以算出a2+b2=5+8=13個(gè)單位面積在銳角三角形ABC中，a2+b2c2師通過對(duì)上面兩個(gè)圖形的討論可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2+b2=c2（其中a、b是直角邊，c為斜邊）這樣的關(guān)系生老師，我發(fā)現(xiàn)在鈍角三角形ABC中，雖然a2+b2c2，但它們之間也有一種關(guān)系a2+b2c2；在銳角三角形ABC中，a2+b2c2它們恒成立嗎？師這位同學(xué)很善于思考，的確如此同學(xué)們課后不妨驗(yàn)證一下，你一定會(huì)收獲不小三、性質(zhì)的應(yīng)用

10、 1.例題精講我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵查，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上疾駛。他趕緊拿出紅外線測(cè)距儀，測(cè)得汽車與他相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？（學(xué)生自己畫圖完成，全班交流） 2.鞏固提高（1）飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？（2）在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來；水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？師生共析1分析：根據(jù)題意，可以畫出下圖，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢?/p>

11、，C、B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題 解：根據(jù)題意，得RtABC中，C=90°，AB=5000米，AC=4800米由勾股定理，得AB2=AC2+BC2即50002=BC2+48002，所以BC=1400米2分析：在此問題中，要注意水草的長(zhǎng)度與水深的關(guān)系，還要注意水草站立時(shí)和吹到一邊，它的長(zhǎng)度是不變的解：根據(jù)題意，得到下圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BCAD 所以在RtACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+366AC=27，AC=45所以這里的水深為45分米評(píng)注：在幾何計(jì)算題中，方程的思想十分重要 四、收獲園地師：這節(jié)課，我們用拼圖的方法驗(yàn)證了勾股定理，并運(yùn)用勾股定理解決了生活中的實(shí)際問題生：暢談自己的收獲！五、達(dá)標(biāo)檢測(cè)如下圖所示，某人在B處通過平面鏡看見在B正上方5米處的A物體，已知物體A到平面鏡的距離為6米，問B點(diǎn)到物體A的像A的距離是多少？ 六、作業(yè) 1課本P11，習(xí)題12 1