有約束條件的完全四邊形與數(shù)學(xué)競賽題下

1、2007年第3期13專題寫作有約束條件的完全四邊形與數(shù)學(xué)競賽題(下)沈文選(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所,410081)2224不相交兩條對角線為圓中不相交弦的完AD=AK+KD,全四邊形例4在完全四邊形ABCDEF中,B、C、E、F四點(diǎn)共圓(O),點(diǎn)M為完全四邊形的Miquel點(diǎn)4.(1)從點(diǎn)A向O引切線P,分別為P、Q,PD(2)OAD(3)點(diǎn)M在對角線AD所在的直線上;(4)AM平分CME,AM平分BMF,且C、O、M、E,B、O、M、F分別四點(diǎn)共圓;兩式相減有222AGAH-AD=PK-KD=(PK+KD)(PK-KD)=PD=-)(2-AD+ADAG-AHAG.故2AGAH=AD(

2、AH+AG),即+=2=+.AGAHAGAH從而,因此,=.AGAH=.AGAH(5)OMAD;(6)A、P、O、M、Q五點(diǎn)共圓;(7)直線OM、BF、CE三線共點(diǎn)或相互平行.證明:(1)如圖10,同例3中(4),由證R、G、Q三點(diǎn)共線而證得P、D、Q三點(diǎn)共線.(2)如圖10,設(shè)直線AD交O于點(diǎn)G、H.過點(diǎn)A作AKPQ于點(diǎn)K,則PK=QK.注意到AP=AGAH2圖10=AK+PK,22上式表明,O的兩段弧調(diào)和分割A(yù)D所在的直線.(3)在直線AD上取點(diǎn)M,使2ADAM=AP=ABAC=AFAE.則B、C、M、D,E、F、D、M分別四點(diǎn)共圓,即M為BCD外接圓與DEF外接圓的交點(diǎn).從而,M為完全四

3、邊形ABCDEF的Miquel點(diǎn),即點(diǎn)M與M重合.故點(diǎn)M在直線AD上.(4)聯(lián)結(jié)OC、OE,則CMH=CBD=EFD=EMH.故CME=2CBE=COE.從而,AM平分CME,且C、O、M、E四點(diǎn)共圓.同理,AM平分BMF,且B、O、M、F四14中等數(shù)學(xué)點(diǎn)共圓.(5)由于C、O、M、E四點(diǎn)共圓,則有OMC=OEC=OCE=(180°-COE)=90°-COE22=.AFAGFG故=AG.同理,=BF=CDG=90°-CBE=90°-CMH.,故OMC+CMH=90°.因此,OMAM,即OMAD.(6)由APO=AMO=AQO=90°,

4、知A、P、O、M、Q五點(diǎn)共圓.(7)記O、M、F、B四點(diǎn)所共之圓為O1,C、E、M、O四點(diǎn)所共之圓為O2.對O1、O2、O用根軸定理,即知OM、BF、CE三線共點(diǎn)或平行.圖11以上三式相乘得=1.AGBFCD由梅涅勞斯定理的逆定理知A、B、C三點(diǎn)共線,即直線AB與直線FD交于點(diǎn)C.而直線AB、交于點(diǎn)C,C重合.因此是.EGA中,對角ABC的外接圓于點(diǎn)D,過點(diǎn)D且與FG切于點(diǎn)E的圓交AB于點(diǎn)M.已知(用t表示).=t.求ABEF不妨將例4記作性質(zhì)19.以性質(zhì)19為背景,也可得到如下數(shù)學(xué)競賽題:題1已知O點(diǎn),)點(diǎn)B、C,A,作直線l關(guān)于AOO于點(diǎn)D、E,且E在A、D之間.證明:四邊形BCDE兩條對

5、角線的交點(diǎn)P為定點(diǎn),即該點(diǎn)不依賴于直線l的位置.(第21屆希臘數(shù)學(xué)奧林匹克)事實(shí)上,可證得O、D、E、P四點(diǎn)共圓,AP=為定值.OA此題是第31屆IMO試題的等價(jià)表述.解:如圖12,聯(lián)結(jié)AD、MD、BD.由DMA=DEG=FEC,5邊為圓的切線段的完全四邊形FCE=MAD,圖12例5在完全四邊形ABCDEF中,對角線AD與BF交于點(diǎn)G.若過點(diǎn)D、F、G的圓與邊AE、BE分別切于點(diǎn)F、D,則直線CG是DFG外接圓的切線.證明:如圖11,設(shè)過點(diǎn)G的DFG外接圓的切線與直線FD交于點(diǎn)C.又直線DG與過點(diǎn)F的DFG外接圓的切線交于點(diǎn)A,直線FG與過點(diǎn)D的DFG外接圓的切線交于點(diǎn)B.由ADFAFG,有得

6、EFC故MDA.=,即MDAMEFAM=MDCE.又FEC=DME,知GEC=DMB,ECG=DBM.于是,GEC故=,即MDBMDMB.2007年第3期15EGBM=MDCE.證明:(1)如圖14,設(shè)BF與QS交于點(diǎn)M,BF與PR交于點(diǎn)M.所以,EFMA=EGBM.從而,=EFMBAB-AM=.AB-tAB1-t下面證明:點(diǎn)M與M重合.例7在完全四邊形BXAPCR中,O1切AB于點(diǎn)A、切XC于點(diǎn)P;O2過點(diǎn)C、P,且與AB切于點(diǎn)B.O1與O2除相交對BEF及截線QMS、BCF及截線PMR分別應(yīng)用梅涅勞斯定理,有=1,MFSEQB圖14于點(diǎn)P外,還相交于點(diǎn)Q.證明:PQR的外接圓與直線BP、B

7、R相切.此題是2003年斯洛文尼亞國家隊(duì)選拔賽試題的等價(jià)表述.證明:如圖13,聯(lián)結(jié)AQ、BQ.因?yàn)锽PR=PBA=CPR=BRP,圖13即有=;MF=PB=.MFFR=.MFMF注意到BP=BQ,FS=FR,則所以,BP=BR.由弦切角定理的逆定理知,只須證明BPR=PQR.因BRP=BPR=PBA+PAB=AQP+BQP=AQB,因此,點(diǎn)M與M重合.從而,BF、QS、PR三線共點(diǎn)于M.同理,AD、QS、PR三線共點(diǎn)于M.故AD、BF、PR、QS四線共點(diǎn).(2)由圓的切線長定理有AC-AE=(AP+PC)-(AS+SE)所以,A、Q、R、B四點(diǎn)共圓.故BQR=PAB.又BQP=PBA,則PQR=PAB+PBA=BPR.因此,BP是PQR外接圓的切線.由BP=BR,知BR也是PQR外接圓的切線.故結(jié)論獲證.例8在完全四邊形ABCDEF中,O分別內(nèi)切四邊形ABDF的邊AB、BD、DF、FA于點(diǎn)P、Q、R、S.求證:(1)AD、BF、PR、QS四線共點(diǎn);(2)AC-CD=AE-DE.=PC-SE=CR-QE=(CD+DR)-(DE+DQ)=CD-DE.故AC-CD=AE-DE.參考文獻(xiàn):1沈文選.完全