極限的運算法則與復合函數(shù)的極限（課堂PPT）

1、.2一、極限的四則運算法則一、極限的四則運算法則三、復合函數(shù)的極限三、復合函數(shù)的極限二、求極限舉例二、求極限舉例四、小結(jié)四、小結(jié) 第一章 .3一、一、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理2.7 2.7 若若)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA推論推論 1、)(lim)(limxfCxfC推論推論3 、nnxfxf )(lim)(lim推論推論 2、1111lim( ).( )lim( ).lim( )nnnc fxc f xcfxcfx .4為無窮小為無窮小定理定理2.

2、9 2.9 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: :因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,設設BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小無窮小有界有界BA因此因此由極限與無窮小關(guān)系定理得由極限與無窮小關(guān)系定理得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小為無窮小,.5注注2：對定理：對定理2.9，B不為；推論不為；推論1、2、3只適只適 用于有限個函數(shù)。用于有限個函數(shù)。注：注： 在同一變化趨勢下，極限都要在同一變化趨勢下，極

3、限都要 在，否則不能用上述法則。在，否則不能用上述法則。)(),(xgxf則則 一定不存在；一定不存在；注注3：若：若 , 其中只有一個存在，其中只有一個存在，)(lim),(limxgxf)()(lim(xgxf 則則 不一定不存在；不一定不存在； 注注4：若：若 ，兩個極限都不存在，兩個極限都不存在，)(lim),(limxgxf)()(lim(xgxf 比如：比如：.1)1cos11(coslim,)11(coslim,1coslim000 xxxxxxx但但.6二、求極限舉例二、求極限舉例例例1 22lim (232)xxx 例例2 xxxxlim22222(lim)3 limlim

4、2xxxxx 解 原式解 原式.7小結(jié)小結(jié): :則則有有設設,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設設, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0則則商商的的法法則則不不能能應應用用若若 xQ注：注：當當 f (x)為初等函數(shù)時為初等函數(shù)時，x0為定義域內(nèi)的點，則為定義域內(nèi)的點，則)()(lim00 xfxfxx.8 分析：分析：x = 3

5、時分母為時分母為 0 例例3、934lim223xxxx31lim3xxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231解、解、 原式原式.9例例4、設、設 ，求，求b、c的值的值 2213lim21xxbxcx 23lim(1)0 xx 解、解、 因為因為 分母趨于分母趨于0極限的反問題極限的反問題且極限且極限 存在存在2213lim21xxbxcx 所以必有存在所以必有存在21lim30 xxbxc21lim330 xxbxcbc 否則原極限否則原極限應當為無窮大應當為無窮大得得 c=-3-b.102222112211333limlim113(1)(1)lim3lim113222,1

6、xxxxxbxcxbxbxxxb xbxxbbc 結(jié)論：如果結(jié)論：如果 存在，且存在，且( )limg( )f xxlimg( )0 x 則必有則必有l(wèi)im( )0f x 證明：證明：( )lim( )lim.g( )0g( )f xf xxx.11例例5 5 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因.12例例6 6 求求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分

7、母“ 抓大頭抓大頭”原式原式.13小結(jié)小結(jié): :為為非非負負整整數(shù)數(shù)時時有有和和當當nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當當當當當當無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子、分母子、分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.14例例7 7).21(lim222nnnnn 求求解解是是無無窮窮小小之之和和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.注意：無限個

8、無窮小量的和不一定是無窮小注意：無限個無窮小量的和不一定是無窮小。)(lim xxx另例另例 xxxxlim xxxlim.15.)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx 時時的的極極限限也也存存在在，且且當當，則則復復合合函函數(shù)數(shù)又又，有有定定義義在在點點，而而函函數(shù)數(shù)即即，時時的的極極限限存存在在且且等等于于當當運運算算法法則則）設設函函數(shù)數(shù)定定理理（復復合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0 xaxx 意義：意義：.16例例8 8 求求解解: :令令.9

9、3lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim6166.17例例9 9 求求解解: :方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2.18四、小結(jié)與思考練習題四、小結(jié)與思考練習題2、極限求法：、極限求法：(1) (1) 多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限; ;(2) (2) 消去零因子法求極限消去零因子法求極限; ;（0/00/0型）型） （因式分解、有理化）（因式分解、有理化）

10、(3) (3) 利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限; ; (4) (4) 利用通分方法求極限利用通分方法求極限; ;（-型）型）(5) (5) 分子分母同除最大項。（分子分母同除最大項。（/型）型）1、極限的四則運算法則和推論、極限的四則運算法則和推論3、復合函數(shù)的極限運算法則、復合函數(shù)的極限運算法則.19._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、.20._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、._coslim6 xxxeex、.2138231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、)1311(lim331xxx 、