【教育資料】第一章§1命題(二)學習專用

1、教育資源§1 命題（二）【學習目標】1.認識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系.2.會利用命題的等價性解決問題.知識點一四種命題間的關(guān)系思考 原命題與其逆命題、否命題、逆否命題之間是什么關(guān)系？答案 原命題與其逆命題是互逆關(guān)系；原命題與其否命題是互否關(guān)系；原命題與其逆否命題是互為逆否關(guān)系.梳理四種命題間的關(guān)系知識點二四種命題間的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真良縣真假假基假真更假假假假由上表可知四種命題的真假性之間有如下關(guān)系:（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性;（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.1 .兩個互逆命題的真假性相同.（X）2 .原

2、命題的逆命題與原命題的否命題真假性相同.（，）3 .命題“若p,則q”的否命題是“若p,則非q” .（X）類型一 四種命題間的關(guān)系及真假判斷例1判斷下列命題的逆命題、否命題與逆否命題的真假.若ab0,則aw?；騜w。；（2）若 a2+b2=0,則 a, b 都為 0.考點四種命題的概念題點判斷四種命題的真假解（1）逆命題：若aw?；騜w。，則abw。.它為假命題.逆否命題：若 a。且b。，則ab。.它為真命題.所以原命題的逆命題與否命題為假命題，逆否命題為真命題.（2）原命題與其逆命題 “若a, b都為0,則a2+b2=0”均為真命題，所以原命題的逆否命題與否命題也均為真命題.反思與感悟 互為

3、逆否關(guān)系的兩個命題真假性相同，準確判斷兩個命題之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.跟蹤訓練1下列命題為假命題的是（）A. “若x2+y2w0,則x, y不全為0”的否命題B. “正三角形都相似”的逆命題C. “若m> 0,則x2+x m=0有實根”的逆否命題D. “若x-必是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題考點四種命題的概念題點判斷四種命題的真假答案 B解析 A中，原命題的否命題為 “若x2+y2=0,則x, y全為0”，是真命題.B中，原命題的逆命題為 “若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形"，是假命題.C中，原命題的逆否命題為“若x2+x m=0無實根，則 m< 0&quo

4、t;，二方程無實根，A= 1+ 4mv 0, mv -, '4'原命題的逆否命題是真命題.D中，原命題的逆否命題為“若x不是無理數(shù)，則x 也不是有理數(shù)”，. x不是無理數(shù)，x是有理數(shù)，又m是無理數(shù)，x- 正是無理數(shù)，不是有理數(shù)，原命題的逆否命題是真命題.類型二等價命題的應用例 2 設(shè) m, n R,證明：若 m2 + n2= 2,則 m+ n< 2.考點反證法逆否證法題點逆否證法證明 將“若m2+n2=2,則m+nW2”視為原命題，則它的逆否命題為 “若m+n>2,則m2+n2w2” .因為 m+n>2,所以 m2+n2>1（m+n）2>2x22=

5、2.所以m2+n2w2,所以原命題得證.反思與感悟由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，即互為逆否命題的命題具有等價性，因此我們在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.跟蹤訓練2 證明：若a24b2 2a+1W0,則a2b+1.考點反證法和逆否證法題點逆否證法證明 命題“若a24b22a+1 W0,則aw2b+1”的逆否命題為 “若a= 2b+1,貝U a2 4b22a+1 = 0” .由 a=2b+1,得 a24b22a+1= (2b+1)2 4b2 2X (2b+1)+1 = 4b2+4b+1 4b24b 2+ 1 = 0,顯然

6、原命題的逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題.故原命題得證1 .下列命題為真命題的是()A.命題“若x>y,則x>|y|"的逆命題B.命題“若x= 1,則x2>1”的否命題C.命題“若x= 1,則x2 + x- 2=0”的否命題D.命題“若x2>1,則x>1”的逆否命題考點四種命題間的相互關(guān)系題點 寫出四種命題利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 A解析 對A,即判斷：若x>|y|,則x>y的真假，顯然是真命題.2 .命題“若x>1,則x>0”的逆命題是 ,逆否命題是 . 考點四種命題的概念題點按要求寫命題答案若x>0,則x&g

7、t;1 若xW0,則xW13 .有下列命題：“若k>0,則方程x2+2x+k=0有實根”的否命題；“若1 1,則avb”的逆命題； a b“梯形不是平行四邊形”的逆否命題.其中是假命題的是.考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假命題的個數(shù)答案解析 對于，其否命題為：若kW0,則方程x2+2x+ k=0無實根，顯然為假命題；對于,若avb,則a>:,為假命題；為真命題，故假命題為 .4.已知命題p："若ac>0,則二次不等式 ax2+bx+c>0無解”.(1)寫出命題p的否命題；(2)判斷命題p的否命題的真假.考點四種命題間的相互關(guān)系題點 寫出四

8、種命題利用四種命題的關(guān)系判斷真假解(1)命題p的否命題為：“若ac<0,則二次不等式ax2+bx+c>0有解”.(2)命題p的否命題是真命題.判斷如下：因為ac<0,所以一ac>0, A= b2 4ac>0?二次方程 ax2+bx+c= 0 有實根？ ax2+bx+c>0 有解，所以該命題是真命題.寫一個命題的否命題時，要對命題的條件和結(jié)論都進行否定，避免出現(xiàn)不否定條件，而只否定結(jié)論的錯誤.若由p經(jīng)邏輯推理得出q,則命題“若p,則q”為真；確定“若p,則q”為假時，則只需舉一個反例說明即可.課時對點練注年雙基強化落實一、選擇題1.以下說法錯誤的是()A.如果

9、一個命題的逆命題為真命題，那么它的否命題也必為真命題B.如果一個命題的否命題為假命題，那么它本身一定為真命題C.原命題、否命題、逆命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)一定為偶數(shù)D. 一個命題的逆命題、否命題、逆否命題可以同為假命題考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 B2 一個命題和它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)不可能為()A 0B 1C 2D 4考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假命題的個數(shù)答案B解析互為逆否關(guān)系的兩個命題的真假性相同3 . “若x2-3x+2=0,則x=2”為原命題，則它的逆命題、否命題與逆否命題中真命題的個數(shù)是()A 0B

10、1C 2D 3考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假命題的個數(shù)答案C解析只有其逆命題、否命題為真命題4 若命題 p 的否命題為q ，命題p 的逆否命題為r ，則q 與 r 的關(guān)系是 ()A 互逆命題B 互否命題C 互為逆否命題D 以上都不正確考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案A解析設(shè)p為“若A,則B"，那么q為“若非A,則非B"，r為“若非B,則非A” .故q 與 r 為互逆命題5 .命題“若x2>y2,則x>y”的逆否命題是()A.若 x<y,則x2<y2B,若xw y,則x2<y2C.若 x>y

11、,貝Ux2>y2D.若x>y,貝Ux2>y2考點四種命題的概念題點按要求寫命題答案B解析根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系，得命題 “若x2>y2,則x>y”的逆否命題是“若x<y,則x2wy2” .6 .給出下列四個命題：如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中為真命題的是（）A.B.C.D.考點反證法和逆否證法題點逆否證法答案 D解析 根據(jù)面面垂直的

12、判定定理可知 是真命題；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理“若兩個平面垂,可知是真命題.直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線必垂直于另一個平面 an+ an+i _一_（）B.假、假、真D.假、假、假7 .原命題為“若 n 2 n 1<an, nCN +，則an為遞減數(shù)列”，關(guān)于其逆命題、否命題、逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是A.真、真、真C.真、真、假考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 A解析從原命題、逆命題的真假入手,an+ an+i2<an? an+i<an? an為遞減數(shù)列，即原命題、逆命題都為真命題，則其逆否命題、否命題也為真命題.8 .有下

13、列四個命題：“若x+y=0,則x, y互為相反數(shù)”的逆命題；“全等三角形的面積相等”的否命題；“若qwi,則x2+2x+q = 0有實根”的逆否命題;“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題.其中真命題為（）A. B. C. D.考點四種命題間的關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案 C解析 逆命題為“若x, y互為相反數(shù)，則x+ y=0"，真命題；否命題為“不全等的三角形的面積不相等”，假命題；當qW1時，A= 4-4q>0,所以原命題是真命題，其逆否命題也是真命題； 逆命題為“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假命題.故選 C.二、填空題9 .命題“當 AB = AC時，

14、 ABC是等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題有 個.答案 2解析 原命題為真命題，逆命題 “當4ABC是等腰三角形時，AB=AC”為假命題，否命題“當ABWAC時，4ABC不是等腰三角形”為假命題，逆否命題“當4ABC不是等腰三角形時，ABWAC”為真命題.10 .已知命題p：若a>b>0,則log i av log i b+1,則命題p及其逆命題、否命題、逆否 22命題中真命題的個數(shù)為 .考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假命題的個數(shù)答案 2解析a>b>0, . log i a< logib,22命題p為真命題，其逆

15、命題為 “若log 1 av log 1b+ 1,則a> b>0", 22當 a= 2, b = 2 時，log1av log 1 b+1 成立， 22而a = b,，逆命題為假命題.原命題與其逆否命題的真假相同，逆命題與否命題互為逆否命題，命題p及其逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個數(shù)為2.11.在空間中，若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線；若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線.以上兩個命題中，逆命題為真命題的是 .（填序號）考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假答案解析 的逆命題是：若四點中任何三點都不共線，則這四點不共面我們用正方體A

16、C1為模型來觀察：上底面A1，B1，C1，D1中任何三個頂點都不共線，但A1，B1，C1，D1 四點共面，所以 的逆命題是假命題 的逆命題是：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點易知其是真命題三、解答題12判斷下列命題的真假(1)對角線不相等的四邊形不是等腰梯形；(2)若 x?AAB,則 x?A 且 X?B;(3)若 x2+y2w0,則 xyw0.考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假解(1)該命題的逆否命題是“ 若一個四邊形是等腰梯形， 則它的對角線相等” ， 它為真命題，故原命題為真(2)該命題的逆否命題是“若x e A或x e B,則x e A n B”，它為假命

17、題，故原命題為假.(3)該命題的逆否命題是"若xy=0,則x2+y2=0",它為假命題，故原命題為假.13 .判斷命題：“若 b< 1,則關(guān)于x的方程x2 2bx+b2+b=0有實根”的逆否命題的真假考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假解 方法一 (利用原命題 ) 因為原命題與逆否命題真假性一致，所以只需判斷原命題真假即可方程判別式為 A= 4b24(b2+b) = 4b,因為b< - 1,所以A> 4>0,故此方程有兩個不相等的實根，即原命題為真，故它的逆否命題也為真.方法二 （利用逆否命題）原命題的逆否命題為“若關(guān)于x的方程x2

18、 2bx+ b2+b=0無實根，則b> 1” .方程判別式為 A= 4b2-4（b2+b）=-4b,因為方程無實根， 所以A<0,即一4b<0, 所以b>0,所以b>1成立，即原命題的逆否命題為真.四、探究與拓展14 .已知命題“非空集合 M中的元素都是集合 P中的元素”是假命題， 那么下列命題中真命 題的個數(shù)為（）M中的元素都不是 P的元素；M中有不屬于P的元素；M中有屬于P的元素；M 中的元素不都是P的元素.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4考點四種命題間的相互關(guān)系題點利用四種命題的關(guān)系判斷真假命題的個數(shù)答案 B解析 由于“M?P”為假命題，故M中至少有一個元素不屬于 P, .正確.M中可能有屬于P的元素，也可能都不是 P的元素，故錯誤.故選B.115.已知條件 p： |5x-1|>a>0,其中a為實數(shù)，條件 q： 2x2 3x+ 1 >。，請選取一個適當?shù)腶值，利用所給出的兩個條件p, q分別作為集合A, B,構(gòu)造命題“若 A,則B"，并使得構(gòu)造的原命題為