華工數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)-作業(yè)3-迭代與分形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 學(xué) 院： 電子與信息學(xué)院 專業(yè)班級(jí)： 通信工程4班 學(xué) 號(hào)： 3 姓 名： 李騰輝 實(shí)驗(yàn)名稱： 迭代與分形 實(shí)驗(yàn)日期： 2013.04.7 第三次實(shí)驗(yàn)1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1.對(duì)一個(gè)等邊三角形，每條邊按照Koch曲線的方式進(jìn)行迭代，產(chǎn)生的分形圖稱為Koch雪花。編制程序繪制出它的圖形，并計(jì)算Koch雪花的面積，以及它的分形維數(shù)。2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程方法一仿照Koch曲線代碼對(duì)三角形的每條邊進(jìn)行Koch曲線化，函數(shù)的輸入?yún)?shù)有三角形的邊長(zhǎng)R和迭代次數(shù)k,輸出Koch雪花圖形以及雪花所圍面積S.KochSnow面積推導(dǎo)如下所示：迭代次數(shù)k 面積S0: S=1: S=R2+

2、(R)2*32: S=R2+ (R)2*3 + ()2R)2*323: S=R2+ (R)2*3 + ()2R)2*32 + ()3R)2*33N: S=R2+ (R)2*3 + ()2R)2*32 + ()3R)2*33+()nR)2*3n 如此相加下去，當(dāng)Nà無(wú)窮時(shí)，S將為無(wú)窮大源代碼如下：function kochsnow(R,k) %R為正三角形邊長(zhǎng)，k為迭代次數(shù)p01=0,0;p02=R/2,sqrt(3)*R/2;p03=R,0; %3個(gè)起始點(diǎn)S = 0; % S為面積，開(kāi)始設(shè)為0for line=0:2 %依次對(duì)3條邊進(jìn)行Koch曲線運(yùn)算 if line=0; p=p0

3、1;p02; elseif line=1; p=p02;p03; else line=2; p=p03;p01; end n=1; %存放線段的數(shù)量，初始值為1 A=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3); %變換矩陣 用于計(jì)算新的結(jié)點(diǎn) for s=1:k j=0; % j為行數(shù) for i=1:n q1=p(i,:); %目前線段的起點(diǎn)坐標(biāo) q2=p(i+1,:); %目前線段的終點(diǎn)坐標(biāo) d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; %原起點(diǎn)存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d; %新1點(diǎn)存入r j=j+1;r(j,:)=q1+d

4、+d*A' %新2點(diǎn)存入r j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; %新3點(diǎn)存入r end n=4*n; %全部線段迭代一次后，線段數(shù)量乘4 clear p %清空p ，注意：最后一個(gè)終點(diǎn)q2不在r中 p=r;q2; %一條邊的全部結(jié)點(diǎn) clear r end if line=0; %把第一條邊的全部結(jié)點(diǎn)放在a a=p; elseif line=1; %把第二條邊的全部結(jié)點(diǎn)放在b b=p; else line=2; %把第三條邊的全部結(jié)點(diǎn)放在c c=p; end endall=a;b;c; %三條邊全部結(jié)點(diǎn)放入allplot(all(:,1),all(:,2) %連接各個(gè)結(jié)點(diǎn)fill

5、(all(:,1),all(:,2),'g')%填充所圍區(qū)域for i=0:k %計(jì)算KochSnow的面積 S = S + (3(0.5-i)*0.25*(R2);endSaxis equalKoch雪花圖形 輸入 半徑R=2K=0時(shí) 是正三角形 此時(shí)面積為 1.7321K=1時(shí) 是正六邊形 此時(shí)面積為 2.3094K=2時(shí) 的koch雪花 此時(shí)面積為 2.5019K=3時(shí) 的Koch雪花 此時(shí)面積為 2.5660K=4時(shí) 的Koch雪花 此時(shí)面積為 2.5874分形維數(shù)：根據(jù)迭代的規(guī)律得到：相似形個(gè)數(shù)：m=6 邊長(zhǎng)放大倍數(shù)：c=3，1.631方法2只生成一次Koch曲線，然

6、后對(duì)生成的Koch曲線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)3次即可得到所需圖形。代碼略去。圖形如下第二題1.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容自己構(gòu)造生成元（要有創(chuàng)意），按照?qǐng)D形迭代的方式產(chǎn)生分形圖，用計(jì)算機(jī)編制程序繪制出它的圖形，并計(jì)算其分形維數(shù)。2.實(shí)驗(yàn)過(guò)程 在原來(lái)Koch曲線的基礎(chǔ)上修改旋轉(zhuǎn)矩陣，并對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到如下的一些圖形圖形1：飛鏢代碼如下function myPicture(k) % k取4的效果p=0 0;10 0; %P為初始兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),第一列為x坐標(biāo),第二列為y坐標(biāo)n=2; %n為結(jié)點(diǎn)數(shù)A1=cos(pi/3),-sin(pi/3);sin(pi/3),cos(pi/3);A2=cos(pi/4),-si

7、n(pi/4);sin(pi/4),cos(pi/4);A=0 -1;1 0; %旋轉(zhuǎn)矩陣for i=1:k d=diff(p)/3; %diff計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差,得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量 %則d就計(jì)算出每個(gè)向量長(zhǎng)度的三分之一,與題中將線段三等分對(duì)應(yīng) m=5*n-4; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原點(diǎn)為起點(diǎn),前n-1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量 p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后處于5k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo) p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(3:5:m,:)=q+d+1*d*A'

8、%用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(4:5:m,:)=q+2*d+1*d*A' %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+4位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) n=m; %迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目endfor i=1:8p=p;p*A2'endplot(p(:,1),p(:,2),'b') %繪出每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的連線axis equal圖形2：葉子代碼：function kochfeibiao(R,k)p01=0,0;p02=0,R;p03=R,R;p04=R,0;S = 0;%A1=cos(p

9、i/4),-sin(pi/4);sin(pi/4),cos(pi/4);for line=0:3 if line=0; p=p01;p02; elseif line=1; p=p02;p03; elseif line=2; p=p03;p04; elseif line=3; p=p04;p01; end n=2; %n為結(jié)點(diǎn)數(shù) A=0 -1;1 0; %旋轉(zhuǎn)矩陣 for i=1:k d=diff(p)/3; %diff計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差,得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量 %則d就計(jì)算出每個(gè)向量長(zhǎng)度的三分之一,與題中將線段三等分對(duì)應(yīng) m=5*n-4; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原點(diǎn)

10、為起點(diǎn),前n-1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量 p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后處于5k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo) p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(3:5:m,:)=q+d+0.5*d*A' %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(4:5:m,:)=q+2*d+0.5*d*A' %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+4位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) n=m; %迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目 end if line=0; a=p;

11、elseif line=1; b=p; elseif line=2; c=p; elseif line=3; d=p; end endall=a;b;c;d;%all=all*A1'plot(all(:,1),all(:,2),'b')fill(all(:,1),all(:,2),'g')hold onx0=1;y0=1; %畫(huà)一個(gè)圓放置在葉子中間r=0.1;theta=0:pi/100:2*pi;x=x0+r*cos(theta);y=y0+r*sin(theta);plot(x,y,'k');fill(x,y,'w')

12、;axis square; axis equal圖形三：地毯在上面葉子的基礎(chǔ)上改變了某些參數(shù)得出的代碼如下function kochfeibiao(R,k)%R = 2; %半徑設(shè)為2，面積好計(jì)算p01=0,0;p02=0,R;p03=R,R;p04=R,0;S = 0;%A1=cos(pi/4),-sin(pi/4);sin(pi/4),cos(pi/4);for line=0:3 if line=0; p=p01;p02; elseif line=1; p=p02;p03; elseif line=2; p=p03;p04; elseif line=3; p=p04;p01; end n=

13、2; %n為結(jié)點(diǎn)數(shù) A=0 -1;1 0; %旋轉(zhuǎn)矩陣 for i=1:k d=diff(p)/3; %diff計(jì)算相鄰兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之差,得到相鄰兩點(diǎn)確定的向量 %則d就計(jì)算出每個(gè)向量長(zhǎng)度的三分之一,與題中將線段三等分對(duì)應(yīng) m=5*n-4; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原點(diǎn)為起點(diǎn),前n-1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為終點(diǎn)形成向量 p(6:5:m,:)=p(2:n,:); %迭代后處于5k+1位置上的點(diǎn)的坐標(biāo)為迭代前的相應(yīng)坐標(biāo) p(2:5:m,:)=q+d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+2位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(3:5:m,:)=q+d+1*d*A' %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+3位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(4:5:m,:)=q+2*d+1*d*A' %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k+4位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) p(5:5:m,:)=q+2*d; %用向量方法計(jì)算迭代后處于5k位置上的點(diǎn)的坐標(biāo) n=m; %迭代后新的結(jié)點(diǎn)數(shù)目 end if line=0; a=p; elseif line=1; b=p; elseif line=2; c=p; elseif line=3; d=p; end endall=a;b;c;d;%all=all*A1'plot(all(:,1),all(:,2),'b')fill(a