線性代數習題答案

1、習題1-11計算下列二階行列式：（1）； （2）解 （1） （2）2計算下列三階行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）原式（2）原式（3）原式（4）原式 3證明下列等式：證明 4用行列式解下列方程組：（1） ； （2）解 （1），所以，（2），；所以，習題1-21按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）是標準排列，其逆序數為0；（2）逆序有（4 1），（4 3），（4 2），（3 2），所以逆序數為4（3）逆序有（3 2），（3 1），（4 2），（4 1）,（2 1），所以逆序數為5（4）逆序有（2 1），

2、（4 1），（4 3），所以逆序數為3（5）逆序有（3 2） 1個（5 2），（5 4） 2個（7 2），（7 4），（7 6） 3個（ 2），（ 4），（ 6），（ ） 個所以逆序數為（6）逆序有（3 2） 1個（5 2），（5 4） 2個 （ 2），（ 4），（ 6），（ ） 個（4 2） 1個（6 2），（6 4） 2個（ 2），（ 4），（ 6），（ ） 個所以逆序數為2寫出四階行列式中含有因子的項解 由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數由于已固定，只能形如，即1324或1342.對應的分別為或，所以和為所求.3在5階行列式展開式中，下列各項應取什么符號？為什么？（1）； （

3、2）；（3）； （4）解 （1）因，所以前面帶“-”號（2）因，所以前面帶“-”號（3）因，所以前面帶“+”號（4) 因，所以前面帶“-”號4若階行列式中元素均為整數，則必為整數這一結論對嗎？為什么？解 這一結論正確，因整數經乘法運算后仍為整數，而為元素的乘法的代數和，因此結果仍為整數5證明：若階行列式中有個以上的元素為零，則該行列式值為零證明 因階行列式中有個元素，而有個以上元素為零，故不為零的元素的個數小于從而，在行列式展開式中的個元素的乘積項中至少有一個元素為零，所以乘積為零，代數和也為零，故該行列式的值為零6用行列式定義計算下列行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）在展開

4、式中，不為的項取自于，而，所以行列式值為（2）在展開式中，取，則取為，則，取為，除此之外的項均為即行列式，而 ，所以 （3）在展開式中，不為的項取為，而 ，所以 （4）在展開式中，不為的項取而，所以 習題1-31設，據此計算下列行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）；（2），當時，結論仍成立（3） （4） 2用行列式性質計算下列行列式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解 （1）（2）（3）（4） （5）由于行列式中的第一列和第三列元素對應成比例，所以 （6）3把下列行列式化為上三角形行列式，并計算其值：（1）； （2）解： （1）（2） 4用行列式性質證明下

5、列等式：（1）；（2）；（3）證明 （1） 右邊（2）左邊右邊（3）左邊5計算下列階行列式：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）解 （1）（2）（3） （4）（5）6解下列方程：（1）；（2）解 （1）因所以解為，（2）因左邊，所以解為習題1-41求行列式中元素3和4的余子式和代數余子式解 3的余子式，3的代數余子式4的余子式，4的代數余子式2已知，求解：因為，所以 3已知四階行列式的第行元素依次為，它們的余子式依次為，求行列式解 將行列式按第三行元素降階展開，有4設四階行列式的第二行元素依次為，其余子式分別為，第三行的各元素的代數余子式分別為，求此行列式解 因，即，所以 從而 5按第三行

6、展開并計算下列行列式：（1）；（2）解：（1）原式（2）原式= 6證明下列各等式：（1）；（2）；（3）證明 （1）左邊右邊（2）方法一 左邊=方法二 記，構造矩陣，則是范德蒙德行列式，其結果為，其中的系數為由行列式的降階展開法則知，其中的系數，所以有，即（3） 用數學歸納法證明當時，命題成立假設對于階行列式命題成立，即所以，對于階行列式命題成立.7計算下列各行列式：（1）； （2）；（3）；（4）解（1）原式（2）依次按第二行、第三行、第四行降階展開，有（3）由范德蒙德行列式的結果知， （4）依次按第行降階展開，有8計算下列各行列式（為階行列式）：(1)；(2)；(3)，其中；(4)，其中；

7、(5)；（提示：利用范德蒙德行列式的結果）(6)，其中未寫出的元素都是解（1）按第列降階展開，有（2）（3）（4）（其中）（5）對第行，依次與上面相鄰的行交換，直至交換到第行，共需交換次再把新的第行，依次與上面相鄰的行交換，直至交換到第行，共需交換次依次類推，經次行交換，得此行列式為范德蒙德行列式（6），由此得遞推公式，所以，而，所以習題1-51用克拉默法則解下列方程組：（1）；（2）；（3）解（1）， ， ，由克拉默法則知，方程組的解為，（2）， ， ，；由克拉默法則知，方程組的解為，（3）， ，由克拉默法則知，方程組的解為，2設曲線通過四點，求系數解由于曲線過四點，所以有而，所以，3證明：對任意實數，線性方程