線性代數考試復習提綱知識點例題

1、 線性代數考試復習提綱、知識點、例題一、行列式的計算（重點考四階行列式） 1、利用行列式的性質化成三角行列式 行列式的性質可概括為五條性質、四條推論，即七種變形手段（轉置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個為0【兩行（列）相同、成比例、一行（列）全為0】2、行列式按行（列）展開定理降階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即 例1、計算行列式二、解矩陣方程矩陣方程的標準形式： 若系數矩陣可逆，則 切記不能寫成或求逆矩陣的方法：1、待定系數法 2、伴隨矩陣法 其中叫做的伴隨矩陣，它是的每一行的元素的代數余子式排在相同序數的列上的矩陣。3、初等變換法 例2、解矩陣

2、方程例3、解矩陣方程 ，其中 三、解齊次或非齊次線性方程組設，元齊次線性方程組有非零解元齊次線性方程組只有零解。 當時，元齊次線性方程組只有零解。 當時，元齊次線性方程組有非零解。當時，齊次線性方程組一定有非零解。定義：設齊次線性方程組的解滿足：（1） 線性無關，（2） 的每一個解都可以由線性表示。則叫做的基礎解系。定理1、設，齊次線性方程組，若，則該方程組的基礎解系一定存在，且每一個基礎解系中所含解向量的個數都等于。齊次線性方程組的通解 設，元非齊次線性方程組有解。 唯一解。 無數解。 無解。非齊次線性方程組的通解， 例4、求齊次線性方程組的通解例5、求非齊次線性方程組的通解。四、含參數的齊

3、次或非齊次線性方程組的解的討論例6、當為何值時，齊次線性方程組有非零解，并求解。例7、已知線性方程組，問當為何值時，它有唯一解，無解，無窮多解，并在有無窮多解時求解。五、向量組的線性相關性線性相關中至少存在一個向量能由其余向量線性表示。 存在不全為0的數使得。 有非零解 有非零解 有非零解 線性無關中任意一個向量都不能由其余向量線性表示。 若，則。 只有零解 只有零解 特殊的，個維向量線性相關或。 個維向量線性無關或。例8、已知向量組 ，討論使該向量組 （1）線性相關 （2）線性無關六、求向量組的秩，極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示設向量組，若從中選出個向量構成向量組滿足：（1）

4、線性無關（2） 中的每一個向量都能由線性表示， 條件（2）換一句話說的任意個向量（若有的話）都線性相關，或者說從中向任意添加一個向量（若有的話），所得的向量組都線性相關。則叫做的極大線性無關向量組，簡稱極大無關組。向量組的極大無關組所含向量的個數叫做向量組的秩，記作求向量組的秩的方法：（1） 擴充法（2） 子式法 最高階非0子式的階數就是矩陣的秩，也就是這個向量組的秩，并且這個子式的行（列）對應的原向量組的向量就是這個向量組的一個極大無關組。（3） 初等變換法 同法二構成矩陣，對矩陣進行初等變換。例9、設向量組 求（1）向量組的秩； （2）向量組的一個極大線性無關組，并把其余向量用這個極大線性

5、無關組線性表示。七、相似矩陣的性質與矩陣可相似對角化問題相似矩陣的性質:1、相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，行列式，跡。特征值相同是兩個矩陣相似的必要而非充分條件。2、 相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。3、 相似矩陣有相同的可逆性，當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。4、若與相似，則與相似，則與相似。 與相似有個線性無關的特征向量，且以它們?yōu)榱邢蛄拷M的矩陣使， 分別為與對應的的特征值。若有個互不相等的特征值，則一定與相似。與相似對應于的每個特征值的線性無關的特征向量的個數等于該特征值的重數。 其中為的重數例10、設矩陣與相似（1） 求x與y；（2）求可逆矩陣，使。例11、設 ，問為何值時，矩陣能相似對角化。 例12、設三階矩陣的特征值為，對應的特征向量依次為，求矩陣。 例13、設三階實對稱矩陣的特征向值 ，與特征值對應的特征