第五章微分中值

1、思考與練習(xí) 5-11. 函數(shù)在點(diǎn)取得極大(小)值的定義是什么?函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值的定義是什么?答：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,若存在,對任意的有, 則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極小(大)值,稱點(diǎn)是函數(shù)的極小(大)值點(diǎn),而函數(shù)值就稱為函數(shù)的極小(大)值。設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,，若對任意，有，則函數(shù)值就稱為函數(shù)的最小(大)值。2. 最大(小)值是否一定是極大(小)值?反之如何?答：最大(小)值不一定是極大(小)值，極大(小)值不一定是最大(小)值。例如在閉區(qū)間上能取到最大值，但不是函數(shù)在區(qū)間中的極大值，也不是函數(shù)的極大值點(diǎn)。3. 若函數(shù)在閉區(qū)間的端點(diǎn)取得最大值,且存在,則是否有,為什么?答：若函數(shù)在閉區(qū)間的

2、端點(diǎn)取得最大值,且存在,但不一定有。例如，在閉區(qū)間上能取到最大值，但。4. 穩(wěn)定點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎?穩(wěn)定點(diǎn)的幾何意義是什么?極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)嗎?答：穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)處對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的切線平行于軸。極值點(diǎn)不一定是穩(wěn)定點(diǎn)。5. 費(fèi)馬定理說明了穩(wěn)定點(diǎn)和極值點(diǎn)的什么關(guān)系?答：費(fèi)馬定理說明了若點(diǎn)是函數(shù)可導(dǎo)的極值點(diǎn)，則點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)。6. 洛爾中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理之間有什么關(guān)系?答：拉格朗日中值定理是洛爾中值定理的推廣，如果函數(shù)在閉區(qū)間上滿足,由拉格朗日中值定理立即可得洛爾中值定理?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄刀ɡ淼耐茝V，取,由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定

3、理。7. 證明拉格朗日中值定理所用的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)造的?還有其它的構(gòu)造方法嗎?答：教材中的輔助函數(shù)，即為函數(shù)與過原點(diǎn)的直線函數(shù)的差。還可令，即為函數(shù)與過點(diǎn)的直線函數(shù)的差。8. 設(shè),則柯西中值定理對于函數(shù)和在區(qū)間上是否成立.為什么?答: 不能.,對任意的,所以對任意的,都沒有.這是因?yàn)椴粷M足柯西中值定理的條件().9. 給定函數(shù),是否一定存在函數(shù)使得?答：不一定。例如，不存在函數(shù)滿足（其中是Dirichlet函數(shù)）。當(dāng)在給定區(qū)間上連續(xù)時(shí)，才一定存在函數(shù)使得。10. 求下列函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn):；.解：由，得穩(wěn)定點(diǎn)為由，得穩(wěn)定點(diǎn)為：。11. 試討論下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點(diǎn),使。; ,.解在閉區(qū)間

4、,在閉區(qū)間上連續(xù),且在兩端點(diǎn)處,.在內(nèi),，即在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理:,使.所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)不可導(dǎo)，故在內(nèi)不存在，使的點(diǎn).12. 證明:方程(這里為常數(shù))在區(qū)間內(nèi)無相異的實(shí)根;方程(為正整數(shù)這里為實(shí)數(shù))當(dāng)為偶數(shù)時(shí)至多有兩個實(shí)根;當(dāng)為奇數(shù)時(shí)至多有三個實(shí)根;證用反證法: 設(shè).若存在,使得.因?yàn)樵谏线B續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾中值定理,應(yīng),使得,而這兩點(diǎn)均不可能在區(qū)間內(nèi),此為矛盾.() 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),用反證法:若存在為方程的三個根,令.因?yàn)樵诤蜕线B續(xù),在上可導(dǎo),由羅爾中值定理可得:,使,所以得,因?yàn)槭瞧鏀?shù),所以,此為矛盾.所以方程當(dāng)為偶數(shù)時(shí)至多有兩個實(shí)根.()當(dāng)為奇數(shù)時(shí),用反證法:若存在為方程的四個根,

5、令.依()相同的理由,.使,即,有三個實(shí)根.由于是偶數(shù),這與()矛盾.所以方程當(dāng)為奇數(shù)時(shí)至多有三個實(shí)根.13. 應(yīng)用拉格朗日中值定理證明下列不等式:,其中;,其中;對任意實(shí)數(shù),都有;.證： 設(shè),函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件,所以存在,使. 設(shè),則對任意的,在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo),函數(shù)滿足拉格朗日中值定理的條件,所以,使.令,則對任意的實(shí)數(shù)在(或上可導(dǎo),且.所以。令,則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件,故,使得,又 ,故 14. 若在區(qū)間上存在有界導(dǎo)數(shù),試證:在上滿足Lipschitz條件.(參看第三章第2節(jié)20題).證明：由于在區(qū)間上有界，所以存在常數(shù)，對任意的，有。利用拉格朗日中值定理，對任

6、意，有，其中。15. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),證明:存在,使得=.證 () 若,則取,結(jié)論成立.()若且,則同樣取,結(jié)論成立.() 若,但.（）若,且.則取,在區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件,所以,使。16. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù),證明:.證 設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),所以在的某空心鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,根據(jù)定理5.6得16*. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù),且，.由拉格朗日中值定理知,存在,使得.證明：.證17. 設(shè).證明存在,使得.證 設(shè),則在上滿足: (1) 連續(xù); (2) 可導(dǎo).(3) 對任意的，（4）對任意的，.由柯西中值定理得，,使。思考與練習(xí) 5-21. 不定式有哪幾種形

7、式?答：不定式存在的形式有：，。2. 若存在,求證:.證 由洛比達(dá)法則可得.上述證明正確嗎?如果不正確,請說明理由,并給出正確的證明方法.答：不正確。因?yàn)轭}目條件只是存在，即題目沒有條件“在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)”，因而，對極限就不能使用洛比達(dá)法則；而且，題目也沒有“在點(diǎn)連續(xù)”的條件，所以，極限和不一定存在，當(dāng)然，也就沒有這樣的運(yùn)算結(jié)論。正確的證明方法是：3. 用洛比達(dá)法則求極限對嗎?為什么?怎樣的計(jì)算方法才是正確的?解：不對，這個極限不是型，即不滿足洛比達(dá)法則的第一個條件。應(yīng)直接用“商的極限等于極限的商”求極限，即。4. 能否用洛比達(dá)法則求極限?為什么?答：不能，因?yàn)椴淮嬖冢什粷M足洛比達(dá)法

8、則的第二個條件。5. 用洛比達(dá)法則求極限(正確答案是)錯在哪里?為什么?解：。錯誤出在第二次使用洛比達(dá)法則時(shí)，沒有檢驗(yàn)極限不滿足洛比達(dá)法則的條件。6. 能否借用洛比達(dá)法則求數(shù)列極限?以數(shù)列極限說明具體求法.答：可以。先求函數(shù)極限，所以。7. 應(yīng)用洛比達(dá)法則求下面兩個極限 與 能否得到正確結(jié)果?能否用初等方法求出?這些都說明了什么?答：不能，因?yàn)闃O限雖然是“”型，但使用一次洛比達(dá)法則之后得到的極限不存在，故不滿足洛比達(dá)法則的第三個條件；極限也是“”型，但無論用多少次洛比達(dá)法則，所得到的極限仍是“”型，因而永遠(yuǎn)也不可能達(dá)到洛比達(dá)法則的第三個條件的要求?？梢杂玫诙碌姆椒ㄇ蟪鰳O限，即；。8. 求下列

9、不定式極限; ;. 解：；令，則，又,所以;令，則,而,所以;.9. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處二階可導(dǎo).證明:.證 設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處二階可導(dǎo),所以在的某空心鄰域內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù),故在連續(xù)，且。10. 由拉格朗日中值定理知,存在,使,求極限. 由柯西中值定理知,存在,使,求極限.解 解法1 因?yàn)?又所以解法2（要用本章第3節(jié)的結(jié)論）解法1，由（1）得，所以解法2 對使用泰勒公式。11 設(shè)是以為周期的連續(xù)、可導(dǎo)函數(shù),則對任意的有理數(shù),至少存在一點(diǎn),使.證明：令，則，其中又是以為周期的函數(shù)，所以有，所以，故。思考與練習(xí) 5-31. 求下列函數(shù)帶佩亞諾型的麥克勞林公式:;到含的項(xiàng).解所以,從而有。則所以。2. 按例

10、9的方法求下列極限:; ;.解：因?yàn)?所以, 原式；因?yàn)樗裕灰驗(yàn)?,由泰勒公式得到,所以因此.3. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式:在處;,在處.解,所以,從而有.,.從而有另解其中.4. 用間接法，按指定的次數(shù)寫出函數(shù)在的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式:,5次; ,6次;,6次; ,4次.解：解法1 因?yàn)?所以,所以解法2而 因?yàn)?所以因?yàn)?所以5. 證明：若在開區(qū)間內(nèi)滿足,則是次多項(xiàng)式.證明：因?yàn)?所以,取定,由泰勒公式得其中，所以是次多項(xiàng)式。6. 利用泰勒公式證明:對任意的,有.證明：因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),而，,所以。思考與練習(xí) 5-41. 怎樣從幾何上解釋單調(diào)函數(shù)的判別法則(

11、定理5.10與定理5.11)?答：表示的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，表明函數(shù)圖像的切線斜率非負(fù)（正），則函數(shù)的圖形是沿軸正向上升（下降）的曲線，所以函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。2. 怎樣用函數(shù)的單調(diào)性證明某些不等式?答：證明函數(shù)不等式的方法,要證,就是要證不等式,如果差函數(shù)在區(qū)間滿足(1)單調(diào)遞增,也就是要證:對任意的,有;(2)在區(qū)間的左端點(diǎn)的值,則要證的函數(shù)不等式當(dāng)然成立.3. 判別函數(shù)在點(diǎn)取極值有哪些判別法?答：判別方法有：設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上,為的連續(xù)點(diǎn).(i)如果存在,使得則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值;(ii)如果存在,使得則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值;()當(dāng)時(shí),恒正或恒負(fù),則函數(shù)在處沒有極值.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)且,則

12、(i) 當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值;(ii) 當(dāng)時(shí),函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值.設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直到階導(dǎo)數(shù),在處階可導(dǎo),且,則() 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),在點(diǎn)處取得極值,且當(dāng)時(shí)取極大值,時(shí)取極小值.()當(dāng)為奇數(shù)時(shí),在點(diǎn)處不取極值.4. 極值第一判別法的幾何意義如何?能否說,判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)只能用第一判別法?答:極值第一判別法是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號來討論函數(shù)的單調(diào)性,因而,幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性相同.不能.因?yàn)槌说谝慌袆e法之外,極值的定義也是判別法之一.5. 函數(shù)在穩(wěn)定點(diǎn)是否一定取極值?答：不一定.6. 函數(shù),且在閉區(qū)間中只有一個極值,那么為什么極大值就是最大值?極小值就是最小值?證 若是在上的唯

13、一極大值點(diǎn),則存在某,使對,有.若在上另外存在一個最大值點(diǎn),使.不失一般性設(shè).由條件可得在閉區(qū)間上連續(xù),所以在上可取得最小值,因?yàn)榍沂堑臉O大值點(diǎn),故存在,使對任意的,有,因而是在區(qū)間上的一個極小值點(diǎn),此與條件矛盾.同理,若是上函數(shù)的唯一極小值點(diǎn),則必是最小值點(diǎn).7. 面積一定的矩形中,哪個矩形周長最小?周長一定的矩形中,哪個矩形面積最大?你能否再提出類似的問題?答：面積一定時(shí)，當(dāng)一邊長為面積的平方根時(shí)，矩形的周長最小。周長一定時(shí)，當(dāng)一邊長為周長的四分之一時(shí)，矩形的面積最大。如圓柱體的體積與表面積的關(guān)系等.8. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值:; ; ; ; .解：在區(qū)間上嚴(yán)格遞減; 在上嚴(yán)格遞增

14、.所以極小值為.在區(qū)間和內(nèi)均為嚴(yán)格遞增。無極值因?yàn)?又令,則.當(dāng)時(shí),故嚴(yán)格單調(diào)減,且,所以,當(dāng)時(shí),所以在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增.無極值.，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。所以極大值為，極小值為。，在內(nèi)，所以在上為嚴(yán)格遞增，無極值。，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以極大值為。9. 應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明下列不等式:;, ;, ;, .解：設(shè),則.所以,當(dāng)時(shí),有所以。設(shè),有.又,.所以在區(qū)間上嚴(yán)格遞增,故得,有,即。設(shè)則,.(注:由教材78頁的不等式(2)知,當(dāng)時(shí),.由于,而在上嚴(yán)格遞增,在上嚴(yán)格遞減,所以,對任意的,有,所以。的另一證法：設(shè)，則，所以是凹函數(shù)，又，因此（該證法要用到函數(shù)的凹凸性結(jié)論）。設(shè)

15、,則.,則.所以,當(dāng)時(shí),有,所以。10. 求下列函數(shù)在指定區(qū)間上的最大值和最小值:; ; ; .解：由，得駐點(diǎn)，所以最大值為，最小值為.由，得駐點(diǎn)，而，所以最大值為，最小值為。由得駐點(diǎn)，而，所以最大值為，最小值為.，所以，所以在處不可導(dǎo),，所以在處不可導(dǎo),而所以最大值為，最小值為.11. 中哪項(xiàng)最大?解 令,則又,所以.12. 從半徑為的圓紙片上剪去一個扇形,做成一個圓錐形的漏斗:如何選取扇形的頂角,可使漏斗的容積最大?解：設(shè)漏斗的底面半徑是，則漏斗的容積為。令，最大時(shí)容積就最大由，得所以，而，所以時(shí)，漏斗的容積最大。13. 有一個無蓋的圓柱形容器,當(dāng)給定體積為時(shí),要使容器的表面積為最小,問底

16、的半徑與容器高的比例為多大?解 設(shè)容器的底半徑為,高為,側(cè)面積與底面積之和為,由題設(shè) 及 ,令,得穩(wěn)定點(diǎn),所以是在內(nèi)唯一的極小值點(diǎn),由本節(jié)6題的結(jié)論知,它是在內(nèi)的最小值點(diǎn),此時(shí),即當(dāng)時(shí),容器的表面積最小14. 重量為的物體放在一粗糙的平面上,施加一力克服摩擦,使之在平面上滑動,其摩擦系數(shù)為,問該力應(yīng)與水平成何角度,方可使用力最小?解：設(shè)作用力對水平面的傾角為，則，即。令，為使最小，只要使最大。由，得，此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，為最大，從而為最小值，也即此時(shí)用力最省。15. 設(shè)在處都取得極值,試求與;并問此時(shí)在與是取得極大值還是極小值?解:,因?yàn)?解此方程組得:;又.所以為極小值,為極大值.16. 設(shè),則當(dāng)

17、時(shí),有(提示:求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值).解：設(shè),則,令，得,又當(dāng)時(shí),故單調(diào)增,當(dāng)時(shí),故單調(diào)減,所以為在區(qū)間上的最大值，所以當(dāng)時(shí),有.思考與練習(xí) 5-51. 在不同條件下函數(shù)在區(qū)間上是凸(凹)函數(shù)的定義是什么?解：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)如果對任意給定的,都有() ,則稱函數(shù)在區(qū)間上是凹函數(shù),對應(yīng)的曲線稱為凹的;() ,則稱函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù),對應(yīng)的曲線稱為凸的.設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),若對任意的和任意的,總有, (1)則稱為上的凸函數(shù),對應(yīng)的曲線稱為凸的.反之,如果對任意的和任意的,總有, (2)則稱為上的凹函數(shù),對應(yīng)的曲線稱為凹的.2.通過判別函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性、和極值等,你看到拉格朗日中值定

18、理(包括泰勒定理)起到了什么作用?答：拉格朗日中值定理是連結(jié)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁:事實(shí)上,對于,我們在區(qū)間上考慮拉格朗日中值定理得,也就是.函數(shù)用在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值表示出來了,所以我們說拉格朗日中值定理是利用導(dǎo)數(shù)的局部性態(tài)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性態(tài)的重要工具.3.導(dǎo)函數(shù)有穩(wěn)定點(diǎn)時(shí),是否一定是拐點(diǎn)?為什么?答：不一定，還要通過判斷在左右兩邊的符號相反，則才是拐點(diǎn)。4. 函數(shù)的凸性與函數(shù)的可導(dǎo)性有什么關(guān)系?答：設(shè)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù),則為上的凸函數(shù)的充要條件是為上的增函數(shù)；設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在上為凸函數(shù)的充要條件是.5. 判別下列函數(shù)的凸性:,其中; ,其中; .解：因?yàn)椋?，所以為凸函?shù)。

19、所以為凸函數(shù)。，所以為凸函數(shù)，所以是凸函數(shù)。6. 確定下列函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點(diǎn):; ;.解：,當(dāng)時(shí),是凹區(qū)間;當(dāng)時(shí),是凸區(qū)間;,故點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).,當(dāng)時(shí),是凸區(qū)間;當(dāng)時(shí),是凹區(qū)間;曲線的兩個拐點(diǎn).曲線無拐點(diǎn);當(dāng)時(shí),是凹區(qū)間;當(dāng)時(shí),是凸區(qū)間;,當(dāng)時(shí),是凸區(qū)間;當(dāng)時(shí),是凹區(qū)間;當(dāng)時(shí),是凸區(qū)間;是曲線的兩個拐點(diǎn).7. 問和為何值時(shí)，點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)？解,.易驗(yàn)證當(dāng)時(shí),點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn).8. 證明:(1)若為凸函數(shù),為非負(fù)實(shí)數(shù),則為凸函數(shù);(2)若f均為凸函數(shù),則為凸函數(shù);(3)若為區(qū)間上凸函數(shù),為上凸增函數(shù),則為上凸函數(shù).證 (1) 因?yàn)闉橥购瘮?shù),所以對和,有,又,所以.所以為凸函數(shù).(2) 對和,有所

20、以為凸函數(shù);(3) 因?yàn)闉樯系耐购瘮?shù),所以對和,有.若,若綜上可得.由于為上凸增函數(shù),所以,所以為上凸函數(shù).注: 若為上的凸函數(shù),只是上凸函數(shù),則得不到為上凸函數(shù),例如,易證,都是上的凸函數(shù),且,但是上的凹函數(shù).9. 設(shè)在區(qū)間上為凸函數(shù),如果存在使得.求證:在區(qū)間上是常值函數(shù).證反證法 若在區(qū)間上不是常值函數(shù),則存在,使得.不失一般性,設(shè).由定理5.19,可得;又因?yàn)?即一個負(fù)數(shù)大于一個正數(shù),此為矛盾.10. 應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式:對任何非負(fù)實(shí)數(shù),有;對任意的實(shí)數(shù),有.證：若,則等號成立;若,不妨設(shè),取函數(shù),顯然是上的嚴(yán)格凹函數(shù).令,則,故有若,則等號成立;若,不妨設(shè),取函數(shù),顯然是上的嚴(yán)格凸函數(shù).令,則,故有11* 設(shè)為區(qū)間上的凸函數(shù),則在上滿足李普希茲條件,即存在常數(shù),使得.由此可知在內(nèi)連續(xù).(注意:在中未必連續(xù))證 任取,使得,對任意的,不妨設(shè).因?yàn)闉橥购瘮?shù),所以有,所以,即.由于在上滿足李普希茲條件,故在上連續(xù)(而且是一致連續(xù)),由的任意性可得在內(nèi)連續(xù).但是在上未必連續(xù).事實(shí)上,設(shè)在上是凸函數(shù),當(dāng)在端點(diǎn)處不連續(xù).12* 設(shè)在區(qū)間上為凸函數(shù).證明: 在內(nèi)有單調(diào)增的左右導(dǎo)函數(shù),并且; 設(shè),如果在左連續(xù)(或在右連續(xù)),則在可導(dǎo).證 對任意的,由的凸性條件,可得,由此可知函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)增,且有上界,從而當(dāng)時(shí),存在有限極限,且.同理可證函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)減,且有下界,從而當(dāng)時(shí),存