離散傅里葉變換48590

1、第3章 離散傅里葉變換在第二章討論了利用序列的傅里葉變換和z變換來表示序列和線性時(shí)不變系統(tǒng)的方法，公式分別為：和。對(duì)于有限長序列，也可以用序列的傅里葉變換和z變換來分析和表示，但還有一種方法更能反映序列的有限長這個(gè)特點(diǎn)，即離散傅葉里變換。這就是我們這一章要討論的問題。離散傅里葉變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示法在理論上相當(dāng)重要之外，而且由于存在著計(jì)算離散傅里葉變換的有效快速算法，因而離散傅里葉變換在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。這一章討論的問題有：1、 傅里葉變換的幾種可能形式：至今學(xué)過很多種傅里葉變換形式，到底之間有什么不同，需要分析一下；2、 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DF

2、S)：通常的周期信號(hào)都可以表示成傅里葉級(jí)數(shù)，然后根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)可以得到傅里葉變換；也就是說傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間有一定的關(guān)系；3、 有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)：這是我們的重點(diǎn)，我們會(huì)對(duì)其性質(zhì)等作分析討論；4、 DFT的應(yīng)用：學(xué)習(xí)了這種傅里葉變換，怎么用？計(jì)劃作一個(gè)實(shí)驗(yàn)。3.1 傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換就是建立以時(shí)間為自變量的"信號(hào)"與以頻率為自變量的"頻率函數(shù)"之間的某種變換關(guān)系。都是指在分析如何綜合一個(gè)信號(hào)時(shí)，各種不同頻率的信號(hào)在合成信號(hào)時(shí)所占的比重。如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，可以用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)來表示，可以分解成不同次諧波的疊加，

3、每個(gè)諧波都有一個(gè)幅值，表示該諧波分量所占的比重。傅里葉表示形式為：（Fn離散、衰減、非周期）。例如周期性矩形脈沖，其頻譜為。畫出圖形。對(duì)于非周期信號(hào)，如門函數(shù)，存在這樣的關(guān)系式：，時(shí)域非周期連續(xù)，頻率連續(xù)非周期。畫出圖形。例如序列的傅里葉變換，變換關(guān)系為：，時(shí)域?yàn)榉侵芷陔x散序列，頻域?yàn)橹芷跒?的連續(xù)周期函數(shù)。以上三種傅里葉變換都是符合傅里葉變換所謂的是建立以時(shí)間為自變量的"信號(hào)"與以頻率為自變量的"頻率函數(shù)"之間的某種變換關(guān)系。不同形式是因?yàn)闀r(shí)間域的變量和頻域的變量是連續(xù)的還是離散而出現(xiàn)的。這三種傅里葉變換因?yàn)榭傆幸粋€(gè)域里是連續(xù)函數(shù)，而不適合利用計(jì)算機(jī)來

4、計(jì)算。那么如果時(shí)間域里是離散的，而頻域也是離散的，就會(huì)適合在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用了，那么傅里葉變換會(huì)是什么形式？見書上90頁圖形，可見時(shí)域和頻域都對(duì)應(yīng)為序列的形式。3.2 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）回顧一下，對(duì)于周期信號(hào)，通常都可以用傅里葉級(jí)數(shù)來描述，如連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)來表示為，可以看成信號(hào)被分解成不同次諧波的疊加，每個(gè)諧波都有一個(gè)幅值，表示該諧波分量所占的比重。其中為基波，基頻為=2/T（T為周期）。設(shè)是周期為N的一個(gè)周期序列，即=，r為任意整數(shù)，用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示應(yīng)該為=，其中0=2/N是基頻，基頻序列為。下面來分析一下第（K+rN）次諧波和第（k）次諧波之

5、間的關(guān)系。因?yàn)?=2/N，代入表達(dá)式中，得到=，r為任意整數(shù)。這說明第（K+rN）次諧波能夠被第（k）次諧波代表，也就是說，在所有的諧波成分中，只有N個(gè)是獨(dú)立的，用N個(gè)諧波就可完全的表示出。K的取值從0到N-1。這樣=，是為了計(jì)算的方便而加入的。下面來看看如何根據(jù)來求解。先來證明復(fù)指數(shù)的正交性： ，注意該表達(dá)式是對(duì)n求和，而表達(dá)式的結(jié)果取決于（k-r）的值。在=兩邊都乘以，并且從n=0到n=N-1求和，得到 交換求和順序，再根據(jù)前面證明的正交性結(jié)論可以得出：，換一個(gè)變量，有=，從的表達(dá)式可以看出也是周期為N的周期序列，即=。為周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)=在上面的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)中，n和k的范圍是從-到

6、。為了表示的方便，引入變量，N表示周期。重新寫上面的級(jí)數(shù)對(duì)。討論如下內(nèi)容：1），以N為周期。，；2）求和只對(duì)序列的一個(gè)周期的值進(jìn)行，但求出的或卻是無限長的；3）由以N為周期推導(dǎo)出以N為周期；4）對(duì)于周期序列=，因?yàn)閦變換不收斂，所以不能用z變換，但若取的一個(gè)周期，則z變換是收斂的。，當(dāng)取時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，=，這相當(dāng)于在=0到=2的范圍內(nèi)，以2/N的頻率間隔在N個(gè)等間隔的頻率上對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。5）引入主值序列的概念，即序列在0N-1區(qū)間的序列稱為主值序列。舉例：例1 求的DFS系數(shù)。設(shè)為周期沖激串=，對(duì)于0nN-1，=，可以求出=1，即對(duì)于所有的k值，均相同。表示成級(jí)數(shù)形式為=。例2 設(shè)的周期

7、為N=10，在主值區(qū)間內(nèi)，0n4時(shí)，=1，在5n9時(shí)，=0。畫出的圖形，則=，畫出的幅值圖。(0)=5，(±1)=3.23，(±2)=0，(±3)=1.24，(±4)=0，(±5)=1，(±6)=0，(±7)=1.24，(±8)=0，(±9)=3.23，這是一個(gè)周期內(nèi)的值。設(shè)n取514，即不是取主值周期，隨便取一個(gè)周期，計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)，得到的結(jié)果和在主值周期中的結(jié)果一樣。下面計(jì)算有限長序列=的傅里葉變換。=，如果將=2k/10代入上式，則結(jié)果和一樣。的幅度一個(gè)周期圖如下所示： 可以看出相當(dāng)于在=0到=2的

8、范圍內(nèi)，以2/10的頻率間隔在10個(gè)等間隔的頻率上對(duì)傅里葉變換進(jìn)行采樣。例3 例題中得到這樣一個(gè)結(jié)論，對(duì)于以N為周期的周期序列，任取一個(gè)周期求得的傅里葉系數(shù)與在主值區(qū)間（n=0N-1）中求得的傅里葉系數(shù)相同?，F(xiàn)在已知的周期為N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，證明=。證明：=（令n-m=rN或m=n-rN）= =（后一個(gè)分量作變量m-N=n）= =例4（留作作業(yè)）的周期為N，其DFS系數(shù)為。也是周期為N的周期序列，試?yán)们蟮腄FS系數(shù)。解：= =，所以=。3.3 離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)離散傅里葉級(jí)數(shù)的某些性質(zhì)對(duì)于它在信號(hào)處理問題中的成功使用至關(guān)重要，因

9、為DFS與z變換和序列的傅里葉變換關(guān)系密切，所以很多性質(zhì)和z變換的性質(zhì)相似，而DFS是和周期性序列聯(lián)系在一起，所以存在一些重要差別。另外，在DFS表達(dá)式中時(shí)域和頻域之間存存在著完全的對(duì)偶性，而在序列的傅里葉變換和z變換的表示式中這一點(diǎn)不存在?？紤]兩個(gè)周期序列、，其周期均為N，若，1、 線性a+ba+b，周期也為N。由定義式證明。2、 序列的移位 ，那么。證明：=3、 調(diào)制特性因?yàn)橹芷谛蛄械母道锶~級(jí)數(shù)的系數(shù)序列也是一個(gè)周期序列，所以有類似的結(jié)果，為整數(shù)，有。證明：。4、 對(duì)稱性給出幾個(gè)定義：1） 共扼對(duì)稱序列滿足的序列2） 共扼反對(duì)稱序列滿足=的序列3） 偶對(duì)稱序列、奇對(duì)稱序列若和為實(shí)序列，且滿

10、足=和=。4） 任何一個(gè)序列都可表示成一個(gè)共扼對(duì)稱序列和一個(gè)共扼反對(duì)稱序列之和（對(duì)實(shí)序列，就是偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列之和）。即有=+，其中=（+）/2，=（-）/2 下面為對(duì)稱性： ；=（+）/2 證明：=（任意一個(gè)周期的DFS系數(shù)和主值區(qū)間中的DFS系數(shù)是一樣的）=； =； +=5、 周期卷積如果=·，則=；這是一個(gè)卷積和公式，但與線性卷積有所不同，首先在有限區(qū)間0mN-1上求和，即在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行求和；對(duì)于在區(qū)間0mN-1以外的m值，的值在該區(qū)間上周期的重復(fù)。看書上95頁的圖解周期卷積。證明：見書94頁。3.4 非周期序列和周期序列的一般關(guān)系非周期序列（非周期序列不一定是有限長序

11、列）具有傅里葉變換的形式，周期序列的DFS系數(shù)對(duì)應(yīng)于在頻率上等間隔的采樣?？紤]非周期序列x(n)的傅里葉變換為，并且假定序列是通過對(duì)在頻率處采樣得到的（即是構(gòu)造出來的一個(gè)序列），即=|=因?yàn)楦道锶~變換是w的周期函數(shù)，周期為2，所以得出的序列是k的周期函數(shù)，周期為N。這樣，可以看出樣本序列是周期序列，周期為N，它可以是一個(gè)序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)序列。為得到，可以將代入公式中：=，已經(jīng)假定存在的傅里葉變換，所以=，借助=|=，有=，根據(jù)，=。由此可以看出與對(duì)應(yīng)的周期序列是把無數(shù)多個(gè)平移后的加在一起而形成的，是對(duì)采樣而得到的。N為序列的周期，而不是非周期序列的長度M。這樣就可能出現(xiàn)這種情況，當(dāng)序

12、列的周期N大于非周期序列的長度M時(shí)，延時(shí)后的序列沒有重疊在一起，并且周期序列的一個(gè)周期就是，這時(shí)符合一個(gè)周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)就是一個(gè)周期上的傅里葉變換的抽樣值。如果N<M時(shí)，平移后的序列相互重疊，的一個(gè)周期不再與的周期相同，但式子=|=依然成立。這和我們討論過的時(shí)域采樣定理有點(diǎn)類似，當(dāng)NM時(shí)，原來的序列可以從中抽取一個(gè)周期來恢復(fù)，同樣，傅里葉變換也可以從頻率上以2/N等間隔的采樣來恢復(fù)。當(dāng)N<M時(shí)，序列就不能從中抽取一個(gè)周期來恢復(fù)，也不能由它的采樣來恢復(fù)。這主要是采樣的點(diǎn)數(shù)不夠。但只要是有限長的，就可以選擇采樣點(diǎn)數(shù)，避免混疊。也就是說，只要是有限長，就沒有必要知道在所有頻率處的

13、值。若給出一個(gè)有限長序列，就能根據(jù)=形成一個(gè)周期序列，從而可以用傅里葉級(jí)數(shù)來表示。另外，如果給出傅里葉系數(shù)，就可以求出，取出其主值序列得到。當(dāng)利用傅里葉級(jí)數(shù)以這種方式來表示有限長序列時(shí)，就稱它為離散傅里葉變換（DFT），所以在討論或應(yīng)用DFT時(shí)應(yīng)明白，通過傅里葉變換的采樣值來表示，實(shí)際上是用一個(gè)周期序列來表示有限長序列，該周期序列的一個(gè)周期就是我們要表示的有限長序列。3.5 有限長序列的傅里葉表示：離散傅里葉變換（DFT） 上面討論了=，即有限長序列可看作是周期序列的一個(gè)周期。周期序列和有限長序列的關(guān)系可表示成：=，；同樣離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)也是一個(gè)周期為N的周期序列，我們將與有限長序列相聯(lián)系的

14、傅里葉系數(shù)選取為與的一個(gè)周期相對(duì)應(yīng)的有限長序列，則有以下關(guān)系：=，=。和相聯(lián)系的關(guān)系式為：=，=，因?yàn)閮蓚€(gè)式子中的求和都只涉及到0(N-1)這個(gè)區(qū)間，所以根據(jù)前面有限長序列和周期序列的關(guān)系可以得到：=和=，即=，=。這意味著：對(duì)于區(qū)間0kN-1之外的k，=0。而且，對(duì)于區(qū)間0nN-1之外的n，=0。注意：對(duì)于有限長序列時(shí)域和頻域的關(guān)系式中蘊(yùn)含有周期性，從關(guān)系式=，=可以看出其實(shí)有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示，隱含有周期性意義。當(dāng)利用=式子來計(jì)算時(shí)，如去掉后綴，那么對(duì)于0nN-1之外的n，并不等于零，而是的周期延拓。只是我們感興趣的的值只是在0nN-1區(qū)間內(nèi)，因?yàn)樵谠搮^(qū)間之外的確為零

15、，并且認(rèn)為所感興趣的值也只是在區(qū)間0kN-1內(nèi)，因?yàn)樵谑阶?中只需要這些值。隱含周期性：假設(shè)長為N的序列是由對(duì)x(t)取樣得來的，則頻域上已經(jīng)意味著以為周期作周期延拓?，F(xiàn)對(duì)頻域作等間隔取樣，則時(shí)間序列按周期N延拓為，因此利用DFT對(duì)的時(shí)間序列展開，相當(dāng)于對(duì)此序列作周期性處理。由以上的討論可見，DFT的時(shí)域和頻域都是有限長的、離散的，故可利用計(jì)算機(jī)完成兩者間的變換，這是DFT的最大優(yōu)點(diǎn)之一。例：為了說明有限長序列的DFT，考慮有限長序列=1，0n4，=0，n為其它值時(shí)，畫圖。在確定DFT時(shí)，我們可以將看作是一個(gè)長度5的任意有限長序列（如長度為6或10等等）。設(shè)想為長度為N=5的序列，周期序列在所

16、有n上取值都為1，畫圖。根據(jù)公式，可以得到：=等，即只有在k=0和k=N的整數(shù)倍處才有非零的DFS系數(shù)。畫出圖形。在上面的圖中畫出對(duì)應(yīng)的采樣值。的5點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)于抽取的一個(gè)周期而得到的有限長序列。畫出圖形。只有在k=0時(shí)，有一個(gè)值為5，其它點(diǎn)上為0。如果考慮將換成長度N=10的序列，則基本的周期序列情況為：的一個(gè)周期中，0n4時(shí)，=1，5n9時(shí)，=0，然后開始下一個(gè)周期。這時(shí)得到的上圖中02中進(jìn)行等間隔采樣的10個(gè)點(diǎn)。3.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)由于DFT是從DFS中得來的，所以很相像，都是根據(jù)有限長序列DFT的隱含周期性得出。1） 線性注意特殊情況下如何定線性組合后序列的長度。以長度大的為周

17、期。2） 序列的圓周/循環(huán)移位定義：（1） 與線性移位、周期移位作比較（2） 理解：l 將拓成，將右移m位得=，取主值；l 一端出另一端進(jìn)，因?yàn)槭怯邢揲L；l 均勻分布在一個(gè)圓上，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3） 圓周/循環(huán)移位定理若DFTx(n)=X(k), ，則DFTy(n)=X(k)形式與DFS的周期移位相同，表明序列圓周移位后的DFT為乘上相移因子，即時(shí)域中圓周移m位，僅使頻域信號(hào)產(chǎn)生的相移，而幅度頻譜不發(fā)生改變，即|=|4） 對(duì)稱性見書上100頁，和DFS中討論的相似，都是按照DFS來解，然后取主值區(qū)間值即可。對(duì)著書把這些性質(zhì)理一遍。然后看書上例題3-1。書上習(xí)題6：解：（1）要使所有的為實(shí)數(shù)，

18、即要求=，對(duì)應(yīng)時(shí)域則有。從圖可見，為實(shí)序列，所以要求=。所以選擇圖（b）； （2）要使所有的為虛數(shù)，即要求=，對(duì)應(yīng)時(shí)域有=-。從圖可見，為實(shí)序列，所以要求=-。所以沒有選擇； （3）(a)和（c）滿足。待入到的公式中計(jì)算。(a)圖，=，當(dāng)k=±2，±4，時(shí)，=0；(c)圖對(duì)應(yīng)(a)圖序列減去（a）圖序列平移4位后的序列，所以。結(jié)果=0。時(shí)域里移4位（左移），頻域乘以，N=8，看作是右移也可以，答案一樣。5） 圓周卷積和/循環(huán)卷積定理 和的長度都為N，如果Y(k)=，則根據(jù)定理可以求出圓周卷積，當(dāng)然求圓周卷積，可以借助DFT來計(jì)算，即IDFTY(k)=y(n)?？梢妶A周卷積與

19、周期卷積的關(guān)系，在主值區(qū)的結(jié)果相同，所以求圓周卷積是可以把序列延拓成周期序列，進(jìn)行周期卷積，然后取主值的方法來求。也可以根據(jù)圓周移位的理解來做，見下面例題：例1：令為長度是N的有限長序列，且=，則可以看作為一個(gè)長度為N的有限長序列，定義為=，如果=，則=，即是在0nN-1內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n0個(gè)取樣間隔得到的序列。將放在一個(gè)內(nèi)圓周上，將放在外圓周上，零點(diǎn)重合，然后進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，看結(jié)果。與上面分析一樣的結(jié)果。例2：=，若N=L，則N點(diǎn)DFT為 ，如果將X1(k)和X2(k)直接相乘，得 =，由此可得=N，0nN-1。也可以畫圖旋轉(zhuǎn)來解答。 以上兩個(gè)例題都是根據(jù)DFT來計(jì)算圓周卷積，用定義式無疑較難，

20、用圖形旋轉(zhuǎn)功能也有限。 考慮上面的例2，我們可以把和看作是2L點(diǎn)序列，只要增補(bǔ)L個(gè)零即可?，F(xiàn)在來計(jì)算增長序列的2L點(diǎn)圓周卷積。計(jì)算出結(jié)果。然后計(jì)算一下和的線性卷積，看結(jié)果與前面2L點(diǎn)圓周卷積結(jié)果關(guān)系。假設(shè)L=4，則2L=8，則線性卷積和根據(jù)定義式有y(n)=，0m3,0n-m3,得出0n6。當(dāng)0n3時(shí),0mn，y(n)=n+1；當(dāng)4n6時(shí)，n-3m3，y(n)=7-n。計(jì)算8點(diǎn)圓周卷積，結(jié)果和線性卷積一樣。后面我們會(huì)證明一般情況下的結(jié)論。3.7 有限長序列的線性卷積和圓周卷積已知N，M，作線性卷積y(n)=x1(n)*x2(n)= ，其中0mN-1，0n-mM-1，得出0nM+N-2，即y(n

21、)長度最大為M+N-1。對(duì)、分別補(bǔ)零，使之長度為L，然后進(jìn)行L點(diǎn)周期卷積（圓周卷積等于周期卷積的主值區(qū)間）。這樣有：=，=，則進(jìn)行周期為L的周期卷積得=（將其中的N改為L） =（將其中x1(n)換成x1(m)） =（求和之在一個(gè)周期，所以x1(m+qL)中只能取q=0） =上式說明了有限長序列、的線性卷積的周期延拓構(gòu)成了周期序列、的周期卷積，其中和分別是由有限長序列、形成的。這要L滿足一定條件，線性卷積就等于周期卷積的主值周期，而這也正好是圓周卷積的結(jié)果。也就是說，只要LN+M-1，線性卷積就等于圓周卷積。寫出線性卷積和圓周卷積的定義式。因?yàn)樵趯?shí)際情況中，除里的多半是信號(hào)通過一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)

22、，求輸出的信號(hào)形式。即實(shí)際情況中常常要求線性卷積，而知道圓周卷積可以在某種條件下代替線性卷積，并且圓周卷積有快速算法，所以常利用圓周卷積來計(jì)算線性卷積。頻域抽樣理論在前面我們討論過周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的值和的一個(gè)周期的z變換在單位圓（即序列的傅里葉變換）的N個(gè)均勻點(diǎn)上的抽樣值相等。這其實(shí)就是頻域的抽樣。因此我們得到一個(gè)結(jié)論：可以用N個(gè)點(diǎn)的X(k)來代表序列的傅里葉變換。但是要注意：不是所有的序列都可以這樣。我們已經(jīng)證明過=，即周期序列可以看作是非周期序列的以某個(gè)N為周期進(jìn)行延拓而成。只有在N大于非周期序列x(n)的長度時(shí)，延拓后才不會(huì)發(fā)生重疊。所以我們要求x(n)為有限長序列，且長度

23、小于等于N，這樣我們就可以用來代表X(ejw)。其實(shí)的一個(gè)周期就可以代表X(ejw)或X(z)。所以我們只看一個(gè)周期，即X(k)。分析如何用X(k)來表示X(ejw)或X(z)。有限長序列x(n)（0nN-1）的z變換為 ，而，代入得= =這就是用N個(gè)頻率抽樣值來恢復(fù)X(z)的插值公式。上式中把z換成ejw就變成用N個(gè)頻率抽樣值來恢復(fù)X(ejw)的插值公式。利用DFT計(jì)算模擬信號(hào)的傅里葉分析 DFT的主要應(yīng)用之一就是分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻率成分，如在語音的分析和處理中語音信號(hào)的頻率分析有助于音腔諧振的辨識(shí)與建模。那么要求我們知道在DFT中代表的頻率成分有哪些。 例如，任意畫一個(gè)X(k)的圖形，橫

24、坐標(biāo)為k，縱坐標(biāo)為X(k)的值，那么k代表的頻率是多少？兩個(gè)離散點(diǎn)間隔代表什么意思？如果是88頁所示的圖形，則很容易知道信號(hào)是由哪些頻率的基本信號(hào)（正弦信號(hào)）合成的。而在X(k)中不容易看出。下面要解決的問題就是分析X(k)上對(duì)應(yīng)的模擬頻率。u 有一模擬信號(hào)(可以是非周期信號(hào)，也可以是周期信號(hào))，我們要用DFT來分析它的頻率成分。先對(duì)該信號(hào)作等間隔采樣（如果是非周期信號(hào)，則進(jìn)行截?cái)?，取有限長；周期信號(hào)，則取一個(gè)周期進(jìn)行采樣），采樣周期為T，畫圖，fs=1/T。得到x(nT)。時(shí)域離散對(duì)應(yīng)頻域的周期延拓，周期為，其實(shí)這時(shí)的頻域曲線就是序列的傅里葉變換X(ejw)。是模擬域角頻率，對(duì)應(yīng)的數(shù)字域角頻

25、率為w=T=2。畫出圖形。提到奈氏抽樣定理。頻率是連續(xù)的、周期的，為得到X(k)，只需對(duì)頻率進(jìn)行等間隔采樣即可。取出一個(gè)周期，對(duì)一個(gè)周期進(jìn)行N點(diǎn)采樣。讓w=(2/N)k就可以得到X(k)。這樣兩個(gè)離散點(diǎn)間間隔用頻率表示為：w0=錯(cuò)誤！鏈接無效。，這是數(shù)字基頻。對(duì)應(yīng)的模擬基頻為=2。=fs/N，相當(dāng)于模擬頻率為。即頻域中兩個(gè)點(diǎn)的頻率間隔為。x(n)d(n)與xN(n)不一定同，體現(xiàn)在長度上利用DFT對(duì)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換逼近的全過程 頻域離散對(duì)應(yīng)時(shí)域的周期延拓，周期為。如何得來？x(n)d(n)是一個(gè)有限長序列，令為x(n)，則周期延拓后得到的序列（周期為N）有關(guān)系：=，將與時(shí)間有關(guān)的量換為nT或NT，則周期為NT=N/fs=T0。u 利用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)可能出現(xiàn)的幾個(gè)問題（結(jié)合上面的圖來解釋）ü 頻率響應(yīng)的混疊失真抽樣定理要求，一般取