相似三角形解題方法步驟教師版

1、相似三角形解題方法、技巧、步驟一、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ)二、相似三角形(1)三角形相似的條件：；.三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡單；2）再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊

2、是否對(duì)應(yīng)成比例；3）若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；a)已知一對(duì)等角找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找夾邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似b)己知兩邊對(duì)應(yīng)成比例找夾角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似c)己知一個(gè)直角找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理1或判定定理4d)有等腰關(guān)系找頂角對(duì)應(yīng)相等判定定理1找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理1找底和腰對(duì)應(yīng)成比例判定定理3e)相似形的傳遞性若12，23，則13五、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的

3、端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。例1、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證:（判斷“橫定”還是“豎定”？）例2、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的平分線分別交BC、

4、CD于點(diǎn)E、F，AC·AE=AF·AB嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”還是“豎定”？）例1、 已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F。 求證：CD2=DE·DF。 分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”還是“豎定”？）六、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)

5、三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E求證：DE2BE·CE分析：2、 等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后

6、再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。例2：如圖4，在ABC中，BAC=90°，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于點(diǎn)F求證：3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例3：如圖5，在ABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點(diǎn)，過B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DF·DG小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等

7、積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)：1如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且ADE=C 求證：（1）ADEACB; (2)AD·AB=AE·AC.（1題圖）（2題圖）2如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，BAC=120°求證： （1）ADBCEA;2、 DE²=BD·CE; (3)AB·AC=AD·BC.3如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延長線上一點(diǎn)，D=ECA. 求證：AD·EC=AC·EB .（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行

8、四邊形對(duì)邊相等，用等線替代思想解決）4如圖，AD為ABC中BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD²=FC·FB。（此題四點(diǎn)共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5如圖，E是平行四邊形的邊DA延長線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC²=FG·EF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。）6如圖，E是正方形ABCD邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FMBE交DE于M.求證：FM=CF.(注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決

9、。)7如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CEAB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連接FC.求證：（1）BF=CF. (2)BF²=FG·FE. （練習(xí)題圖） （8如圖，ABC=90°,AD=DB,DEAB, 求證：DC²=DE·DF.9如圖，ABCD為直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD=BD，過E作EFAB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10ABC中,BAC=90°,ADBC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RTABC斜邊AB上的高

10、，在EC延長線上任取一點(diǎn)P,連接AP,作BGAP,垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE²=ED·EP.(注：此題要用到等積替代，將CE²用射影定理替代，再化成比例式。)七、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪圖5AEFBDGCH例1如圖5在ABC中

11、，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC3：1，CADBEF圖6 SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到

12、對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積BEACDMN例3如圖7在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于N求：AN：AB的值；3說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡ABCEDGF例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F，過F作FGAB交AE于G求證：AG 2AF×FC4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩

13、個(gè)三角形相似、AEBDMCF例5如圖在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長5說明：要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長圖CEDAFMB例6如圖10過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E過點(diǎn)D作DMFC交AB于點(diǎn)M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED； (2)求證：AE×FB2AF×ED6說明：由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相

14、似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比注意平截比定理的應(yīng)用例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，ADP與QCP相似？PADBQC圖117說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置本題是開放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解圖12ADBCP1P2P3例8己知如圖12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似8說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解例11如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。求證：BP2=PE·PF。11分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明PECPCF，問題就能解決了。例12如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC