第4章 不定積分

1、第4章 不定積分一元函數(shù)積分學(xué)是一元函數(shù)微積分學(xué)的另一重要組成部分，包括不定積分，定積分和定積分的應(yīng)用不定積分的概念是由研究導(dǎo)數(shù)問題的逆問題而引入的，定積分的概念則是由研究微小量的無限累加問題而引入這是一元函數(shù)積分學(xué)的兩個基本問題，它們似乎互不相干，卻可以通過微積分基本公式密切地聯(lián)系起來本章介紹不定積分的基本概念、性質(zhì)及求不定積分的基本方法§1 不定積分的概念一、原函數(shù)的概念已知一個函數(shù)，求它的導(dǎo)數(shù)或微分，是微分學(xué)所研究的最基本的問題在許多實際應(yīng)用中，還會碰到它的逆問題例如，從微分學(xué)知道，若已知曲線方程為，則可求出該曲線在任一點處切線的斜率現(xiàn)假設(shè)知道某一曲線上在任一點處切線斜率為，且

2、曲線經(jīng)過原點，則如何求出此曲線方程？又如，若作變速直線運動的質(zhì)點的位置函數(shù)為，則質(zhì)點在任一時刻的瞬時速度為現(xiàn)若知道從靜止狀態(tài)開始作變速直線運動的質(zhì)點在時刻的瞬時速度為，則如何求出它的位置函數(shù)？以上兩個例子，研究對象雖屬于不同范疇，但本質(zhì)上都是已知某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要求該函數(shù)表達式的問題為了解決這類問題，我們引入原函數(shù)的概念定義1 設(shè)是定義在區(qū)間（有限或無窮）上的已知函數(shù)，如果存在函數(shù)，使得對區(qū)間上任一點，恒有或，則稱是在區(qū)間上的一個原函數(shù)例如，當(dāng)時，因為，所以是在區(qū)間上的一個原函數(shù)當(dāng)時，因為，所以是在上的一個原函數(shù)當(dāng)時，因為，所以是在上的一個原函數(shù)從上述后面兩個例子可見，的原函數(shù)是不唯一的一般地

3、，若是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零，所以對任意常數(shù)，也是在區(qū)間上的一個原函數(shù)因此，如果函數(shù)存在原函數(shù)，則它的原函數(shù)必有無窮多個為此需要討論兩個問題：（1）一個函數(shù)滿足什么條件才有原函數(shù)？（2）如果函數(shù)有原函數(shù)，它的無窮多個原函數(shù)相互之間有什么關(guān)系？對于上述兩個問題，我們有以下兩個結(jié)論：定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，那么它在該區(qū)間上必定存在原函數(shù)簡單的敘述是：連續(xù)函數(shù)必定有原函數(shù)定理的證明將在下一章給出需要指出的是，因為一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的，所以每個初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù)定理2（原函數(shù)族定理）若是在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則是在該區(qū)間上的全部

4、原函數(shù)，其中是任意常數(shù)證 一方面，由于是的一個原函數(shù)，即因此對任意常數(shù)，即都是的原函數(shù)另一方面，若是的任意一個原函數(shù)，即，則由第3章§1定理2的推論2可得，與最多相差一個常數(shù)，即由以上兩個方面可得，是在該區(qū)間上的全部原函數(shù)，其中是任意常數(shù)證畢二、不定積分的概念定義2設(shè)是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則（是任意常數(shù)）稱為在區(qū)間上的不定積分，記為，即，其中稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分常數(shù)例1 求解 因為，所以例2 求解 因為，所以例3 求解 因為，所以三、不定積分的幾何意義O圖4-1設(shè)是的一個原函數(shù)，那么方程的圖形是平面直角坐標系上的一條曲線，稱為的一條積分曲

5、線將這條積分曲線沿著軸方向任意平行移動，就可以得到的無窮多條積分曲線，它們構(gòu)成一個曲線族，稱為的積分曲線族不定積分的幾何意義就是一個積分曲線族它的特點是：在橫坐標相同的點處，各積分曲線的切線斜率相等，都是，即各切線相互平行（如圖4-1）在求的所有原函數(shù)中，有時需要確定一個滿足條件的原函數(shù)，也就是求通過點的積分曲線這個條件一般稱為初始條件，它可以唯一確定積分常數(shù)的值例4 求通過點的積分曲線解，代入初始條件，可得因此所求的積分曲線為四、不定積分的性質(zhì)由于為的原函數(shù)族，因而有：性質(zhì)1 或又由于是的原函數(shù)，故有：性質(zhì)2 或注由上可見微分運算與積分運算是互逆的兩個運算連在一起時，完全抵消，抵消后相差一常

6、數(shù)利用微分運算法則和不定積分的定義，可得下列運算性質(zhì)：性質(zhì)3 若函數(shù)及的原函數(shù)均存在，則有證證畢注此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)的情形性質(zhì)4 若函數(shù)的原函數(shù)存在，為常數(shù)，則有證證畢五、基本積分表由于不定積分運算是導(dǎo)數(shù)運算的逆運算，因此可以從導(dǎo)數(shù)的基本公式得到相應(yīng)的積分基本公式（1）(為常數(shù))；（2）；（3）；（4）；特例；（5）；（6）；（7）；（8）；(9）；(10)；（11)；（12)六、直接積分法從前面的例題知道，利用不定積分的定義來計算不定積分是非常不方便的為解決一些簡單函數(shù)的不定積分的計算問題，這里我們先介紹一種利用不定積分的運算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分的方法，即直接積分法例

7、5 求解例6 求解例7 求解例8 求解例9 求解例10 求解例11 求解習(xí)題4-11簡述原函數(shù)及不定積分的定義2已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且時，求3設(shè)，則（ ）A；B；C；D4若，則（ ）A； B；C； D5求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）§2換元積分法前一節(jié)介紹了利用不定積分的性質(zhì)與基本積分公式計算不定積分的直接積分法但能直接積分的簡單函數(shù)是有限的這一節(jié)我們將把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用于求不定積分利用中間變量的代換得到的積分法，稱為換元積分法，簡稱換元法換元法通常分為兩類，第一類是把積

8、分變量作為自變量，引入中間變量；第二類是把積分變量作中間變量，引入自變量作變換，從而將復(fù)雜的被積函數(shù)化為簡單的類型，運用直接積分法求出積分一、第一換元積分法（湊微分法或配方法）例1 求不定積分解 如果湊上一個常數(shù)因子2，使之成為，令，則，回代，求得原不定積分更一般地，若函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，是可微函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)有意義，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，及不定積分的定義，有，由于，從而綜上所述，可得如下定理1：定理1 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的一個原函數(shù)如果可微，且復(fù)合函數(shù)有意義，那么這種求不定積分的方法稱為第一換元積分法，也稱為“湊微分法”湊微分時，要靈活運用以下微分公式：； ； ； ； ； ； ；例2 求解

9、 令，由，得于是例3 求解例4 求解類似可得例5 求解有時，需要將被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或三角函數(shù)式的恒等變形后，再用湊微分法求不定積分例6 求解類似可得例7 求解類似可得例8 求解，利用例6得故類似可得例9 求解二、第二換元積分法（代換法或置換法）我們通過一個具體的例子來說明第二換元積分法計算不定積分的基本思想例10 求解 作變量代換，即，其目的是把被積函數(shù)中的根號去掉，在上述代換下，有，于是一般地，若積分不易計算，而如能作適當(dāng)變換，把原積分化為的形式后容易積分，并且在求出原函數(shù)后容易將代回還原，則可以使用這種方法這就是第二換元積分法計算不定積分的基本思想定理2 設(shè)連續(xù)，是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且若

10、是的一個原函數(shù)，即，(1)則 (2)證 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及反函數(shù)的求導(dǎo)公式，有這說明是的原函數(shù)，即(2)式成立證畢將(1)式和(2)式合起來寫成便于應(yīng)用的形式：例11 求解 令，則，于是一般來說，若不定積分中的被積函數(shù)含有(為正整數(shù))時，則可令清除根式這種代換，稱為一次根式代換例12 求解 令，則，于是例13 求解 令，則，于是一般來說，若不定積分中的被積函數(shù)含有二次根式，或，為了消除根號，通常利用三角函數(shù)關(guān)系式來換元比如(1)被積函數(shù)含有因式，則令；(2)被積函數(shù)含有因式，則令；(3)被積函數(shù)含有因式，則令我們稱以上代換為三角代換在采用三角代換求不定積分時，為了將回代，可根據(jù)代換式的形

11、式，構(gòu)造一個以為銳角的直角三角形(如圖4-2)，將會給變量回代帶來許多方便圖4-2例14 求解 令，則，于是，其中例15 求解 被積函數(shù)的定義域為當(dāng)時，令()，則，于是，其中當(dāng)時，則根據(jù)上面的計算，有，故，其中綜上所述，下面我們再介紹一種很有用的代換-倒代換例16 求解 令，則于是當(dāng)時，；類似可求有 故 為了以后計算不定積分的方便，我們將幾個重要的積分公式放入基本積分表中，以便在今后的積分中引用(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)；(21)；(22)習(xí)題4-21求下列不定積分：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)；(9

12、)； (10)；(11)； (12)；(13)； (14)；(15)； (16)；(17)； (18)；(19)； (20)；(21)； (22)；(23)； (24)；(25)； (26)；(27)； (28)2若已知，求(1)； (2)§3 分部積分法前一節(jié)我們在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上研究了換元積分法現(xiàn)在我們利用兩個函數(shù)乘積的微分法則，來推得另一個求積分的基本方法-分部積分法定理1 設(shè)都是的函數(shù)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有證 由于都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故的微分存在，于是有，兩邊積分得，所以，移項得到證畢注因上式等式右端還保留不定積分號，所以不必寫上上面這個公式稱為分部積分公式它把所求的積分分成了

13、兩個部分，一部分是，是已經(jīng)求出了的；另一部分是，是還要積分的，即求不定積分的問題轉(zhuǎn)化成了求不定積分的問題它適用于不易計算，而比較容易計算的情況例1 求解 把某個函數(shù)與湊微分，化成分部積分公式左邊的形式，現(xiàn)將湊入微分：如果把與湊微分，則有，上式右端的積分比原來的積分更不容易求出由此可見，如果和選擇不當(dāng)，就求不出結(jié)果所以應(yīng)用分部積分法時，適當(dāng)選取和是一個關(guān)鍵一般選擇與有個經(jīng)驗公式：“反、對、冪、指、三”，指的是按反三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的順序被積函數(shù)若為其中某兩個函數(shù)的乘積時，排在前面順序的函數(shù)作為，排在后面順序的函數(shù)作為，湊入微分成為例2 求解例3 求解例4 求解例5 求

14、解例6 求解，移項得，故類似可得以上這種解題方法稱為循環(huán)法例7 求解，移項得，故當(dāng)被積函數(shù)是某一簡單函數(shù)的高次冪函數(shù)時，我們可以適當(dāng)選取和，通過分部積分后，得到該函數(shù)的高次冪函數(shù)與低次冪函數(shù)的關(guān)系，即所謂遞推公式，故稱遞推法例8 求的遞推公式(其中為正整數(shù))，并用公式計算解 當(dāng)時，當(dāng)時，所求的遞推公式為：()從而由可求得例9 求(其中為正整數(shù)，)解 當(dāng)時，當(dāng)時，因為，于是，得遞推公式從而由可求得到現(xiàn)在為止，我們一共講了三種積分方法:直接積分法、換元積分法和分部積分法這幾種方法，哪一種都不是萬能的，每種方法都是對某些積分適用，而對另一些積分就不適用實際計算時，究竟在什么情況下采用哪種積分方法，這

15、要求我們通過對題目的觀察自己決定，而且有時一道題要采用幾種積分法綜合計算這就要求對以上這些方法會靈活運用例10 求解 令，則，于是例11 設(shè)為的一個原函數(shù)，連續(xù)，且當(dāng)時，有，求解 由代入得，于是 ，則 由及得，因為，所以，則習(xí)題4-31求下列不定積分：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)； (13)； (14)2證明下列遞推公式：設(shè)，則為自然數(shù)且§4 幾種特殊類型函數(shù)的積分前面介紹了不定積分的兩種基本方法-換元積分法和分部積分法下面介紹幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)是指由兩個多項式的商

16、所表示的函數(shù)，即如下形式的函數(shù)，其中皆為自然數(shù)當(dāng)時稱有理函數(shù)為假分式；當(dāng)時稱有理函數(shù)為真分式利用多項式的除法，可以把假分式化為多項式與真分式之和，例如，多項式的不定積分我們已經(jīng)會求了，因此只需討論真分式的不定積分的求法1真分式分解成最簡分式根據(jù)代數(shù)學(xué)的部分分式分解定理，任何一個真分式都可以唯一地分解為下列四種形式的最簡分式的和：； ； ； 其中都是常數(shù)；，即二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不能再分解成兩個一次因式的乘積；分解的具體原則是：（1）若中含有一次單因式，則的分解式含有一項：（2）若中含有一次重因式，則的分解式一般含有項：（3）若中含有二次單因式()，則的分解式含有一項：（4）若中含有二次重因式

17、()，則的分解式一般含有項：例1 化真分式為部分分式的和解 設(shè)(為待定系數(shù))，兩端去分母后，有比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)得，解方程組得 ，所以例2 化真分式為部分分式的和解 設(shè)(為待定系數(shù))，兩端去分母后有，比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)得，解方程組得 ，所以2四類最簡分式的不定積分由于真分式都可以分解為最簡分式之和，因此真分式的積分歸結(jié)為四類最簡分式的積分，下面分別討論其求解方法(1)(2)(3)，其中(4)，其中等式右端第二項的不定積分可以利用§4.3例9得到的遞推公式計算通過上面的討論可知，每一個有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)從原則上說，有理函數(shù)的不定積分的求法已經(jīng)解決例3 求解 被

18、積函數(shù)是假分式，先將它表示成多項式和真分式之和，再將真分式分解成最簡分式之和，兩邊去分母得，比較等式兩邊的同次冪的系數(shù)得，解方程組得 于是例4 求解 由例1得，所以 例5 求解二、三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算而得到的式子叫做三角函數(shù)有理式例如等均是三角函數(shù)有理式因為各種三角函數(shù)都可用和的有理式表示，所以一般用記號表示三角函數(shù)有理式對于一般的三角函數(shù)有理式的不定積分，可用萬能代換化為有理函數(shù)的積分，即令，則，于是，從而上式成為右端是的有理函數(shù)的積分例6 求解 令，于是如果被積函數(shù)是由及常數(shù)施于四則運算而得到的，那么令，可使解法更為簡單例7 求解 令，則于是必須注意，萬能

19、代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分，但有時代換后所得到的被積函數(shù)是較復(fù)雜的有理函數(shù)，積分較繁因此在計算三角函數(shù)有理式的積分時，不能單一地套用萬能代換，要選擇適當(dāng)?shù)拇鷵Q或方法，以簡化計算，例如：若，則可令；若，則可令；若，則可令例8 求解 被積函數(shù)滿足，于是令，得例9 求解 被積函數(shù)滿足，于是令，得例10 求解 被積函數(shù)滿足，于是令，得三、簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分在第二換元積分法中已有提到，只是那時所舉的例題比較特殊，而一般簡單無理函數(shù)的積分只有在學(xué)習(xí)了有理函數(shù)的積分后才能解決對不定積分，我們總可以作代換，將其化為有理函數(shù)的積分來求解對不定積分，我們也總可以作代換，將其化為有理函數(shù)的積分來求解例