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1、第二節(jié) 二重積分的計算(續(xù):極坐標部分)(2)(09,3,10)計算二重積分 ,其中分析:三、利用極坐標系計算二重積分1極坐標的相關(guān)知識(1)極點、極軸、極徑、極角(2)當極點與原點重合,極軸與x軸重合時有直角坐標與極坐標的互化公式或(3)常見曲線的極坐標方程(從極點出發(fā)的射線);(直線);(圓);(圓);(圓).2極坐標系中的面積元素. 見圖知:.上式取,推出 .3用極坐標系計算二重積分.其中: .證明:.4用二次累次積分公式計算二重積分(1)若(極點在外的極扇環(huán)),則. (2) 若(極點在邊界上的極扇形),則.補圖(3) 若(極點在內(nèi)部的極扇形),則.例18計算,其中是由中心在原點,半徑為
2、的圓周所圍成的閉區(qū)域.(此積分無法用實積分計算).解: 令, 于是, 則.例19 計算積分 .()(與下題圖形類似上半部)例20(1)(96.3) 累次積分可以寫成(A)(B)(C)(D)答(D).因為積分區(qū)域的邊界可以表示成且于是 故累次積分可寫成或.(2),是圓域解區(qū)域可表示為,例21 化下列二重積分為極坐標形式(1).(2).(3).(4).5.重要結(jié)論:下列兩種情況用極坐標計算簡便.(1)當積分區(qū)域為圓域或圓域的一部分,或積分區(qū)域的邊界用極坐標表示較為簡單;(2)當被積函數(shù)可以表示為時.6. 極坐標系下積分區(qū)域的面積為 .例22(1)(98.5)設,求.解令,則.(2)(00.6)計算
3、二重積分,其中是由曲線和圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為 ,于是,令,得 .(3)(03.8)計算二重積分,其中積分區(qū)域 .解作極坐標變換令,則.令,則.記,由于,故解得.從而.(4)(04.8)求,其中是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).解將積分區(qū)域分為大圓 , 與小圓之差.由對稱性知.,()所以 .(5)(05.9) 計算二重積分,其中.解將分成與兩部分,其中,則 ,其中 ,故 .例(6)計算積分 ,為圓環(huán)與直線所圍城的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解 , .(7)(99.7)計算二重積分,其中是由,以及曲線 所圍成的平面區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為,于是 .令,則,.另解:設為矩形區(qū)域,為半圓形區(qū)域;則;,
4、.三、廣義二重積分以下舉例說明常見的廣義二重積分例23求,是整個平面.解:令,由于,當時,原積分收斂,且;而當時,原積分發(fā)散.例24證明,.(泊松積分),證明:因為.所以 .另證:設,且一方面 ;另一方面 由.證法三:設,.則由得,將上式取求極限得,即.例25(90.5) 計算二重積分,其中是由曲線和在第一象限所圍成的區(qū)域.解積分區(qū)域可表示為,.例26 設 ,其中,求.解 ;.注意,在 上討論:(1)當即時, ,所以 .(2)當即時,. 補圖(3)當即時,.(4)當即時, ,所以 .綜上所述 例27 (97.6)設函數(shù)在上連續(xù),且滿足方程求.解由于 ,所以.令,有 ,于是,滿足積分關(guān)系式 ,易
5、知,將上式兩端求導 ,這是一階線性方程,由通解公式得,其中為任意常數(shù),由,知,所以 .練習1.( ).(a)(b)(c)(d)答(d).因為積分區(qū)域為 ,積分區(qū)域還可以表示為 ,所以選(d).小結(jié):1.結(jié)合圖形選擇適當?shù)姆e分順序計算累次積分,以簡化二重積分的運算;學會畫圖與看圖,注意積分限的正確表示. 學會靈活運用直角坐標與極坐標二重積分的互化.2.運用極坐標積分時注意用互化公式變形,同時注意面積元素的正確表示以及不同類型積分公式的正確使用.3.1)若,則2)若且,則4.極坐標形式計算二重積分的公式5.下列兩種情況用極坐標計算簡便.(1) 當積分區(qū)域為圓域或圓域的一部分,或積分區(qū)域的邊(2) 界用極坐標表示較為簡單;(2)當被積函數(shù)可以表示為時
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