【高考數(shù)學(xué)秘籍】空間中的垂直關(guān)系

1、第 51 講空間中的垂直關(guān)系I丞I1.(2015 安徽卷)已知 m, n 是兩條不同直線，a,B是兩個不同平面，則下列命題正確 的是(D)A .若a, B垂直于同一平面，則a與B平行B. 若 m, n 平行于同一平面，則 m 與 n 平行C. 若a, B不平行，則在a內(nèi)不存在與B平行的直線 D .若 m, n 不平行，則 m 與 n 不可能垂直于同一平面39可以結(jié)合圖形逐項判斷.A 項，a, B可能相交，故錯誤；B 項，直線 m, n 的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯誤；C 項，若 m?a, aA 3=n, m/h,貝 U m/牟，故錯誤；D 項，假設(shè) m, n 垂直于同一平面，則

2、必有m/h,所以原命題正確，故D 項正確.2.(2017 東城區(qū)校級月考)1, m, n 是互不相同的直線，a, 3是不重合的平面，則下列 命題為真命題的是(C)A .若a/ 3,l?a ,n?3,則 I/n B .若a丄3,I?a,則I 丄3C.若 I 丄a,I /3,貝y a丄3D.若 I 丄 n , mln ,貝UI / m堪 3 A 選項中，a3I?a,n?3,則 I 與 n 還可能異面；B 選項中，a丄3I?a,則 I 與3還可能斜交或平行；C 選項中，I 丄a, I/3所以3丄是正確的；D 選項中，I _ln , m Jo ,則 I 與 m 還可能相交或異面，選 C.E3.如圖，A

3、BCD 是圓柱的軸截面，E 是底面圓周上異于 A , B 的點，則下面結(jié)論中，錯 誤的是(C)A . AE 丄 CEB.BE 丄 DEC.DE 丄 CED .平面 ADE 丄平面 BCE儘3因為 BE1AE , BE JDA? BE 丄平面 ADE? BE1ED ,平面 ADE 丄平面 BCE同理可證 AE1CE.故 A、B、D 都為真命題.對于 C , 假設(shè) DE _LCE ,又 DE _LBE? DE丄平面 BCE ,又 AE丄平面 BCE? DE /AE,這顯然 矛盾.故選 C.4.a, 3,丫為不同平面，a , b 為不同直線,給出下列條件：a 丄a , 3 a;a丄Y3丄Y；a 丄a

4、,b 丄3,a 丄 b;a?a,b?3a 丄 b.其中能使a丄3成立的條件的個數(shù)為(B)A. 1 B. 2C. 3 D . 4薛根據(jù)面面垂直的定義與判定，只有和能使a丄3選 B.5. 已知平面a丄平面3, aA 3=l，在 I 上取 AB= 4, AC? a, BD?3,AC 丄 I, BD 丄 l,且 AC= 3, BD = 12,貝UCD =13.連接 AD，則CD = - AC2+ AD2= AC2+ AB2+ BD2= 13.6.已知正方形 ABCD 中，E、F 分別是 BC、CD 的中點，將它沿 AE、AF 和 EF 折起, 使點B、C、D 重合為一點 P,則必有 AP 丄平面 PE

5、F.折起后，有AP JPFAPJPE? AP 丄平面 PEF.PFAPE=PP-ABCD 中，PC 丄平面 ABCD , AB / DC , DC 丄 AC.求證：DC 丄平面 PAC.求證：平面 PAB 丄平面 FAC.設(shè)點 E 為 AB 的中點，在棱 PB 上是否存在點 F，使得 PA/平面 CEF ?說明理由. 堪 3 (1)證明：因為 PC 丄平面 ABCD，所以 PC JDC.又因為 DC 1AC,且 PCAAC = C,所以 DC 丄平面 PAC.(2)證明：因為 AB /DC, DC !AC,所以 AB 1AC. 因為 PC 丄平面 ABCD，所以 PC1AB.又因為 PCAAC

6、= C,所以 AB 丄平面 PAC.又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB 丄平面 PAC.棱 PB 上存在點 F，使得 PA /平面 CEF. 理由如下：取 PB 的中點 F，連接 EF, CE, CF.又因為 E 為 AB 的中點，所以 EF /PA.又因為 PA?平面 CEF，且 EF?平面 CEF, 所以 PA/平面 CEF.7. (2016 北京卷)如圖，在四棱錐級& （2017 新課標(biāo)卷川）在正方體 ABCD -AiBiCiDi中，E 為棱 CD 的中點，則（C）A . AiE 丄 DCiB . AiE 丄 BDC. AiE 丄 BCiD . AiE 丄 ACdS 因為 AiE

7、在平面 ABCD 上的投影為 AE,而 AE 不與 AC , BD 垂直，所以 B, D 錯；因為 AiE 在平面 BCCiBi上的投影為 BiC，且 BiC JBCi,所以 AiE _LBCi，故 C 正確；（證明：由條件易知，BCilBiC, BCiJCE，又 CEnBiC = C,所以 BCi丄平面 CEAiBi.又AiE?平面 CEAiBi，所以 AiE _LBCi）因為 AiE 在平面 DCCiDi上的投影為 DiE，而 DiE 不與 DCi垂直，故 A 錯.故選 C.9. （2017 新課標(biāo)卷I）已知三棱錐 S-ABC 的所有頂點都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 徑.若平

8、面 SCA 丄平面 SCB，SA= AC，SB= BC，三棱錐 S-ABC 的體積為 9,則球 O 的表面 積為 36n.如圖，連接 OA, OB.由 SA= AC, SB= BC, SC 為球 O 的直徑，知 OA _LSC, OB JSC. 由平面 SCA 丄平面 SCB,平面 SCAn平面 SCB= SC，OA1SC，知 OA 丄平面 SCB.設(shè)球 O 的半徑為 r，貝UOA = OB= r，SC= 2r，所以三棱錐 S-ABC的體積iV= 3x3r2即 3 = 9，所以 r = 3，所以 S球表=4n= 36n310. （2017 新課標(biāo)卷I）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，AB /

9、CD，且/ BAP=ZCDP = 90 （1）證明：平面 PAB 丄平面83r OB) OA =亍（2）若 PA= PD = AB= DC，/ APD = 90 且四棱錐 P-ABCD 的體積為 3，求該四棱錐的 側(cè)面積.薛 3 （1）證明：由已知/ BAP =ZCDP = 90 得 AB1AP，CD JPD.由于 AB CD，故 AB JPD，PDnAP= P，從而 AB 丄平面 PAD.又 AB?平面 PAB，所以平面 PAB 丄平面 PAD.如圖，在平面 PAD 內(nèi)作 PE1AD，垂足為 E.可得 PE 丄平面 ABCD.設(shè) AB= x,則由已知可得 AD = _ 2x, PE =號.故四棱錐 P-ABCD 的體積113VP-ABCD= 3AB AD PE = 3X .