第二輪專題四 三角函數(shù)與平面向量

1、第二輪專題四第二輪專題四 三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù)與平面向量一、 三角函數(shù)的定義1誘導(dǎo)公式“奇變偶不變，符號(hào)看象限”2.三角函數(shù)值的符號(hào)在求角的三角函數(shù)值和三角恒等變換中，顯得十分重要，根據(jù)三角函數(shù)的，可簡記為“一全正，二正弦，三兩切，四余弦” ，其含義是：在第一象限各三角函數(shù)值皆為正；在第二象限正弦值為正；在第三象限正余切值為正；在第四象限余弦值為正3.在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡、求值和證明恒等關(guān)系時(shí)，要注意用是否“同角”來區(qū)分和選用公式，注意切化弦、 “1”的妙用、弦化切、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，在利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角式的化簡、求值時(shí)，要注意正負(fù)號(hào)的選取專題訓(xùn)練1若角的終邊

2、與直線y=3x重合且 sin0，又P（m，n）是角終邊上一點(diǎn)，且|OP|= 10 ，則mn等于( )A2B2C4D42若xxsin|sin|+|cos|cosxx+xxtan|tan|=1，則角x一定不是( )A第四象限角B第三象限角 C第二象限角D第一象限角3若A、B是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則P（cosBsinA，sinBcosA）在( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限4下列三角函數(shù)：sin（n+34） ；cos（2n+6） ；sin（2n+3） ；cos（2n+1）6 ；sin（2n+1）3 （nZ） 其中函數(shù)值與 sin3的值相同的是（ ）ABCD5、已知2tan，求（1）si

3、ncossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.6tan=m，則)cos(-sin()cos(3sin(） 二、三角恒等變換1.三角函數(shù)的化簡與求值、證明的難點(diǎn)在于眾多三角公式的靈活運(yùn)用和解題突破口的合理選擇，要認(rèn)真分析所給式子的整體結(jié)構(gòu)，分析各個(gè)三角函數(shù)及角的相互關(guān)系是靈活選用公式的基礎(chǔ)，是恰當(dāng)尋找解題思維起點(diǎn)的關(guān)鍵所在（1）化簡，要求使三角函數(shù)式成為最簡：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來；（2）求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號(hào)之間聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)上三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍（3）證

4、明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等2.對(duì)于三角變換公式務(wù)必要知道其推導(dǎo)思路，從而清晰地“看出”它們之間的聯(lián)系，它們的變化形式.如tan()(1tantan)tantan， 221 cos1 coscos,sin2222等.從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式；三角變換公式除用來化簡三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。3.三角函數(shù)恒等變形的基本策 。常值代換：特別是用“1”的代換，如 1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：222222sin2cos(sincos) cos1

5、cosxxxxxx ;配湊角(常用角變換):2()()、2()()、22、22、()等.降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切） 。引入輔助角。asin+bcos=22ba sin(+)，這里輔助角所在象限由 a、b 的符號(hào)確定，角的值由 tan=ab確定。4. 三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對(duì)三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個(gè)公式聯(lián)系起來；（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆用公式，如升、降冪公式， cos=

6、coscos（-）- sinsin（-） ，1= sin2+cos2，0030tan130tan1=000030tan45tan130tan45tan=tan（450+300）等。、例題分析例 1.已知7 27sin(),cos241025，求sin及tan()3例 2. 設(shè)關(guān)于x的方程sinx3cosxa0 在(0, 2)內(nèi)有相異二解、.求的取值范圍;專題訓(xùn)練1若cos222sin4 ，則cossin的值為（）721212722求值000cos20cos351 sin20（ ）A1 B2 C2 D33在ABC 中，coscossinsinABAB，則ABC 為（ ）A銳角三角形 B直角三角形

7、 C鈍角三角形 D無法判定4已知2cos23，則44sincos的值為（ ）A1813 B1811 C97 D15.已知0,4，0,，且1tan2，1tan7 ，則2的值是 （ ） A、56 B、23 C、 712 D346. 求值：0010001 cos20sin10 (tan5tan5 )2sin20三、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)1.求三角函數(shù)值域的常用方法：求三角函數(shù)值域除了判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法之外，結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn)，還有如下方法：（1）將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過配方法求值域；（2）利用sin ,cosxx的有界性求值域；（3）換元法，利用換元法求三角函數(shù)的值域，要注意前后

8、的等價(jià)性，不能只注意換元，不注意等價(jià)性5. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）列表綜合三個(gè)三角函數(shù)sinyx，cosyx，tanyx的圖象與性質(zhì)，并挖掘：最值的情況；了解周期函數(shù)和最小正周期的意義會(huì)求sin()yAx的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期，了解加了絕對(duì)值后的周期情況；會(huì)從圖象歸納對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；sinyx的對(duì)稱軸是2xk()kZ，對(duì)稱中心是(,0)k()kZ；cosyx的對(duì)稱軸是xk()kZ，對(duì)稱中心是(,0)2k()kZtanyx的對(duì)稱中心是(,0)()2kkZ注意加了絕對(duì)值后的情況變化.寫單調(diào)區(qū)間注意0.（二）了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫法，會(huì)用“五點(diǎn)

9、法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)sin()yAx的簡圖，并能由圖象寫出解析式“五點(diǎn)法”作圖的列表方式；求解析式sin()yAx時(shí)處相的確定方法：代（最高、低）點(diǎn)法（三）正弦型函數(shù)sin()yAx的圖象變換方法如下：先平移后伸縮sinyx的圖象 向左(0)或向右(0)平移個(gè)單位長度得sin()yx的圖象()橫坐標(biāo)伸長(0 1)1到原來的縱坐標(biāo)不變得sin()yx的圖象()AAA 縱坐標(biāo)伸長(1)或縮短(0 0, 0) x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S(3，2)；賽道的后一部分為折線段 MNP，為保3證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定MNP=120o（I）求 A , 的值和 M，P 兩點(diǎn)間的距離；（II）應(yīng)如

10、何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 MNP 最長？ 五、平面向量例 1、已知平面向量), 2(),2 , 1 (mba，且ab，則ba32 =（ ） A （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）例 2、在ABC中，角ABC，的對(duì)邊分別為tan3 7abcC ，（1）求cosC；（2）若52CB CA ，且9ab，求c例例 3 3已知平面向量 a a(3，1)，b b(21, 23).(1) 若存在實(shí)數(shù) k 和 t，便得 x xa a(t23)b b, y yka atb b，且 x xy y，試求函數(shù)的關(guān)系式 kf(t)；(2) 根據(jù)(1)的結(jié)論，確定 kf(t

11、)的單調(diào)區(qū)間例 4、如圖在 RtABC 中，已知 BC=a，若長為 2a 的線段 PQ 以 A 為中點(diǎn)，問PQ與BC的夾角取何值時(shí)， BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值 【專題訓(xùn)練專題訓(xùn)練】1、在平行四邊形ABCD中，11,34AEAB AFAD CE與BF相交于G點(diǎn).若,ABa ADb 則AG （ ）A. 2177ab B. 2377ab C. 3177ab D. 4277ab2.已知向量2,1 ,10,| 5 2aa bab，則|b A. 5 B. 10 C.5 D. 253已知 O，N，P 在ABC所在平面內(nèi)，且,0OAOBOC NANBNC，且PA PBPB PCPCPA，則點(diǎn) O，N

12、，P 依次是ABC的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心4在ABC中,M 是 BC 的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn) P 在 AM 上且滿足學(xué)2PAPM ,則科網(wǎng)()PAPBPC 等于（A）49 （B）43 （C）43 (D) 49 5.設(shè)a、b、c是單位向量，且ab0，則 acbc的最小值為 ( D )（A）2 （B）22 （C）1 (D)126設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足a與b不共線，OxACBa例 7 圖yACBaQPac a=c,則b c的值一定等于 A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B. 以b，c為兩

13、邊的三角形面積Ca，b為兩邊的三角形面積 D. 以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積7已知點(diǎn) M1（6，2）和 M2（1，7） ，直線 y=mx7 與線段 M1M2的交點(diǎn)分有向線段 M1M2的比為 3：2，則 m 的值為 （ ）A32 B23 C14 D48已知向量OB =(2，0),向量OC =（2，2） ，向量CA =（2cos ,2sin） ，則向量OA與向量OB 的夾角的范圍為 （ ）A 0，4 B 4，512 C 512，2 D 12，5129設(shè)向量a（2，1） ，b（，1） （R） ，若a、b的夾角為鈍角，則 的取值范圍是（ ）A （, 12） B （12, ） C （12, ） D

14、（12, 2）（2, ）10已知| 2| 0,ab 且關(guān)于x的方程2|0 xa xa b 有實(shí)數(shù)根，則ab 與與的夾角的取值范圍是 （ ）A, 3 B0,6 C2,33 D, 6 11. 把函數(shù)y312 x的圖象按a a（1，2）平移到F，則F的函數(shù)解析式為Ay372 x By352 xCy392 x Dy332 x12.給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量OA 和OB ，它們的夾角為120o.如圖所示，點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧AB 上變動(dòng).若,OCxOAyOB 其中, x yR,則xy的最大值是_.13.如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC ，則 x 312 ，y 32 . 14. 已知2, 1 ,1,1 ,ABO為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足OMmOAnOB ，其中,m nR且2222mn，則M的軌跡方程為 . 15. 已知點(diǎn)P是圓221xy上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQx軸于點(diǎn)Q，設(shè)OMOPOQ . （1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）求向量OP 和OM 夾角的最大值